Analiza matematyczna 2/Wykład 12: Całka krzwoliniowa. Twierdzenie Greena

Całka krzywoliniowa. Twierdzenie Greena

Ten wykład poświęcony jest pojęciu całki krzywoliniowej i twierdzeniu pozwalającemu liczyć całki krzywoliniowe przy pomocy całek podwójnych (albo vice versa) - czyli twierdzeniu Greena. Nasze rozważania dotyczące krzywych ograniczamy do krzywych płaskich (leżących w ${\mathbb{ℝ}}^2$). Podajemy definicje parametryzacji krzywej, krzywej regularnej, krzywej zamkniętej, orientacji, zbioru normalnego i zbioru regularnego. Twierdzenia Greena dowodzimy dla zbiorów regularnych. Wprowadzamy też pojęcie pola potencjalnego.

Na początku tego wykładu warto przypomnieć sobie twierdzenie Newtona-Leibniza (patrz AM1.Uzupelnic t.new.am1.w.14.140|), które mówi, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx \ =\ F(b)-F(a), }

gdzie $F$ jest pierwotną funkcji $f$. Zauważmy, że twierdzenie to wyraża całkę z funkcji $f$ po odcinku (przedziale $[a,b]$) za pomocą wartości $F$ na brzegu odcinka (to znaczy w punktach $a$ i $b$).

Okazuje się, że twierdzenie to można uogólnić. Takim uogólnieniem będzie twierdzenie Greena, które poznamy na tym wykładzie. Pozwala ono zamienić całkowanie po obszarze płaskim na całkowanie po krzywej, która ogranicza ten obszar.

Krzywe

<flash>file=AM2.M12.W.R01.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M12.W.R01.swf

Przypomnijmy definicję krzywej zwyczajnej (patrz Definicja AM1.Uzupelnic d.new.am1.w.15.030|).

Niech $[a,b]$ będzie przedziałem w $\mathbb{ℝ}.$ Weźmy ciągłą funkcję

$\gamma :[a,b]\ni t\to (\phi (t),\psi (t))\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

Załóżmy, że funkcja $\gamma$ jest różnowartościowa na $(a,b]$ i na $[a,b).$ (Możliwe jest więc, że $\gamma (a)=\gamma (b)$). Definicja 12.1.

Przy założeniach jak wyżej, krzywą zwyczajną $K$ będziemy nazywać obraz odcinka $[a,b]$ przez $\gamma ,$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ :=\ \{\gamma(t)\in \mathbb{R}^2 | t\in[a,b]\}. }

Funkcję $\gamma$ nazywamy parametryzacją krzywej $K.$

W dalszych rozważaniach będziemy zajmować się tylko krzywymi zwyczajnymi (czyli takimi, które nie mają punktów wielokrotnych, więc będziemy pisać "krzywa", zakładając, że jest to krzywa zwyczajna.

Uwaga 12.2.

Krzywa $K$ może mieć różne parametryzacje.

Przykład 12.3.

Jako krzywą $K$ weźmy odcinek w ${\mathbb{ℝ}}^2$ łączący punkt $(0,0)$ z punktem $(1,1).$ Oto przykłady parametryzacji $K$:
(1) ${\gamma }_I:[0,1]\to {\mathbb{ℝ}}^2,{\gamma }_I(t)=(t,t),$
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\gamma_{II}: [0,\frac{1}{2}]\to \mathbb{R}^2, \ \gamma_{II}(t)=(2t,2t),}
(3) ${\gamma }_{III}:[0,1]\to {\mathbb{ℝ}}^2,{\gamma }_{III}(t)=(1-t,1-t).$

Rysunek AM2.M12.W.R02 (stary numer AM2.12.11)

<flashwrap>file=AM2.M12.W.R03.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M12.W.R03

<flashwrap>file=AM2.M12.W.R04.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M12.W.R04

Definicja 12.4.

(1) Krzywą $K$ nazywamy łukiem gładkim, jeśli istnieje parametryzacja $\gamma =(\phi ,\psi ):[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ taka, że pochodne ${\phi }^{\prime }$ i ${\psi }^{\prime }$ są ciągłe oraz zachodzi

$({\phi }^{\prime }(t){)}^2+({\psi }^{\prime }(t){)}^2>0,$ dla każdego $t\in [a,b].$

(2) Krzywą $K$ nazywamy regularną, jeśli można ją podzielić na skończoną ilość łuków gładkich, to znaczy, jeśli istnieje parametryzacja $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ i istnieje podział odcinka $[a,b]$ punktami $a=t_0<t_1<\dots <t_s=b$ taki, że ${\gamma }_{[t_i,t_{i+1}]},i=0,\dots ,s-1$ parametryzuje łuk gładki.
(3) Jeśli $\gamma (a)=\gamma (b)$, to krzywą nazywamy

zamkniętą.

Weźmy teraz krzywą $K$ i jej parametryzację $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^2.$ Ustalmy $t_1,t_2\in [a,b]$ takie, że $t_1<t_2$ i oznaczmy $\gamma (t_1)=P_1,\gamma (t_2)=P_2.$ Niech $\tilde{\gamma }:[\alpha ,\beta ]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie inną parametryzacją krzywej $K.$

Definicja 12.5.

(1) Mówimy, że $\tilde{\gamma }$ zadaje na $K$ tę samą orientację co $\gamma$, jeśli dla $q_1,q_2\in [\alpha ,\beta ]$ takich, że $\tilde{\gamma }(q_1)=P_1$ i $\tilde{\gamma }(q_2)=P_2$ mamy $q_1<q_2.$
(Oznacza to, że dla $\tau$ przebiegających wartości od $\alpha$ do $\beta ,$ wartości $\tilde{\gamma }(\tau )$ "wędrują" po krzywej $K$ od punktu $A$ do punktu $B,$ tak samo jak wartości $\gamma (t)$ dla $t$ przebiegającego od $a$ do $b$).
(2) Mówimy, że $\tilde{\gamma }$ zadaje na $K$ orientację przeciwną niż $\gamma$ jeśli dla $q_1,q_2\in [\alpha ,\beta ]$ takich, że $\tilde{\gamma }(q_1)=P_1$ i $\tilde{\gamma }(q_2)=P_2$ mamy $q_1>q_2.$
(Tym razem dla $\tau$ przebiegających wartości od $\alpha$ do $\beta ,$ wartości $\tilde{\gamma }(\tau )$ "wędrują" po krzywej $K$ od punktu $B$ do punktu $A$).

Jeśli $A\ne B$, to jako $t_1,t_2$ możemy wziąć po prostu $a$ i $b.$

<flashwrap>file=AM2.M12.W.R05.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M12.W.R05

<flashwrap>file=AM2.M12.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M12.W.R06

Przykład 12.6.

Wróćmy do trzech parametryzacji odcinka, pokazanych w przykładzie powyżej. Łatwo zauważyć, że ${\gamma }_{II}$ zadaje na $K$ tę samą orientację co ${\gamma }_I$, a ${\gamma }_{III}$ zadaje orientację przeciwną niż ${\gamma }_I$ (i ${\gamma }_{II}$); weźmy na przykład $t_1=0,t_2=1,$ wtedy ${\gamma }_I(t_1)=(0,0),{\gamma }_I(t_2)=(1,1)$ oraz mamy ${\gamma }_{II}(0)=(0,0),{\gamma }_{II}\left(\frac{1}{2}\right)=(1,1)$ i $0<\frac{1}{2}.$ Dla ${\gamma }_{III}$ natomiast, ${\gamma }_{III}(1)=(0,0)$ i ${\gamma }_{III}(0)=(1,1),1>0,$ a więc ${\gamma }_{III}$ zadaje orientację przeciwną niż ${\gamma }_I,$ (patrz rysunek do Przykładu Uzupelnic p.am2.w.12.0030).

Możemy teraz zdefiniować całkę krzywoliniową zorientowaną.

Definicja 12.7.

Niech $K$ będzie krzywą w ${\mathbb{ℝ}}^2$ daną przez parametryzację $\gamma =(\phi ,\psi ):[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^2.$ Niech $F$ będzie odwzorowaniem ciągłym

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F \ =\ (P,Q): K\to \mathbb{R}^2. }

Niech $\circ$ oznacza iloczyn skalarny w ${\mathbb{ℝ}}^2,$ przez $(x,y)$ oznaczymy zmienne w ${\mathbb{ℝ}}^2.$ Wówczas całkę

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(F(\gamma (t))\circ {\gamma }^{\prime }(t))dt$

nazywamy całką krzywoliniową zorientowaną po krzywej $K$ i oznaczamy

$\underset{K}{\int }F\circ d\text{x},$

gdzie $d\text{x}=(dx,dy).$

<flashwrap>file=AM2.M12.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M12.W.R07

Zauważmy, że

$\begin{array}{lll}F(\gamma (t))\circ {\gamma }^{\prime }(t)& =& (P(\phi (t),\psi (t)),Q(\phi (t),\psi (t)))\circ ({\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t))\\ & =& P(\phi (t),\psi (t)){\phi }^{\prime }(t)+Q(\phi (t),\psi (t)){\psi }^{\prime }(t),\end{array}$

wszystkie funkcje występujące w tym wyrażeniu są z założenia ciągłe, zatem istnieje całka (Riemanna) po przedziale $[a,b]$ z $F(\gamma (t))\circ {\gamma }^{\prime }(t).$

Uwaga 12.8.

Zapis i oznaczenia
Całkę krzywoliniową $\underset{K}{\int }F\circ d\text{x}$ dla krzywej w $K\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ zapisuje się najczęściej jako

$\underset{K}{\int }P(x,y)dx+Q(x,y)dy,$

a dla krzywej zamkniętej $K$

${\oint }_{K}P(x,y)dx+Q(x,y)dy.$

Wykażemy teraz następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 12.9.

Niech $K,F$ i $\gamma$ będą jak w definicji Uzupelnic d.am2.w.12.0070|. Niech $\hat{\gamma }:[\alpha ,\beta ]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie inną parametryzacją krzywej $K.$ Jeśli $\hat{\gamma }$ zadaje tę samą orientację krzywej $K$ co $\gamma$, to

$\underset{K}{\int }\mathbf{𝐅}od\mathbf{𝐱}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(\hat{\gamma }(t))\circ {\hat{\gamma }}^{\prime }(t)dt;$

jeśli natomiast $\hat{\gamma }$ zadaje orientację krzywej $K$ przeciwną niż $\gamma$, to

$\underset{K}{\int }\mathbf{𝐅}od\mathbf{𝐱}=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(\hat{\gamma }(t))\circ {\hat{\gamma }}^{\prime }(t)dt.$

Stwierdzenie to mówi zatem, że dla parametryzacji dających tę samą orientację krzywej, całki krzywoliniowe zorientowane są równe. Dla parametryzacji dających orientację przeciwną, całka krzywoliniowa zorientowana zmienia znak - i stąd nazwa "zorientowana".

Warto tu zauważyć, że w takim razie - z dokładnością do znaku - całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji, zależy tylko od krzywej jako zbioru i od odwzorowania $F$.

Dowód 12.9.

Weźmy parametryzację krzywej $K,\hat{\gamma }:[\alpha ,\beta ]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ dającą tę samą orientację co $\gamma .$ Musimy wykazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }

Oznaczmy przez $\phi (t):={\gamma }^{-1}(\hat{\gamma }(t)).$ Wtedy $\hat{\gamma }(t)=\gamma (\phi (t))$ i ${\hat{\gamma }}^{\prime }(t)={\gamma }^{\prime }(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t).$ A zatem :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\gamma(\varphi(t)))\circ\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t)dt. }

Skorzystamy z twierdzenia o zmianie zmiennych w całce Riemanna (twierdzenie AM1.Uzupelnic t.new.am1.w.14.180|). Przyjmijmy $s=\phi (t),$ wtedy $\phi [\alpha ,\beta ]=[a,b]$ i mamy

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}F(\gamma (\phi (t)))\circ {\gamma }^{\prime }(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(\gamma (s)){\gamma }^{\prime }(s)ds,$

co należało dowieść.

Niech teraz $\hat{\gamma }:[\alpha ,\beta ]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie parametryzacją $K$ dającą orientację przeciwną $\gamma .$ Mamy wykazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ -\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }

Zdefiniujmy parametryzację $\tilde{\gamma }$ następująco:

$\tilde{\gamma }:[-b,-a]\ni t\to \hat{\gamma }(-t)\in K.$

Nietrudno zobaczyć, że jeśli $\hat{\gamma }$ daje orientację przeciwną niż $\gamma$, to $\tilde{\gamma }$ daje tę samą orientację co $\gamma .$ A zatem z pierwszej części dowodu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\tilde{\gamma}(s))\circ\tilde{\gamma}'(s)ds \ =\ \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds. }

Zauważmy, że $(\hat{\gamma }(-s){)}^{\prime }=-{\hat{\gamma }}^{\prime }(-s).$ Przyjmując $t=-s,$ mamy zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds \ =\ \displaystyle\int\limits_{b}^{a}F(\hat{\gamma}(t))\circ(-\hat{\gamma}'(t))d(-t) \ =\ -\displaystyle\int\limits_{a}^{b}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }

Uwaga 12.10.

(1) Niech $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie parametryzacją krzywej $K.$ Przez $-K$ będziemy oznaczać krzywą $K$ z parametryzacją $\hat{\gamma }:[-b,-a]\to {\mathbb{ℝ}}^2,\hat{\gamma }(t):=\gamma (-t)$ ($\hat{\gamma }$ zadaje orientację przeciwną niż $\gamma$).
(2) Jeśli krzywa $K_1$ ma parametryzację ${\gamma }_1:[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^2$, a krzywa $K_2$ parametryzację ${\gamma }_2:[b,c]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ oraz ${\gamma }_1(b)={\gamma }_2(b)$, to przez $K_1+K_2$ będziemy oznaczać krzywą o parametryzacji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \gamma: [a,c]\ni t \to \begincases \gamma_1(t), \ t\in[a,b]\\ \gamma_2(t)\ t\in [b,c]. \endcases }

(Czyli $K_1+K_2$ jest "sklejeniem" krzywych $K_1$ i $K_2$ w ten sposób, że koniec $K_1$ łączy się z początkiem $K_2$).

Przykład 12.11.

(1) Policzyć całkę

$\underset{K}{\int }(x-y)dx+(x+y)dy,$

gdzie $K$ jest górną połową okręgu o promieniu $1.$

Górna połowa okręgu o promieniu $1$ jest sparametryzowana przez

$\gamma :[0,\pi )\ni t\to (\cos t,\sin t)\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

A zatem zgodnie z definicją całki krzywoliniowej

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_K(x-y)dx+(x+y)dy &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi}\left((\cos t-\sin t)(\cos t)'+(\cos t+\sin t)(\sin t)'\right)dt\\ &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi}\left((\cos t-\sin t)(-\sin t)+(\cos t+\sin t)\cos t\right)dt \displaystyle\int\limits_0^{\pi}dt =\pi. \endaligned}

(2) Policzyć całkę

$\underset{K}{\int }ydx+xdy,$

gdzie $K$ jest okręgiem o promieniu $R.$

Parametryzacją okręgu o promieniu $R$ jest

$\gamma :[0,2\pi )\ni t\to (R\cos t,R\sin t)\in {\mathbb{ℝ}}^2,$

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_Kydx+xdy &= \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left((R\sin t)(-R\sin t)+(R\cos t)(R\cos t)\right)dt\\&=R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}(\cos^2t-\sin^2t)dt = R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\cos 2tdt=\frac{R^2}{2}\sin{2t}\bigg|_0^{2\pi}=0. \endaligned}

(3) Policzyć całkę

$\underset{K}{\int }{\cos }^{2}xdy+{\sin }^{2}ydx,$

gdzie $K$ jest odcinkiem w ${\mathbb{ℝ}}^2$ łączącym punkt $(0,0)$ z Punktem $(1,1).$

Jak już wiemy, odcinek $K$ możemy sparametryzować za pomocą:

$\gamma :[0,1]\ni t\to (t,t)\in K\subset {\mathbb{ℝ}}^2.$

Stąd

$\underset{K}{\int }{\cos }^{2}xdy+{\sin }^{2}ydx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}({\cos }^{2}t\cdot 1+{\sin }^{2}t\cdot 1)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}dt=1.$

<flashwrap>file=AM2.M12.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M12.W.R08

Sformułujemy teraz i udowodnimy twierdzenie, które mówi o związku całki krzywoliniowej z całką podwójną. Potrzebne nam będzie pojęcie krzywej zamkniętej "zorientowanej dodatnio". Weźmy $K,$ krzywą zamkniętą w ${\mathbb{ℝ}}^2,$ ograniczającą zbiór $D.$ Wybierzmy parametryzację $\gamma$ krzywej $K.$ Wybór parametryzacji wyznacza kierunek obiegu krzywej - z danego punktu poruszamy się w kierunku pokazywanym przez wektor styczny $[{\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t)].$ Umawiamy się, że $K$ jest zorientowana dodatnio, jeśli przy obiegu $K$ zgodnie z kierunkiem wyznaczonym przez parametryzację zbiór $D$ zostaje "po naszej lewej stronie".

Weźmy teraz krzywą $K$ zorientowaną dodatnio ograniczającą zbiór $D\subset {\mathbb{ℝ}}^2.$ Niech $\bar{D}$ oznacza $D\cup K.$ (Zapisujemy także $K=\partial D,K$ jest brzegiem $D$). Załóżmy, że zbiór $D$ jest normalny ze względu na obie osie. Weźmy dwie funkcje $P,Q:\bar{D}\to \mathbb{ℝ},$ ciągłe w $\bar{D}$ i mające ciągłe pochodne cząstkowe w $D$. Możemy teraz wypowiedzieć twierdzenie.

Twierdzenie 12.12. [Twierdzenie Greena]

Niech krzywa $K,$ zbiór $D$ oraz funkcje $P(x,y)$ i $Q(x,y)$ będą jak wyżej. Wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy. }

Dowód 12.12.

Wykażemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K P(x,y)dx \ =\ \iint\limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy }

i

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K Q(x,y) dy \ =\ \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) dxdy. }

Skoro zbiór $D$ jest normalny względem osi $Ox$, to istnieje przedział $[a,b]\subset \mathbb{ℝ}$ i dwie funkcje $y_1(x),y_2(x)$ takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, y_1(x)\leq y \leq y_2(x)\}. }

Oznaczmy przez $K_1$ wykres funkcji $y_1(x)$, a przez $K_2$ wykres funkcji $y_2(x).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ K_1+(-K_2), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b \dy \displaystyle\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx. }

Korzystając teraz z definicji całki krzywoliniowej, mamy:

$\underset{K_2}{\int }P(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x,y_2(x))dx$

oraz

$\underset{K_1}{\int }P(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x,y_1(x))dx,$

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx&=\displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx\\ &= -\displaystyle\int\limits_{-K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=-\oint_KP(x,y)dx. \endaligned}

Analogicznie skoro $D$ jest normalny względem osi $Oy$, to istnieje przedział $[c,d]\subset \mathbb{ℝ}$ i dwie funkcje $x_1(y),x_2(y)$ takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : c\leq y\leq d, x_1(y)\leq x \leq x_2(y)\}. }

Oznaczmy przez $L_1$ wykres funkcji $x_1(y)$, a przez $L_2$ wykres funkcji $x_2(y).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ L_1+(-L_2), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\displaystyle\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(Q(x_2(y),y)-Q(x_1(y),y)\right)dy= }

analogicznie jak wyżej

$=\underset{L_2}{\int }Q(x,y)dx-\underset{L_1}{\int }Q(x,y)dx={\oint }_{K}Q(x,y)dx.$

Uwaga 12.13.

Zauważmy, że twierdzenie Greena jest prawdziwe także dla zbiorów, które możemy podzielić na skończoną sumę zbiorów normalnych względem obu osi.

Dowód 12.13.

Wystarczy wykazać uwagę dla zbioru $D$ będącego sumą dwóch zbiorów normalnych względem obu osi $D=D_1\cup D_2.$ Niech $L$ będzie krzywą dzielącą $D$ na $D_1\cup D_2,$ niech $K_1=\partial D_1\setminus L,K_2=\partial D\setminus L.$ Zauważmy, że jeśli $\partial D_1$ i $\partial D_2$ zorientujemy dodatnio, to krzywą $L$ przebiegamy raz w jedną, raz w drugą stronę, możemy zatem napisać $\partial D=K=K_1+L+K_2-L.$
{ Rysunek AM2.M12.W.R09 (stary numer AM2.12.4)}
Wtedy

$\begin{array}{lll}\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy& =& \underset{D_1}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy+\underset{D_2}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\\ & =& \underset{K_1+L}{\int }Pdx+Qdy+\underset{K_2-L}{\int }Pdx+Qdy=\underset{K}{\int }Pdx+Qdy.\end{array}$

Przykład 12.14.

(1) Policzyć jeszcze raz całkę

$\underset{K}{\int }ydx+xdy,$

gdzie $K$ jest okręgiem o promieniu $R,$ tym razem korzystając z twierdzenia Greena.

Oznaczmy przez $D$ koło o promieniu $R.$ Teraz $P(x,y)=y,Q(x,y)+x.$ Z twierdzenia Greena mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_K ydx+xdy \ =\ \iint\limits_D(1-1)dxdy=\iint\limits_D 0 dxdy \ =\ 0. }

Wykażemy jeszcze następującą uwagę.

Uwaga 12.15.

Pole powierzchni obszaru $D$ ograniczonego krzywą $K$ wyraża się za pomocą całek krzywoliniowych następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |D| \ =\ \oint_Kxdy=-\oint_Kydx }

albo

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |D| \ =\ \frac{1}{2}\oint_Kxdy-ydx. }

Dowód 12.15.

Faktycznie, $|D|=\underset{D}{\iint }1dxdy,$ z twierdzenia Greena mamy $\underset{D}{\iint }1dxdy={\oint }_{K}xdy=-{\oint }_{K}ydx.$

Powiemy jeszcze kilka słów o polach potencjalnych. Z polami potencjalnymi spotkaliśmy się już na wykładzie poświęconym funkcjom wielu zmiennych. Przypomnijmy, że polem wektorowym nazywamy odwzorowanie z ${\mathbb{ℝ}}^N$ w ${\mathbb{ℝ}}^N$. (Nazwa bierze się stąd, że każdemu punktowi z ${\mathbb{ℝ}}^N$ przyporządkowujemy wartość odwzorowania w tym punkcie, a więc wektor z ${\mathbb{ℝ}}^N$).

Niech teraz $U\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie zbiorem, którego brzegiem jest jedna krzywa (zwyczajna) zamknięta $K$, to znaczy $K=\partial U$. (Taki zbiór będziemy nazywać zbiorem jednospójnym. Przykładem zbioru, który jest jednospójny jest koło. Koło bez środka nie jest zbiorem jednospójnym).

Na $U$ określmy odwzorowanie (pole wektorowe)

$F:U\to {\mathbb{ℝ}}^2,$ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F(x,y) \ =\ (P(x,y),Q(x,y))\in \mathbb{R}^2. }

Faktycznie to odwzorowanie każdemu punktowi $(x,y)\in U$ przyporządkowuje wektor $(P(x,y),Q(x,y))$ z ${\mathbb{ℝ}}^2.$

Będziemy zakładać, że nasze pole wektorowe $F$ jest ciągłe i ma ciągłe pochodne cząstkowe w $U.$

Definicja 12.16.

Mówimy, że pole wektorowe jest polem potencjalnym, jeśli istnieje funkcja (zwana potencjałem pola) $\varrho :U\to \mathbb{ℝ}$ taka, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (P(x,y),Q(x,y)) \ =\ \left(\frac{\partial \varrho}{\partial x}(x,y), \frac{\partial \varrho}{\partial y}(x,y)\right), }

co zapisujemy krótko

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F\ =\ \nabla\varrho. }

Uwaga 12.17.

Zauważmy, że jeśli pole jest potencjalne, to z faktu, że $P=\frac{\partial \varrho }{\partial x}$ i $Q=\frac{\partial \varrho }{\partial y},$ wynika, że $\frac{\partial P}{\partial y}\text{<mo stretchy="false">=</mo>}\frac{\partial Q}{\partial x}$, bo oba wyrażenia są równe $\frac{{\partial }^2\varrho }{\partial x\partial y}$.

Korzystając z twierdzenia Greena, możemy wykazać, że w polu potencjalnym całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania. Dokładniej, zachodzi następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie 12.18.

Niech $U$ będzie obszarem jednospójnym w ${\mathbb{ℝ}}^2$, a $F$ polem wektorowym na $U.$ Niech $A$ i $B$ będą dwoma punktami w $U$, a $K_1$ i $K_2$ dwoma krzywymi łączącymi punkty $A$ i $B.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1}Pdx+Qdy \ =\ \displaystyle\int\limits_{K_2}Pdx+Qdy. }

Dowód 12.18.

Stwierdzenie wykażemy tylko w przypadku, gdy krzywe $K_1$ i $K_2$ nie przecinają się i ograniczają razem zbiór normalny (względem którejś osi) $D,$ czyli $\partial D=K_1-K_2,$ tak jak w dowodzie twierdzenia Greena. Wtedy z twierdzenia Greena mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_{K_1-K_2}Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dxdy \ =\ 0, }

bo obie pochodne cząstkowe są sobie równe (zobacz wyżej).

Zauważmy, że z tego stwierdzenia wynika od razu, że całka po krzywej zamkniętej w polu potencjalnym wynosi zero.

Można także sformuowaćnastępujące stwierdzenie (dowód pominiemy).

Stwierdzenie 12.19.

Niech $U$ będzie obszarem jednospójnym w ${\mathbb{ℝ}}^2$, a $F=(P,Q)$ polem wektorowym klasy ${{𝒞}}^1$ na $U.$ Jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} \ =\ \frac{\partial Q}{\partial x}, }

to pole $F$ jest polem potencjalnym.

Przykład 12.20.

Przypomnijmy znany z fizyki wzór na pracę. Niech $F=(P,Q)$ będzie polem wektorowym reprezentującym siłę. Siły pola $F$ działają na punkt, który przesuwamy po krzywej $K.$ Wtedy praca pola sił wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle W \ =\ \displaystyle\int\limits_KF\circ d\textbf{x} \ =\ \displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy. }

(1) Policzmy pracę wykonaną przez pole sił $F=(P,Q),$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P(x,y) \ =\ x^2+y^2, \ Q(x,y)=2xy, }

wzdłuż krzywej $K$: $y=x^2,$ przy przesunięciu punktu od punktu $(0,0)$ do punktu $(1,1).$

Krzywą $K$ możemy sparametryzować $\gamma (t)=(t,t^2)$ dla $t\in [0,1],$ tak więc $x=t,y=t^2.$ Mamy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle W \ =\ \displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy=\displaystyle\int\limits_0^1((t^2+t^4)+(2t^3)2t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1t^2+5t^4dt \ =\ \frac{4}{3}. }

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

(2) Dane jest pole sił:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P(x,y) \ =\ \frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}, \quad Q(x,y) \ =\ \frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}. }

Policzyć pracę wykonaną przez pole sił przy przesuwaniu punktu wokół okręgu o środku w punkcie $(3,3)$ i promieniu $1.$

Sprawdźmy, że pole $(P,Q)$ jest polem potencjalnym w zbiorze $U$ będącym kołem o środku w punkcie $(3,3)$ i promieniu $2.$ (Taki zbiór $U$ wybieramy, by móc zastosować stwierdzenie Uzupelnic s.am2.w.12.0180|, do zbioru $U$ nie może należeć punkt $(0,0),$ bo tam $P$ i $Q$ nie są określone).

Policzmy: $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-3xy}{(x^2+y^2{)}^{\frac{5}{2}}}=\frac{\partial Q}{\partial x},$ tak więc pole jest potencjalne na podstawie stwierdzenia Uzupelnic s.am2.w.12.0180|, a w polu potencjalnym całka po krzywej zamkniętej

(a więc także po naszym okręgu) jest równa zero.

Na zakończenie warto wspomnieć o związku całki krzywoliniowej zorientowanej z całką krzywoliniową niezorientowaną, wprowadzoną na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Weźmy krzywą $K$ o parametryzacji $\gamma =(\phi ,\psi ):[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^2.$ Niech $F=(P,Q)$ będzie polem wektorowym na $K.$ Mamy wówczas całkę krzywoliniową zorientowaną:

$\underset{K}{\int }F\circ d\text{x}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(\phi (t),\psi (t)),Q(\phi (t),\psi (t)))\circ (({\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t))dt.$

Z definicji iloczynu skalarnego w ${\mathbb{ℝ}}^2$ i normy euklidesowej w ${\mathbb{ℝ}}^2$,

$\begin{array}{ll}{\displaystyle }& (P(\phi (t),\psi (t)),Q(\phi (t),\psi (t)))\circ (({\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t))\\ & =\Vert (P(\phi (t),\psi (t)),Q(\phi (t),\psi (t)))\Vert \cdot \Vert ({\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t))\Vert \cos \alpha ,\end{array}$

gdzie $\Vert v\Vert$ oznacza długość wektora $v$, a $\alpha$ jest kątem pomiędzy wektorem $(P(\phi (t),\psi (t)),Q(\phi (t),\psi (t)))$, a wektorem stycznym $({\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t)).$ Ze wzoru na długość wektora mamy

$\Vert ({\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t))\Vert =\sqrt{\phi {\text{'}}^2(t)+\psi {\text{'}}^2(t)}.$

{ Rysunek AM2.M12.W.R10 (nowy)}
Zauważmy jeszcze, że

$F_s(\gamma (t)):=\Vert (P(\phi (t),\psi (t)),Q(\phi (t),\psi (t)))\Vert \cos \alpha$

jest długością rzutu prostopadłego wektora $(P(\phi (t),\psi (t)),Q(\phi (t),\psi (t)))$ na styczną do krzywej, czyli długością składowej stycznej. A zatem

$\underset{K}{\int }F\circ d\text{x}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}_s(\gamma (t))\sqrt{\phi {\text{'}}^2(t)+\psi {\text{'}}^2(t)}dt=\underset{K}{\int }{F}_{s}dl.$