Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 13: Całka nieoznaczona

13. Całka nieoznaczona

Ćwiczenie 13.1.

Obliczyć całki: $\int {\cos }^{2}xdx$ i $\int {\sin }^{2}xdx.$

Wskazówka

Zauważyć, że ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ oraz $co{s}^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x.$

Rozwiązanie

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, możemy policzyć całki z sumy oraz z różnicy funkcji ${\sin }^{2}x$ i ${\cos }^{2}x,$ a mianowicie:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{rllll} \displaystyle \int \sin^2x\,dx +\int \cos^2x\,dx & = &\displaystyle \int \big(\sin^2x+\cos^2x\big)\,dx & =& \displaystyle \int 1\,dx= x+c_1,\\ \displaystyle \int \cos^2x\,dx -\int \sin^2x\,dx & = &\displaystyle \int \big(\cos^2x-\sin^2x\big)\,dx & =&\displaystyle \int \cos 2x\,dx \ =\ \frac{1}{2}\sin 2x+c_2. \end{array}}

Dodając stronami powyższe równania i dzieląc przez 2, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int \cos^2x\,dx \ =\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+c_3, }

natomiast odejmując stronami i dzieląc przez 2, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int \sin^2x\,dx \ =\ \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+c_4. }

Ćwiczenie 13.2.

Obliczyć całki:
(1) $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx,$ gdzie $f\in C^1(\mathbb{ℝ}),$
(2) $\int (f(x){)}^{\alpha }{f}^{\prime }(x)dx,$ gdzie $f\in C^1(\mathbb{ℝ})$ oraz $\alpha \in \mathbb{ℝ}.$

Wskazówka

(1)-(2) Pierwotną łatwo odgadnąć. Można też zastosować podstawienie $f(x)=u.$

Rozwiązanie

(1) Obliczamy całkę, stosując podstawienie $f(x)=u.$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx& =&\displaystyle \left| \begin{array} {rcl} f(x) & = & u,\\ f'(x)\,dx & = & du \end{array} \right| \ =\ \int\frac{du}{u}\\\\ &=& \displaystyle\ln|u|+c \ =\ \ln \big|f(x)\big|+c. \end{array}}

(2) Zauważmy, że przypadek $\alpha =-1$ był rozwiązany w punkcie (1). Możemy więc założyć, że $\alpha \ne -1.$ Obliczamy całkę, stosując podstawienie $f(x)=u.$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\big(f(x)\big)^{\alpha}f'(x)\,dx \ =\ \left| \begin{array} {rcl} f(x) & = & u,\\ f'(x)\,dx & = & du \end{array} \right| \ =\ \int u^{\alpha}\,du \ =\ \frac{1}{\alpha+1}u^{\alpha+1}+c \ =\ \frac{1}{\alpha+1}\big(f(x)\big)^{\alpha+1}+c. }

Ćwiczenie 13.3.

Obliczyć następujące całki z funkcji wymiernych:
(1) $\int \frac{x+1}{x^2+2x-7}dx,$
(2) $\int \frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}dx.$

Wskazówka

(1) Jaki jest związek licznika z pochodną mianownika? Zastosować ćwiczenie 13.2. (1).
(2) Rozłożyć podcałkowe wyrażenie wymierne na ułamki proste (patrz twierdzenie 13.18.).

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I \ =\ \int\frac{x+1}{x^2+2x-7}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x-7}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{(x^2+2x-7)'}{x^2+2x-7}\,dx, }

zatem możemy skorzystać z ćwiczenia 13.2. (1), otrzymując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I \ =\ \ln\big|x^2+2x-7\big|+c. }

(2) Ponieważ $8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1{)}^3=2(x+\frac{1}{2}{)}^3,$ więc zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie wyrażenia wymiernego na ułamki proste (patrz twierdzenie 13.18.), szukamy rozkładu w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1} \ =\ \frac{A}{x+\frac{1}{2}} +\frac{B}{(x+\frac{1}{2})^2} +\frac{C}{(x+\frac{1}{2})^3} \ =\ \frac{2A}{2x+1} +\frac{4B}{(2x+1)^2} +\frac{8C}{(2x+1)^3}. }

Mnożąc obustronnie przez wspólny mianownik $(2x+1{)}^3$, otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 4-4x^2 \ =\ 2A(2x+1)^2 +4B(2x+1) +8C. }

Ponieważ powyższa równość zachodzi dla dowolnego $x\in \mathbb{ℝ}$ (jest to równość dwóch wielomianów), zatem podstawiając $x=-\frac{1}{2}$, otrzymujemy $C=\frac{3}{8}.$ Podstawiając to $C$ do równania, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 4-4x^2 \ =\ 2A(2x+1)^2 +4B(2x+1) +3, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1-4x^2 \ =\ 2A(2x+1)^2 +4B(2x+1) }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (1-2x)(1+2x) \ =\ 2A(2x+1)^2 +4B(2x+1). }

Dzieląc stronami przez $(2x+1)$, otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1-2x \ =\ 2A(2x+1) +4B. }

Ponownie wstawiając $x=-\frac{1}{2},$ obliczamy $B=\frac{1}{2}.$ Wstawiając obliczone $B$ do powyższej równości, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1-2x \ =\ 2A(2x+1) +2, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -1-2x \ =\ 2A(2x+1), }

dzieląc stronami przez $(2x+1)$, dostajemy $A=-\frac{1}{2}.$ Zatem szukanym rozkładem jest

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1} \ =\ \frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}} +\frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2} +\frac{\frac{3}{8}}{(x+\frac{1}{2})^3}. }

Możemy teraz obliczyć całkę

$\begin{array}{rlr}\int \frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}dx& =& \int \frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}dx+\int \frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2}{)}^2}dx+\int \frac{\frac{3}{8}}{(x+\frac{1}{2}{)}^3}dx\\ & =& -\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\frac{1}{2}}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^2}dx+\frac{3}{8}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^3}dx\\ & =& -\frac{1}{2}\ln |x+\frac{1}{2}|-\frac{1}{2}\frac{1}{x+\frac{1}{2}}-\frac{3}{16}\frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^2}+c\\ & =& -\frac{1}{2}\ln |2x+1|-\frac{1}{2x+1}-\frac{3}{4(2x+1{)}^2}+c_1,\end{array}$

W ostatniej równości dla uzyskania bardziej eleganckiego wyniku zastąpiliśmy stałą $C$ przez nową stałą $C_1=C+\frac{1}{2}\ln 2,$ gdyż zamiast $-\frac{1}{2}\ln |x+\frac{1}{2}|+c$ napisaliśmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{2}\ln\bigg|x+\frac{1}{2}\bigg|-\frac{1}{2}\ln 2+ \underbrace{\frac{1}{2}\ln 2+c}_{=c_1} \ =\ -\frac{1}{2}\ln\big|2x+1\big|+c_1. }

Ćwiczenie 13.4.

(1) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na obliczanie całki $I_n=\int \frac{dx}{(x^2+1{)}^n}$ dla $n=1,2,\dots .$ Wypisać wzory na $I_1,I_2,I_3.$
(2) Sprowadzić obliczanie całki z ułamka prostego postaci $\frac{bx+c}{(x^2+Bx+C{)}^k}$ (gdzie $B^2-4C<0$) do całki z punktu (1).

Wskazówka

(1) Dla $n=1$ całka jest nam znana. Dla $n\ge 2$ przekształcić całkę w następujący sposób

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_n \ =\ \int\frac{dx}{(x^2+1)^n} \ =\ \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n}\,dx \ =\ \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\,dx}_{=I_{n-1}} -\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx. }

Ostatni składnik policzyć, całkując przez części, traktując funkcję podcałkową jako iloczyn $x\cdot \frac{x}{(x^2+1{)}^n}.$
(2) Najpierw rozłożyć ułamek na sumę dwóch ułamków: pierwszego, którego licznik jest pochodną trójmianu z mianownika $x^2+Bx+C$ i drugiego, którego licznik jest stały. Do obliczenia całki z pierwszego ułamka wykorzystać ćwiczenie 13.2. (a). Obliczenie całki z drugiego z ułamków sprowadzić do punktu (1).

Rozwiązanie

(1) Dla $n=1$ całka wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{dx}{x^2+1} \ =\ \mathrm{arctg}\, x+c. }

Dla $n\ge 2$ przekształcamy całkę w następujący sposób

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_n \ =\ \int\frac{dx}{(x^2+1)^n} \ =\ \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n}\,dx \ =\ \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\,dx}_{=I_{n-1}} -\underbrace{\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx}_{=J_n}. }

Policzmy osobno ostatni składnik $J_n=x\cdot \frac{x}{(x^2+1{)}^n}$ przez części. W tym celu wyznaczmy najpierw pierwotną funkcji $\frac{x}{(x^2+1{)}^n}$ przez podstawienie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{x}{(x^2+1)^n}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {rcl} x^2+1 & = & t\\ x\,dx & = & \frac{1}{2}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^n} \ =\ \frac{1}{2}\frac{t^{-n+1}}{-n+1}+c \ =\ \frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}+c. }

Powróćmy teraz do wyliczenia całki $J_n$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align} J_n & = \left| \begin{array} {rclrcl} f(x) & = & x & f'(x) & = & 1\\ g'(x) & = & \displaystyle \frac{x}{(x^2+1)^n} & g(x) & = & \displaystyle \frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}} \end{array} \right|\\ & = x\cdot\frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}} -\int\frac{-dx}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}} \ =\ \frac{-x}{(2n-2)(x^2-1)^{n-1}} +\frac{1}{2n-2}I_{n-1}. \end{align}}

Wstawiając otrzymany wynik do wzoru na $I_n$, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_n \ =\ I_{n-1} +\frac{x}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}} -\frac{1}{2n-2}I_{n-1} \ =\ \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2-1)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}. } Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {rcl} I_1 & =& \mathrm{arctg}\, x+c\\ I_2 & = &\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\, x+c\\ I_3 & = &\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^2} +\frac{3}{8}\cdot\frac{x}{x^2+1} +\frac{3}{8}\mathrm{arctg}\, x+c\\ & \vdots & \\ I_n & =&\displaystyle \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2-1)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}\quad\text{dla}\ n=2,3,4 \end{array} . }

(2) Zapiszmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx \ =\ \frac{b}{2}\cdot \underbrace{\int\frac{2x+B}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx}_{=K_1} +\bigg(-\frac{bB}{2}+C\bigg) \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx}_{=K_2}. }

Całkę $K_1$ znamy już z ćwiczenia 13.2., a mianowicie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_1 \ =\ \int \frac{2x+B}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \displaystyle \ln\big(x^2+Bx+C)+c_1 & \text{dla} & n=1\\ \displaystyle \frac{-1}{n-1}\cdot\frac{1}{(x^2+Bx+C)^{n-1}}+c_1 & \text{dla} & n\ge 1. \end{array} \right. }

Całkę $K_2$ sprowadzimy do całki z punktu (1) przez odpowiednie podstawienie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align}K_2 & = & \int\frac{1}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx \ =\ \int\frac{dx}{\displaystyle\bigg[\bigg(x+\frac{B}{2}\bigg)^2+\underbrace{\frac{4C-B^2}{4}}_{=S}\bigg]^n} \ =\ \frac{1}{S^n} \int\frac{dx}{\displaystyle\bigg[\bigg(\frac{x+\frac{B}{2}}{\sqrt{S}}\bigg)^2+1\bigg]^n}\\ & = & \left| \begin{array} {rcl} \displaystyle \frac{x+\frac{B}{2}}{\sqrt{S}} & = & t\\ dx & = & \sqrt{S}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{\sqrt{S}}{S^n}\int\frac{dt}{(1+t)^n}. \end{align}}

Ćwiczenie 13.5.

Obliczyć całkę $\int \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}dx.$

Wskazówka

Dokonać dzielenia wielomianów, w celu przedstawienia funkcji podcałkowej jako sumy wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej (to znaczy takiej, gdzie stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika). Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste. Scałkować ułamki proste według metod z ćwiczenie 13.4.

Rozwiązanie

Ponieważ stopień mianownika nie jest większy od stopnia licznika, więc musimy najpierw wydzielić wielomiany w liczniku i mianowniku. Następnie dokonujemy rozkładu na ułamki proste. Było to już zrobione na wykładzie (patrz przykład 13.19.). Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9} \ =\ x+ \frac{x}{x^2+2x+3}+\frac{x-1}{x^2-2x+3}. }

Zatem nasza całka wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx \ =\ \int x\,dx + \underbrace{\int \frac{x}{x^2+2x+3}\,dx}_{=K_1} + \underbrace{\int\frac{x-1}{x^2-2x+3}\,dx}_{=K_2} }

Policzmy każdą z całek osobno według metody opisanej z ćwiczenie 13.3.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_1 \ =\ \underbrace{\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_1} -\underbrace{\int\frac{1}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_2}. }

Teraz z kolei mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle L_1 \ =\ \frac{1}{2}\ln\big(x^2+2x+3\big)+c_1 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align} L_2 & = & \int\frac{1}{(x+1)^2+2}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{1}{\displaystyle\bigg(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\bigg)^2+1}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {lll} \displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{2}} & = & t\\ \,dx & = & \sqrt{2}\,dt \end{array} \right|\\ & = & \frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dt}{t^2+1} \ =\ \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c_2, \end{align}}

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_1 \ =\ \ln\big(x^2+2x+3\big) + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c_3. }

Przechodząc do drugiej z całek, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_2 \ =\ \int\frac{x-1}{x^2-2x+3}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^2-2x+3}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\ln\big(x^2-2x+3\big)+c_4 }

Ostatecznie dostajemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx \ =\ \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}\ln\big(x^2+2x+3\big) - \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\ln\big(x^2-2x+3\big)+c_5. }

Ćwiczenie 13.6.

Obliczyć całki:
(1) $\int \frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}dx,$
(2) $\int \sqrt{1+4x^2}dx.$

Wskazówka

(1)--(2) Wykorzystać metodę współczynników nieoznaczonych.

Rozwiązanie

(1) Z metody współczynników nieoznaczonych wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}\,dx \ =\ a\sqrt{4x^2+x} +k \int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}}. }

Aby wyznaczyć $a$ i $k,$ różniczkujemy stronami i dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}} \ =\ \frac{a(8x+1)}{2\sqrt{4x^2+x}} +\frac{k}{\sqrt{4x^2+x}}, }

a mnożąc stronami przez $\sqrt{4x^2+x},$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+4x \ =\ 4ax+\frac{1}{2}a+k, }

stąd $a=1$ i $k=\frac{1}{2}.$ Ponadto obliczamy całkę

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align}\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}} & = & \int\frac{dx}{\sqrt{(2x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}}} \ =\ \left| \begin{array} {rcl} 2x+\frac{1}{4} & = & t \\ \,dx & = & \frac{1}{2}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}}\\ & = & \frac{1}{2} \ln\left|t+\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}\right|+c \ =\ \frac{1}{2} \ln\left|2x+\frac{1}{4}+\sqrt{4x^2+x}\right|+c. \end{align}}

(2) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\sqrt{1+4x^2}\,dx \ =\ \int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx, }

więc możemy policzyć ostatnią całkę metodą współczynników nieoznaczonych. Wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx \ =\ (ax+b)\sqrt{1+4x^2} +k \int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}. }

Aby wyznaczyć $a,b$ i $k,$ różniczkujemy stronami i dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}} \ =\ a\sqrt{1+4x^2} +\frac{(ax+b)\cdot 8x}{2\sqrt{1+4x^2}} +\frac{k}{\sqrt{1+4x^2}}, }

a mnożąc stronami przez $\sqrt{1+4x^2},$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+4x^2 \ =\ a(1+4x^2) +4ax^2+4bx+k, }

stąd $a=\frac{1}{2},b=0$ i $k=\frac{1}{2}.$ Ponadto obliczamy całkę

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align}\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}} & = & \left| \begin{array} {rcl} 2x & = & t \\ \,dx & = & \frac{1}{2}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\\ & = & \frac{1}{2} \ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+c \ =\ \frac{1}{2} \ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right|+c. \end{align}}