Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 10: Łańcuchy Markowa

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

W przykładzie 10.3 przestrzenią stanów jest:

zbiór liczb całkowitych.

zbiór liczb rzeczywistych.

zbiór liczb naturalnych.

zbiór .


Niech oznaczają liczbę oczek uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.

Określmy:

oraz dla

Wtedy ciąg zmiennych losowych jest łańcuchem Markowa, w którym:

przestrzeń stanów jest zbiorem liczb naturalnych

oraz dla każdego .

każde dwa stany się komunikują.

suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia jest równa 1.


Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:

Wtedy:

łańcuch ten jest powracający.

łańcuch ten jest nieredukowalny.

łańcuch ten jest okresowy.

łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych i .


Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jeżeli ciąg jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów , to także ciąg jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów .

Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny.

Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny.

Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten jest nieredukowalny.


Niech będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie Uzupelnic markov10| dla . Wtedy:

łańcuch ma skończony zbiór stanów.

łańcuch jest nieredukowalny.

łańcuch jest powracający.

łańcuch jest okresowy.


Niech , , będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie . Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Ciąg jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki.

Jeżeli jest rozkładem dyskretnym, to ciąg jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze macierzy przejścia są sobie równe.

Jeżeli jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg jest łańcuchem Markowa, a wszystkie kolumny macierzy przejścia są sobie równe.

Ciąg nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne).