Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 12: Metoda największej wiarygodności

Rozważmy funkcję $f\colon {\mathbb {R} }\longrightarrow {\mathbb {R} }$, określoną wzorem:

$f(x)=\left\{{\begin{array}{rl}-x^{2}\ln {|x|},&x\neq 0\\0,&x=0.\end{array}}\right.$

Wówczas:

nie istnieje wartość największa funkcji $f$. Źle

funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów. Dobrze

wartość największa funkcji $f$ jest równa $0$. Źle

wartość największa funkcji $f$ jest liczbą niewymierną. Dobrze

Załóżmy, że próbka prosta $X_{1},\ldots ,X_{n}$ pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

$f(x)=\alpha ^{2}xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty )}(x)$,

gdzie $I_{[0,\infty )}$ oznacza funkcję charakterystyczną przedziału $[0,\infty )$, oraz że $T(X_{1},\ldots ,X_{n})$ jest estymatorem największej wiarygodności parametru $\alpha$. Wtedy:

$S(X_{1},\ldots ,X_{n})={\frac {2\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{2n-1}}$ jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej. Dobrze

${\frac {nT}{n+1}}$ jest estymatorem zgodnym parametru $\alpha$. Dobrze

$T(X_{1},\ldots ,X_{n})={\frac {2n}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}$. Źle

$T(X_{1},\ldots ,X_{n})={\frac {2n+1}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}$. Źle

Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności $\theta >0$. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:

${\begin{array}{r|c|c|c|c|}Wiek&10&30&80\\\hline Liczba\quad chorych&1&5&9\\\hline \end{array}}$

Jeżeli ${\hat {\theta }}$ oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru $\theta$, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

$\theta >{\frac {1}{80}}$. Źle

$\theta =0.01$. Źle

$\theta \in (0.01,0.0125)$. Źle

żadne z powyższych. Dobrze

Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak $\alpha <0$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $[\alpha ,0]$ jest:

$\max\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$. Źle

${\frac {n+1}{n}}\min\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$. Źle

$2{\bar {X}}$. Źle

$\min\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$. Dobrze

Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność $p$, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator ${\hat {p}}$ nieznanej wartości $p$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

${\hat {p}}<0.5$. Dobrze

${\hat {p}}<0.4$. Źle

${\hat {p}}=0.4$. Dobrze

${\hat {p}}>{\frac {2}{5}}$. Źle

W celu oszacowania wartości przeciętnej ${\hat {m}}$ czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

$2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3$.

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

${\hat {m}}=2.9$. Źle

${\hat {\lambda }}={\frac {10}{29}}$, gdzie ${\hat {\lambda }}$ jest oceną parametru $\lambda$. Źle

${\hat {m}}={\hat {\lambda }}$, gdzie ${\hat {\lambda }}$ jest takie jak wyżej. Źle

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \hat{\lambda}\approx 0.35} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \hat{\lambda}} jest takie jak wyżej. Dobrze