Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 10: Łańcuchy Markowa: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
m Zastępowanie tekstu – „.↵</math>” na „</math>”
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
 
Linia 10: Linia 10:
<quiz>Niech <math>\xi_1,\xi_2, \xi_3, \dots</math> oznaczają liczbę oczek
<quiz>Niech <math>\xi_1,\xi_2, \xi_3, \dots</math> oznaczają liczbę oczek
uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.
uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.
Określmy: <center><math>X_0 = 0</math>  oraz  <math> X_{i} = X_{i-1} + \xi_i</math>  dla  <math> i =
Określmy: <center><math>X_0 = 0</math>  oraz  <math> X_{i} = X_{i-1} + \xi_i</math>  dla  <math> i =
1,2,3, \dots</math>.</center>
1,2,3, \dots</math>.</center>
Wtedy ciąg zmiennych losowych <math>\{X_i\}</math> jest
Wtedy ciąg zmiennych losowych <math>\{X_i\}</math> jest

Aktualna wersja na dzień 22:14, 11 wrz 2023

W przykładzie 10.3 przestrzenią stanów jest:

zbiór liczb całkowitych.

zbiór liczb rzeczywistych.

zbiór liczb naturalnych.

zbiór {−1,0,1}.


Niech ξ1,ξ2,ξ3,… oznaczają liczbę oczek uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.

Określmy:

X0=0 oraz Xi=Xi−1+ξi dla i=1,2,3,….

Wtedy ciąg zmiennych losowych {Xi} jest łańcuchem Markowa, w którym:

przestrzeń stanów E jest zbiorem liczb naturalnych 0,1,2,…

𝐩(k,k)=0 oraz 𝐩(k,k+1)=𝐩(k,k+6) dla każdego k∈E.

każde dwa stany się komunikują.

suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia 𝐏 jest równa 1.


Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:

𝐏=[121210]

Wtedy:

łańcuch ten jest powracający.

łańcuch ten jest nieredukowalny.

łańcuch ten jest okresowy.

łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych 23 i 13.


Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jeżeli ciąg Xn jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów E⊂ℝ, to także ciąg Xn2 jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów E.

Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny.

Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny.

Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia 𝐏 pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten jest nieredukowalny.


Niech Xn będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie Uzupelnic markov10| dla k=3. Wtedy:

łańcuch Xn ma skończony zbiór stanów.

łańcuch Xn jest nieredukowalny.

łańcuch Xn jest powracający.

łańcuch Xn jest okresowy.


Niech Xn, n=0,1,2,3,…, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Q. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Ciąg Xn jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki.

Jeżeli Q jest rozkładem dyskretnym, to ciąg Xn jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze macierzy przejścia są sobie równe.

Jeżeli Q jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg Xn jest łańcuchem Markowa, a wszystkie kolumny macierzy przejścia są sobie równe.

Ciąg Xn nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne).

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Rachunek_prawdopodobieństwa_i_statystyka/Test_10:_Łańcuchy_Markowa&oldid=82551”