Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 5: Obliczanie granic

5. Obliczanie granic

Ćwiczenie 5.1.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5^{n} + 7^{n} + 8^{n}},$
(2) $\lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{(\frac{13}{14})^{n} + (\frac{18}{19})^{n} + (\frac{21}{23})^{n}},$
(3) $\lim_{n \to + \infty} \frac{4^{n} + 1 + 3^{n + 1}}{2^{n + 1} + 3^{n}} .$

Wskazówka

(1) Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
(2) Rozwiązać analogicznie jak punkt (1).
(3) Podzielić licznik i mianownik przez $4^{n}$ oraz skorzystać z arytmetyki granic niewłaściwych.

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

\begin{array}{ccccc} \sqrt[n]{8^{n} + 8^{n} + 8^{n}} & \geq & \sqrt[n]{5^{n} + 7^{n} + 8^{n}} & \geq & \sqrt[n]{8^{n}} \\ ∥ & ∥ \\ \sqrt[n]{3 \cdot 8^{n}} & 8 \\ ∥ & ↓ \\ 8 \sqrt[n]{3} & 8 \\ ↓ \\ 8 \end{array}

Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5^{n} + 7^{n} + 8^{n}} = 8 .$

(2) Ponieważ $\frac{21}{23} < \frac{13}{14} < \frac{18}{19},$ więc podobnie jak w poprzednim przykładzie mamy

\begin{array}{ccccc} \sqrt[n]{(\frac{18}{19})^{n} + (\frac{18}{19})^{n} + (\frac{18}{19})^{n}} & \geq & \sqrt[n]{(\frac{13}{14})^{n} + (\frac{18}{19})^{n} + (\frac{21}{23})^{n}} & \geq & \sqrt[n]{(\frac{18}{19})^{n}} \\ ∥ & ∥ \\ \sqrt[n]{3 \cdot (\frac{18}{19})^{n}} & \frac{18}{19} \\ ∥ & ↓ \\ \frac{18}{19} \sqrt[n]{3} & \frac{18}{19} \\ ↓ \\ \frac{18}{19} \end{array}

Zatem korzystając z twierdzenie o trzech ciągach, wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{(\frac{13}{14})^{n} + (\frac{18}{19})^{n} + (\frac{21}{23})^{n}} = \frac{18}{19} .$

(3) Dzieląc licznik i mianownik przez $4^{n}$ oraz korzystając z arytmetyki granic niewłaściwych, mamy

\lim_{n \to + \infty} \frac{4^{n} + 1 + 3^{n + 1}}{2^{n + 1} + 3^{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1 + \overset{\to 0}{\overset{⏞}{(\frac{1}{4})^{n}}} + 3 \cdot \overset{\to 0}{\overset{⏞}{(\frac{3}{4})^{n}}}}{2 \cdot \underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{(\frac{1}{2})^{n}}} + \underset{\to 0^{+}}{\underset{⏟}{(\frac{3}{4})^{n}}}} = + \infty .

Ćwiczenie 5.2.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} (1 - \frac{1}{x_{n}})^{x_{n}},$ gdzie ${x_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = + \infty,$

(2) $\lim_{n \to + \infty} (\frac{n}{n + 1})^{n},$

(3) $\lim_{n \to + \infty} (\frac{n - 3}{n + 2})^{n},$

(4) $\lim_{n \to + \infty} (\frac{n^{2} + 2}{n})^{n},$

(5) $\lim_{n \to + \infty} (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} + 1})^{2 n^{2} + 2},$

(6) $\lim_{n \to + \infty} (\frac{n + 2}{n^{2} + 1})^{n} .$

Wskazówka

(1) Wykorzystać znajomość granicy ciągu $\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{x_{n}})^{x_{n}}$ (patrz twierdzenie 5.1. (2)).
(2)-(3) Wykorzystać punkt (1).
(4) Najpierw obliczyć granicę podstawy potęgi.
(5) Stwierdzić z jakim symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia.
(6) Najpierw obliczyć granicę podstawy potęgi.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

\begin{aligned} \lim_{n \to + \infty} (1 - \frac{1}{x_{n}})^{x_{n}} & = & \lim_{n \to + \infty} (\frac{x_{n} - 1}{x_{n}})^{x_{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{(\frac{x_{n}}{x_{n} - 1})^{x_{n}}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{(\frac{x_{n} - 1}{x_{n} - 1} + \frac{1}{x_{n} - 1})^{x_{n}}} \\ = & \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{x_{n} - 1})^{x_{n}}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\underset{\to e}{\underset{⏟}{(1 + \frac{1}{x_{n} - 1})^{x_{n} - 1}}} \cdot \underset{\to 1}{\underset{⏟}{(1 + \frac{1}{x_{n} - 1})}}} = \frac{1}{e}, \end{aligned}

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie 5.1. (2) oraz fakt, że $\lim_{n \to + \infty} (x_{n} - 1) = + \infty .$ Zauważmy także, że ułamek $\frac{x_{n}}{x_{n} - 1}$ ma sens przynajmniej od pewnego miejsca, gdyż założenie $x_{n} ⟶ + \infty$ implikuje, że $\exists N \in ℕ \forall n \geq N : x_{n} > 1,$ więc w szczególności $x_{n} \neq 1 .$

(2) Liczymy

\begin{aligned} \lim_{n \to + \infty} (\frac{n}{n + 1})^{n} & = & \lim_{n \to + \infty} (\frac{n + 1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1})^{n} = \lim_{n \to + \infty} (1 - \frac{1}{n + 1})^{n} \\ = & \lim_{n \to + \infty} \underset{\to \frac{1}{e}}{\underset{⏟}{(1 - \frac{1}{n + 1})^{n + 1}}} \cdot \underset{\to 1}{\underset{⏟}{(1 - \frac{1}{n + 1})^{- 1}}} = \frac{1}{e}, \end{aligned}

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy udowodniony już punkt (1).

(3) Liczymy

\begin{aligned} \lim_{n \to + \infty} (\frac{n - 3}{n + 2})^{n} & = & \lim_{n \to + \infty} (\frac{n + 2}{n + 2} - \frac{5}{n + 2})^{n} = \lim_{n \to + \infty} (1 - \frac{5}{n + 2})^{n} \\ = & \lim_{n \to + \infty} [\underset{\to \frac{1}{e}}{\underset{⏟}{(1 - \frac{1}{\frac{n + 2}{5}})^{\frac{n + 2}{5}}}}]^{\overset{\to 5}{\overset{⏞}{\frac{5 n}{n + 2}}}} = \frac{1}{e^{5}}, \end{aligned}

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy udowodniony już punkt (1) oraz twierdzenie o arytmetyce granic.

(4) Ponieważ

\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 2}{n} = \lim_{n \to + \infty} (n + \frac{2}{n}) = + \infty,

więc

\lim_{n \to + \infty} (\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{\frac{n^{2} + 2}{n}}})^{\overset{\to + \infty}{\overset{⏞}{n}}} = + \infty,

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych.

(5) Liczymy

\lim_{n \to + \infty} (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} + 1})^{2 n^{2} + 2} = \lim_{n \to + \infty} (\frac{n^{2} + 1}{n^{2} + 1} + \frac{1}{n^{2} + 1})^{2 n^{2} + 2} =

= \lim_{n \to + \infty} [\underset{\to e}{\underset{⏟}{(1 + \frac{1}{n^{2} + 1})^{n^{2} + 1}}}]^{2} = e^{2},

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie 5.1. (2).

(6) Ponieważ

\lim_{n \to + \infty} \frac{n + 2}{n^{2} + 1} = \lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{0}{1} = 0,

więc

\lim_{n \to + \infty} (\underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{n + 2}{n^{2} + 1}}})^{\overset{\to + \infty}{\overset{⏞}{n}}} = 0,

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych (patrz twierdzenie 5.4. (8)).

Ćwiczenie 5.3.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} n \cdot \sin \frac{3}{n}$
(2) $\lim_{n \to + \infty} n \cdot \cos \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{10}{n}$
(3) $\lim_{n \to + \infty} a r c t g (\frac{n^{2} + 1}{n})$
(4) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{5} + n^{6}}{2^{n} + 3^{n}} .$

Wskazówka

(1) Skorzystać z granicy specjalnej $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin x_{n}}{x_{n}} = 1,$ gdzie $x_{n} ⟶ 0 .$
(2) Podobnie jak w punkcie (1).
(3) Najpierw wyznaczyć granicę argumentu funkcji $a r c t g .$
(4) Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach oraz twierdzenie 5.3.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

\lim_{n \to + \infty} n \cdot \sin \frac{3}{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{\sin \frac{3}{n}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to + \infty} 3 \cdot \underset{\to 1}{\underset{⏟}{\frac{\sin \frac{3}{n}}{\frac{3}{n}}}} = 3 \cdot 1 = 3,

gdzie skorzystaliśmy z granicy specjalnej $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin x_{n}}{x_{n}} = 1$ dla $x_{n} = \frac{3}{n} ⟶ 0$ (patrz twierdzenie 5.8. (8)).

(2) Liczymy

\lim_{n \to + \infty} n \cdot \cos \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{10}{n} = \lim_{n \to + \infty} 10 \cdot \underset{\to 1}{\underset{⏟}{\cos \frac{1}{n}}} \cdot \underset{\to 1}{\underset{⏟}{\frac{\sin \frac{10}{n}}{\frac{10}{n}}}} = 10,

gdzie skorzystaliśmy z granicy specjalnej $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin x_{n}}{x_{n}} = 1$ dla $x_{n} = \frac{10}{n} ⟶ 0$ (patrz twierdzenie 5.8. (8)).

(3) Ponieważ

\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 1}{n} = \lim_{n \to + \infty} (n + \frac{1}{n}) = + \infty,

więc

\lim_{n \to + \infty} a r c t g (\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{\frac{n^{2} + 1}{n}}}) = \frac{π}{2} .

(4) Zauważmy, że

0 \leq \frac{n^{5} + n^{6}}{2^{n} + 3^{n}} \leq \frac{2 n^{6}}{2^{n}} .

Niech $a_{n} = \frac{2 n^{6}}{2^{n}} .$ W celu obliczenia granicy $\lim_{n \to + \infty} a_{n}$ wyliczmy

\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{2 (n + 1)^{6} 2^{n}}{2^{n + 1} 2 n^{6}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n})^{6} = \frac{1}{2} .

Zatem korzystając z twierdzenie 5.3. (1), wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 .$ Z kolei z twierdzenia o trzech ciągach i powyższego oszacowania mamy, że

\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{5} + n^{6}}{2^{n} + 3^{n}} = 0 .

Ćwiczenie 5.4.

Obliczyć granice górne i dolne następujących ciągów:
(1) $a_{n} = (1 - \frac{1}{n})^{n} \cos n π,$
(2) $a_{n} = \sin \frac{n π}{2},$
(3) $a_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n} + 3 \cdot (- 1)^{n + 1} .$

Wskazówka

(1) Zbadać jak wygląda ciąg ${\cos n π} .$
(2) Zbadać jakie wartości przyjmuje ciąg ${a_{n}} .$
(3) Zbadać jakie wartości przyjmuje ciąg ${a_{n}} .$

Rozwiązanie

<flash>file=AM1_M05.C.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Wykres funkcji

f (x) = \sin \frac{π x}{2}

oraz ciągu

a_{n} = \sin \frac{n π}{2}

(1) Zauważmy, że $\cos n π = (- 1)^{n}$ dla $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} (1 - \frac{1}{n})^{n} = \frac{1}{e}$ (patrz ćwiczenie 5.2.).

Zatem dla wyrazów parzystych mamy

$\lim_{k \to + \infty} a_{2 k} = \lim_{k \to + \infty} (1 - \frac{1}{2 k})^{2 k} \cos 2 k π = \lim_{k \to + \infty} (1 - \frac{1}{2 k})^{2 k} = \frac{1}{e},$

a dla nieparzystych

$\lim_{k \to + \infty} a_{2 k - 1} = \lim_{k \to + \infty} (1 - \frac{1}{2 k - 1})^{2 k - 1} \cos (2 k - 1) π =$ $- \lim_{k \to + \infty} (1 - \frac{1}{2 k - 1})^{2 k - 1} = - \frac{1}{e} .$

Wnioskujemy stąd, że

$lim sup_{n \to + \infty} a_{n} = \frac{1}{e} oraz lim inf_{n \to + \infty} a_{n} = - \frac{1}{e}$

(2) Zauważmy, że

$a_{n} = \sin \frac{n π}{2} = {\begin{cases} 0 & gdy & n = 4 k, \\ 1 & gdy & n = 4 k + 1, \\ 0 & gdy & n = 4 k + 2, \\ - 1 & gdy & n = 4 k + 3, \end{cases}$

Zatem kolejne wyrazy ciągu wynoszą:

$1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, 0, \dots$

Jedynymi wartościami ciągu jak również jego punktami skupienia są: $1, 0, - 1 .$ Zatem

$lim inf_{n \to + \infty} a_{n} = - 1 oraz lim inf_{n \to + \infty} a_{n} = 1 .$

<flash>file=AM1_M05.C.R01.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Wykres funkcji

f (x) = \cos π x

oraz ciągu

a_{n} = \cos n π = (- 1)^{n}

<flash>file=AM1_M05.C.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Wykres ciągu

a_{n} = (1 - \frac{1}{n})^{n} \cos n π

(3) Zauważmy, że

2 \cdot (- 1)^{n} = {\begin{cases} 2 & gdy & n = 2 k, \\ - 2 & gdy & n = 2 k - 1, \end{cases} oraz 3 (- 1)^{n + 1} = {\begin{cases} - 3 & gdy & n = 2 k, \\ 3 & gdy & n = 2 k - 1 . \end{cases}

Zatem ciąg ${a_{n}}$ przyjmuje tylko dwie wartości

a_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n} + 3 (- 1)^{n + 1} = {\begin{cases} - 1 & gdy & n = 2 k, \\ 1 & gdy & n = 2 k - 1, \end{cases}

co możemy zapisać krócej

\forall n \in ℕ : a_{n} = (- 1)^{n + 1},

czyli

lim inf_{n \to + \infty} a_{n} = - 1 oraz lim inf_{n \to + \infty} a_{n} = 1 .

Ćwiczenie 5.5.

Ciąg ${x_{n}}$ zadany jest rekurencyjnie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_1=1,\quad \forall n\ge 1:\ x_{n+1}=\frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg), }

gdzie $c > 0 .$ Zbadać zbieżność ciągu ${x_{n}} .$ Jeśli jest on zbieżny, obliczyć jego granicę.

Wskazówka

Wykazać kolejno, że ciąg ${x_{n}}$ jest ograniczony od dołu przez $\sqrt{c}$ (przynajmniej od drugiego miejsca) następnie, że jest malejący (także przynajmniej od drugiego miejsca). Należy skorzystać z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym w celu stwierdzenia istnienia granicy. W końcu obliczyć granicę wykorzystując związek rekurencyjny.

Rozwiązanie

Najpierw zauważmy, że $x_{n} > 0$ dla każdego $n \geq 1 .$ Następnie pokażemy, że $x_{n} \geq \sqrt{c}$ dla każdego $n \geq 2 .$ W tym celu przekształcamy oczywistą nierówność $(x_{n} - \sqrt{c})^{2} \geq 0,$ otrzymując kolejno

x_{n}^{2} - 2 \sqrt{c} x_{n} + c \geq 0,

x_{n}^{2} + c \geq 2 \sqrt{c} x_{n}

x_{n} + \frac{c}{x_{n}} \geq 2 \sqrt{c}

\frac{1}{2} (x_{n} + \frac{c}{x_{n}}) \geq \sqrt{c},

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ x_{n+1} \ge \sqrt{c}. }

Pokażemy następnie, że ciąg ${x_{n}}$ jest malejący (przynajmniej od drugiego wyrazu). Ponieważ $x_{n} \geq \sqrt{c}$ dla $n \geq 2,$ więc mamy kolejno

x_{n}^{2} \geq c

x_{n}^{2} + c \leq 2 x_{n}^{2}

x_{n} + \frac{c}{x_{n}} \leq 2 x_{n}

\frac{1}{2} (x_{n} + \frac{c}{x_{n}}) \leq x_{n},

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge 2:\ x_{n+1} \le x_n, }

czyli ciąg ${x_{n}}$ jest malejący (począwszy od drugiego wyrazu). Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (patrz twierdzenie 4.15.), wnioskujemy, że ciąg ten ma granicę $g \in ℝ .$ W zadanym związku rekurencyjnym $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{c}{x_{n}})$ możemy zatem przejść do granicy po obu stronach (oczywiście $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = \lim_{n \to + \infty} x_{n + 1}$ ), otrzymując

\underset{= g}{\underset{⏟}{\lim_{n \to + \infty} x_{n + 1}}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{c}{x_{n}}) = \frac{1}{2} (\underset{= g}{\underset{⏟}{\lim_{n \to + \infty} x_{n}}} + \frac{c}{\underset{= g}{\underset{⏟}{\lim_{n \to + \infty} x_{n}}}}),

zatem

g = \frac{1}{2} (x + \frac{c}{g}) .

Zatem, jeśli $g$ jest granicą, to musi spełniać powyższą równość. Rozwiązując to równanie, dostajemy $g = \sqrt{c} .$
Odpowiedź: $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = \sqrt{c} .$

Ćwiczenie 5.6.

Niech ${a_{n}} \subseteq ℝ$ będzie ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy $\forall n \in ℕ : a_{n} > 0$ ). Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) jeśli $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a < 1,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ ;

(2) jeśli $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a > 1,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty .$
Korzystając z powyższych stwierdzeń, wyznacz następujące granice:

(3) $\lim_{n \to + \infty} \frac{a^{n}}{n!},$ gdzie $a \in ℝ$ ;

(4) $\lim_{n \to + \infty} \frac{a^{n}}{n^{k}},$ gdzie $a, k > 0 .$

Wskazówka

(1) Dobrać tak małe $ε > 0,$ aby wyrazy ciągu ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$ były mniejsze od pewnej liczby $b < 1 .$ Wyprowadzić stąd oszacowanie na wyrazy ciągu ${a_{n}}$ przez wyrazy ciągu geometrycznego $M b^{n}$ (od pewnego miejsca, gdzie $M$ jest pewną stałą).
(2) Zrobić analogicznie do poprzedniego twierdzenia, dobierając tym razem tak małe $ε > 0$ , aby wyrazy ciągu ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$ były większe od pewnej liczby $b > 1 .$
(3) Rozważyć osobno przypadki $a = 0, a > 0$ i $a < 0 .$ Gdy $a > 0,$ obliczyć granicę ilorazu $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ w celu skorzystania z punktu (1) lub (2).
(4) Obliczyć granicę ilorazu $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ w celu skorzystania z punktu (1) lub (2). Rozważyć osobno przypadki $a < 1, a = 1$ i $a > 1 .$

Rozwiązanie

(1) Ponieważ $a < 1,$ więc możemy wybrać $b$ takie, że $a < b < 1 .$ Niech $ε = b - a .$ Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}-a\bigg|< b-a, }

więc w szczególności mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ 0 \ <\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \ <\ b, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_{n+1} \ <\ b\cdot a_n. }

Postępując indukcyjnie, dla dowolnego $n \geq N,$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_{n+1} \ <\ b\cdot a_n \ <\ b^2\cdot a_{n-1} \ <\ b^3\cdot a_{n-2} \ <\ \ldots \ <\ b^{n+1-N}\cdot a_N = Mb^n, }

gdzie $M = b^{1 - N} a_{N}$ jest stałą niezależną od $n .$ Zatem pokazaliśmy, że wyrazy naszego ciągu ${a_{n}}$ (począwszy od $N$ -tego miejsca) szacują się od góry przez wyrazy ciągu geometrycznego ${M b^{n}},$ który jest zbieżny do zera (bo $0 < b < 1$ ). Z założenia wiemy, że wyrazy $a_{n} > 0,$ zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,$ co należało dowieść.

(2) Ponieważ $a > 1,$ więc możemy wybrać $b$ takie, że $a > b > 1 .$ Niech $ε = a - b .$ Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}-a\bigg|< a-b, }

więc w szczególności mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ \frac{a_{n+1}}{a_n} > b, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_{n+1} > b\cdot a_n. }

Postępując indukcyjnie, dla dowolnego $n \geq N,$ dostajemy

a_{n + 1} > b \cdot a_{n} > b^{2} \cdot a_{n - 1} > b^{3} \cdot a_{n - 2} > \dots > b^{n + 1 - N} \cdot a_{N} = M b^{n},

gdzie $M = b^{1 - N} a_{N}$ jest stałą niezależną od $n .$ Zatem pokazaliśmy, że wyrazy naszego ciągu ${a_{n}}$ (począwszy od $N$ -tego miejsca) szacują się od dołu przez wyrazy ciągu geometrycznego ${M b^{n}},$ który jest rozbieżny do $+ \infty$ (bo $b > 1$ ). Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty,$ co należało dowieść.

(3) Niech $a_{n} = \frac{a^{n}}{n!}$ dla $n \in ℕ .$

Gdy $a = 0,$ to ciąg jest zerowy i jego granica wynosi $0 .$

Załóżmy teraz, że $a > 0$ . Liczymy

\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{a^{n + 1} n!}{(n + 1)! a^{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{a}{n} = 0 .

Zatem korzystając z punktu (1), dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0 .$

W końcu gdy $a < 0,$ to zauważmy, że definiując $b_{n} = | a_{n} |,$ mamy $b_{n} = \frac{| a |^{n}}{n!},$ zatem możemy wykorzystać już udowodnioną część i wywnioskować, że $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = \lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0 .$ Korzystając teraz z twierdzenia 4.9. (7), dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 .$

Zatem dla dowolnego $a \in ℝ$ dostaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 .$

(4) Niech $a_{n} = \frac{a^{n}}{n^{k}} .$ Liczymy

\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{a^{n + 1} n^{k}}{(n + 1)^{k} a^{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{a}{(1 + \frac{1}{n})^{k}} = a .

Zatem, jeśli $a < 1,$ to korzystając z punktu (1), dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 .$ Jeśli $a > 1,$ to korzystając z punktu (2) dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty .$ Jeśli $a = 1,$ to stwierdzamy bezpośrednio, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0 .$

Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 5: Obliczanie granic

5. Obliczanie granic

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia