Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 12: Metoda największej wiarygodności

Rozważmy funkcję $f:\mathbb{ℝ}⟶\mathbb{ℝ}$, określoną wzorem:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}-x^2\ln |x|,& x\ne 0\\ 0,& x=0.\end{array}$

Wówczas:

nie istnieje wartość największa funkcji $f$. Źle

funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów. Dobrze

wartość największa funkcji $f$ jest równa $0$. Źle

wartość największa funkcji $f$ jest liczbą niewymierną. Dobrze

Załóżmy, że próbka prosta $X_1,\dots ,X_n$ pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

$f(x)={\alpha }^{2}x{e}^{-\alpha x}{I}_{[0,\mathrm{\infty })}(x)$,

gdzie $I_{[0,\mathrm{\infty })}$ oznacza funkcję charakterystyczną przedziału $[0,\mathrm{\infty })$, oraz że $T(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem największej wiarygodności parametru $\alpha$. Wtedy:

$S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2\sum _{i=1}^n{X}_i}{2n-1}$ jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej. Dobrze

$\frac{nT}{n+1}$ jest estymatorem zgodnym parametru $\alpha$. Dobrze

$T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. Źle

$T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n+1}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. Źle

Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności $\theta >0$. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:

$\begin{array}{rccc}Wiek& 10& 30& 80\\ Liczbachorych& 1& 5& 9\end{array}$

Jeżeli $\hat{\theta }$ oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru $\theta$, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

$\theta >\frac{1}{80}$. Źle

$\theta =0.01$. Źle

$\theta \in (0.01,0.0125)$. Źle

żadne z powyższych. Dobrze

Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak $\alpha <0$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $[\alpha ,0]$ jest:

$\max \{X_1,\dots ,X_n\}$. Źle

$\frac{n+1}{n}\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. Źle

$2\overline{X}$. Źle

$\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. Dobrze

Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność $p$, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator $\hat{p}$ nieznanej wartości $p$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

$\hat{p}<0.5$. Dobrze

$\hat{p}<0.4$. Źle

$\hat{p}=0.4$. Dobrze

$\hat{p}>\frac{2}{5}$. Źle

W celu oszacowania wartości przeciętnej $\hat{m}$ czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

$2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3$.

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

$\hat{m}=2.9$. Źle

$\hat{\lambda }=\frac{10}{29}$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest oceną parametru $\lambda$. Źle

$\hat{m}=\hat{\lambda }$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. Źle

$\hat{\lambda }\approx 0.35$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. Dobrze