Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 2: Przestrzenie wektorowe

Zadanie 2.1

Niech $V=(0,\mathrm{\infty })$. Definiujemy odwzorowania:

$⊞:V\times V\ni (a,b)\to a⊞b:=ab\in V,$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\labmda”): {\displaystyle \odot: \mathbb R \times V\ni (\lambda,a)\to \labmda \odot a:= a^{\lambda}\in V,}

Wykazać, że czwórka $(V,\mathbb{ℝ},⊞,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Trzeba sprawdzić wszystkie warunki definicji przestrzeni wektorowej.

Rozwiązanie

Wiemy już (zadanie 1.1), że $(V,⊞)$ jest grupą przemienną.

Wystarczy zatem sprawdzić warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej. W tym celu ustalmy dowolne $u,v\in V$ oraz $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$.

i) Warunek V2)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \alpha \odot(\beta \odot v) =& \alpha \odot \left(v^{\beta}\right)\\ =&\left( v^{\beta}\right)^{\alpha}\\ =& v^{ \alpha \beta }\\ =& (\alpha\beta )\odot v. \endaligned}

Uzyskana równość oznacza, że warunek V1) jest spełniony.

ii) Warunek V3)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (\alpha +\beta ) \odot v =& v^{(\alpha +\beta )}\\ =& v^{\alpha } v^{\beta }\\ =& v^{\alpha } \boxplus v^ {\beta }\\ =& \alpha \odot v \boxplus \beta\odot v . \endaligned}

iii) Warunek V4)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \alpha \odot ( u \boxplus v) =& \alpha \odot (uv) \\ =& (uv)^{\alpha}\\ =& u^{\alpha} v^{\alpha}\\ =& (\alpha \odot u)(\alpha \odot v)\\ =&(\alpha \odot u)\boxplus (\alpha \odot v). \endaligned}

iv) Warunek V5)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle 1 \odot v = v^1 =v.\qedhere }

Zadanie 2.2

W zbiorze ${\mathbb{ℝ}}^2$ określamy następujące działania:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \boxplus\colon\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\ni\left((x_1,x_2),(y_1,y_2)\right) &\to (x_1+y_1,x_2 +y_2) \in \mathbb{R}^2,\\ \odot\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\ni(\lambda,(x_1,x_2)) &\to (\lambda x_1,\lambda x_2) \in \mathbb{R}^2. \endaligned}

Sprawdzić, czy czwórka $({\mathbb{ℝ}}^2,\mathbb{ℝ},⊞,\odot )$ jest przestrzenią wektorową. Sprawdzić, czy jej podprzestrzenią jest

a) $A=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x_1\ge 0,x_2\ge 0\}$,

b) $B=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x_1{x}_2\ge 0\}$,

c) $C=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x_1+x_2=0\}$.

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.5 i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Wiemy już (zadanie 1.5), że $({\mathbb{ℝ}}^2,⊞)$

jest grupą przemienną. Wystarczy sprawdzić warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej. Ustalmy dowolne $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^2$ oraz $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$. Niech $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)$.

i) Warunek V2)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \alpha \odot(\beta\odot x) &= \alpha\odot(\beta x_1,\beta x_2) \\ &= (\alpha (\beta x_1),\alpha(\beta x_2)) \\ &= ((\alpha \beta )x_1,( \alpha \beta ) x_2) \\ &= (\alpha \beta )\odot (x_1,x_2) \\ &= (\alpha \beta )\odot x. \endaligned}

ii) Warunek V3)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (\alpha +\beta)\odot x&=((\alpha +\beta )x_1,(\alpha +\beta)x_2) \\ &=(\alpha x_1+\beta x_1,\alpha x_2 +\beta x_2 ) \\ &=(\alpha x_1,\alpha x_2)\boxplus(\beta x_1,\beta x_2)\\ &=\alpha\odot(x_1,x_2) \boxplus\beta\odot (x_1,x_2) \\ &=\alpha\odot x\boxplus\beta\odot x . \endaligned}

iii) Warunek V4)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \alpha\odot(x\boxplus y) &= \alpha \odot ((x_1,x_2)\boxplus(y_1,y_2)) \\ &= \alpha \odot (x_1+y_1,x_2 +y_2) \\ &= (\alpha (x_1+y_1), \alpha(x_2+y_2)) \\ &= (\alpha x_1+ \alpha y_1, \alpha x_2 + \alpha y_2) \\ &= (\alpha x_1,\alpha x_2)\boxplus(\alpha y_1,\alpha y_2) \\ &= \alpha \odot(x_1,x_2) +\alpha \odot (y_1,y_2) \\ &= \alpha \odot x\boxplus \alpha \odot y. \endaligned}

iv) Warunek V3)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 1\odot x &= 1\odot (x_1,x_2) \\ &= (1 x_1,1 x_2) \\ &= (x_1,x_2) \\ &= x . \endaligned}

Czwórka $({\mathbb{ℝ}}^2,\mathbb{ℝ},⊞,\odot )$ jest przestrzenią wektorową. $A$ nie jest podprzestrzenią wektorową, gdyż na przykład $(1,1)\in A$, natomiast $(-1)\odot (1,1)\notin A$. Zauważmy, że suma dwóch wektorów ze zbioru $A$ należy do $A$. $B$ nie jest podprzestrzenią wektorową, gdyż na przykład $(2,1),(-1,-2)\in B$, ale $(2,1)⊞(-1,-2)=(1,-1)\notin B$. Zauważmy, że iloczyn dowolnego wektora ze zbioru $B$ przez dowolną liczbę rzeczywistą znowu należy do $B$. W końcu dla dowolnych wektorów $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in C$ mamy $x_1+x_2=0$ i $y_1+y_2=0$. Stąd dla dowolnych liczb rzeczywistych $\alpha$ i $\beta$ otrzymujemy $\alpha x_1+\alpha x_2=0$ oraz $\beta y_1+\beta y_2=0$ i po dodaniu stronami $(\alpha x_1+\beta y_1)+(\alpha x_2+\beta y_2)=0$, co oznacza, że $\alpha \odot (x_1,x_2)⊞\beta \odot (y_1,y_2)\in C$, czyli $C$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2,\mathbb{ℝ},⊞,\odot )$.

Zadanie 2.3

W zbiorze ${\mathbb{ℝ}}^2$ określamy następujące działania:

{R}^2{R}^2((x_1,x_2),(y_1,y_2)) &(x_1+y_1,x_2 +y_2) {R}^2,
{R}{R}^2(,(x_1,x_2)) & ( x_1,- x_2) {R}^2.

Sprawdzić, czy czwórka $({\mathbb{ℝ}}^2,\mathbb{ℝ},⊞,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.5 i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $1\odot (1,1)=(1,-1)$, czyli nie jest spełniony

warunek V4) z definicji przestrzeni wektorowej. A to oznacza, że czwórka $({\mathbb{ℝ}}^2,\mathbb{ℝ},⊞,\odot )$ nie jest przestrzenią wektorową.

Zadanie 2.4

Niech $+$ oraz $\cdot$ oznaczają zwykłe dodawanie i mnożenie w ciele liczb zespolonych. Definiujemy działanie:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\re”): {\displaystyle \displaystyle \odot\colon\mathbb{C} \times \mathbb{C} \ni (\lambda,z ) \to (\re \lambda) \cdot z \in \mathbb{C}. }

Sprawdzić, czy czwórka $(\mathbb{ℂ},\mathbb{ℂ},+,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Ponieważ $(\mathbb{ℂ},+)$ jest grupą przemienną pozostaje tylko zbadać

warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Weźmy

=& 2 +{i},& =& 1-{i}.

Wtedy

$\lambda \mu =3-\mathbf{𝐢}.$

Dla $z=\mathbf{𝐢}$ mamy

$\lambda \odot (\mu \odot z)=(2+\mathbf{𝐢})\odot ((1-\mathbf{𝐢})\odot \mathbf{𝐢})=2(1\mathbf{𝐢})=2\mathbf{𝐢},$

natomiast $(\lambda \mu )\odot z=3\mathbf{𝐢}$. Tak więc warunek V2) z definicji przestrzeni wektorowej nie jest spełniony, zatem czwórka $(\mathbb{ℂ},\mathbb{ℂ},+,\odot )$ nie jest przestrzenią wektorową.

Zadanie 2.5

Niech $(V,\mathbb{𝕂},+,\cdot )$ będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech $\mathrm{\Theta }\in V$ oznacza wektor zerowy. Wykazać, że dla dowolnego wektora $v\in V$ i dla dowolnego skalara $\lambda \in \mathbb{𝕂}$ mamy

1. $0\cdot v=\mathrm{\Theta }$,
2. $\lambda \cdot \mathrm{\Theta }=\mathrm{\Theta }$,
3. $(-1)\cdot v=-v$.

Wskazówka

1. Skorzystajmy z faktu, że $0+0=0$ i z rozdzielności mnożenia względem

dodawania skalarów.

1. Skorzystajmy z faktu, że $\mathrm{\Theta }+\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Theta }$ i z rozdzielności

mnożenia względem dodawania wektorów.

1. Skorzystajmy z rozdzielności mnożenia względem dodawania skalarów

oraz z punktu a).

Rozwiązanie

1. $(0+0)\cdot v=0\cdot v$, zatem (dzięki rozdzielności mnożenia

względem dodawania skalarów) mamy

$0\cdot v+0\cdot v=0\cdot v,$

skąd po dodaniu stronami wektora przeciwnego do $0\cdot v$ otrzymujemy $0\cdot v=\mathrm{\Theta }$.

1. Tu postępujemy podobnie jak w podpunkcie a), tylko tym razem korzystamy z rozdzielności

mnożenia względem dodawania wektorów. Mamy wtedy

$\lambda \cdot (\mathrm{\Theta }+\mathrm{\Theta })=\lambda \cdot \mathrm{\Theta },$

czyli

$\lambda \cdot \mathrm{\Theta }+\lambda \cdot \mathrm{\Theta }=\lambda \cdot \mathrm{\Theta },$

a stąd

$\lambda \cdot \mathrm{\Theta }=\mathrm{\Theta }.$

1. Mamy

$(-1)\cdot v+v=(-1)\cdot v+1\cdot v=(-1+1)\cdot v=0\cdot v=\mathrm{\Theta }.$

Stąd wnioskujemy, że $(-1)\cdot v$ jest wektorem przeciwnym do $v$.

Zadanie 2.6

Niech $V$ będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech $U$ oraz $W$ będą jej podprzestrzeniami. Wykazać, że

$U+W=\{u+w:u\in U\text{ i }w\in W\}$

też jest podprzestrzenią przestrzeni $V$. Wykazać, że jest to najmniejsza (ze względu na zawieranie) podprzestrzeń przestrzeni $V$ zawierająca $U$ i $W$.

Wskazówka

Trzeba sprawdzić wszystkie warunki definicji podprzestrzeni. Aby dowieść, że jest to najmniejsza (ze względu na zawieranie) podprzestrzeń przestrzeni $V$ zawierająca $U$ i $W$ trzeba pokazać, że każda podprzestrzeń zawierająca $U$ i $W$ zawiera również $U+W$.

Rozwiązanie

Najpierw wykażemy, że $U+W$ jest podprzestrzenią

przestrzeni $V$. Zauważmy, że $U+W$ musi być zbiorem niepustym, ponieważ $0\in U$ oraz $0\in W$, zatem $0=0+0\in U+W$. Weźmy dowolne dwa elementy $x,y\in U+W$ oraz skalar $\lambda$. Z definicji zbioru $U+W$ znajdziemy takie $u_x,u_y\in U$ oraz $w_x,w_y\in W$, że $x=u_x+w_x$ oraz $y=u_y+w_y$. Stąd

$x+y=(u_x+w_x)+(u_y+w_y)=(u_x+u_y)+(w_x+w_y).$

Dzięki temu, że zarówno $U$ jak i $W$ jest podprzestrzenią, a zatem zbiorem zamkniętym ze względu na dodawanie wektorów otrzymujemy, że

$u_x+u_y\in U\text{ oraz }{w}_x+w_y\in W,$

co oznacza, że $x+y\in U+W$. Podobnie

$\lambda x=\lambda (u_x+w_x)=\lambda u_x+\lambda w_x$

i dzięki temu, że $\lambda u_x\in U$ oraz $\lambda w_x\in W$ mamy $\lambda x\in U+W$.

Niech teraz $Z$ będzie dowolną podprzestrzenią przestrzeni $V$ zawierającą $U$ i $W$. Wtedy dla dowolnych wektorów $u\in U,w\in W$ mamy $u,w\in Z$, a więc także $u+w\in Z$, a stąd $U+W\subset Z$.

Zadanie 2.7

Niech $V$ będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech $U$ oraz $W$ będą jej podprzestrzeniami. Wykazać, że zbiór $U\cup W$ jest podprzestrzenią przestrzeni $V$ wtedy i tylko wtedy, gdy $U\subset W$ lub $W\subset U.$

Wskazówka

W dowodzie implikacji $U\cup W$ jest podprzestrzenią przestrzeni $V⟹U\subset W$ lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ W \subset U}

spróbujmy rozumowania nie wprost.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $U\cup W$ jest podprzestrzenią

przestrzeni $V$ i że $U\subset ̸W$ oraz $W\subset ̸U$. Weźmy $u\in U\setminus W$ oraz $w\in W\setminus U$. Wtedy, na mocy założenia, $u+w\in U\cup W$. Oznacza to, że $u+w\in U$ lub $u+w\in W$. Przypuśćmy, że zachodzi pierwsza z tych możliwości. Wtedy

$w=(u+w)-u\in U,$

co pozostaje w sprzeczności z wyborem $w$. Jeśli natomiast $u+w\in W$, to otrzymujemy

$u=(u+w)-w\in W$

i znów mamy sprzeczność z wyborem wektora $u$. Dowód implikacji w jedną stronę jest zakończony.

Załóżmy, że $U\subset W$. Wtedy $U\cup W=W$ jest podprzestrzenią przestrzeni $V$. Jeżeli $W\subset U$, to $U\cup W=U$ jest także podprzestrzenią przestrzeni $V$.

Zadanie 2.8

Niech $(V,\mathbb{𝕂},+,\cdot )$ będzie dowolną przestrzenią wektorową oraz niech $X$ będzie zbiorem niepustym. W zbiorze

$V^X:=\{f|f:X\to V\}$

wprowadzamy działanie wewnętrzne $⊞$ oraz mnożenie przez skalary $\odot$ w następujący sposób:

f g X x & f(x) + g(x) V, f,g V^X.
( f) X x & f(x) V, {K},f V^X .

Wykazać, że $(V^X,\mathbb{𝕂},⊞,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Dowód Komentarz

W szczególności, jeśli $V=\mathbb{𝕂}$, to okaże się, że przestrzenią wektorową jest czwórka $({\mathbb{𝕂}}^X,\mathbb{𝕂},⊞,\odot )$, a jeśli dodatkowo jako $X$ weźmiemy zbiór $I_n=\{1,2,\dots ,n\}$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to natychmiast otrzymamy, że przestrzenią wektorową jest $({\mathbb{𝕂}}^n,\mathbb{𝕂},+,\cdot )$ z działaniami określonymi następująco:

(x_1, x_2,..., x_n) + (y_1, y_2, ..., y_n) & = (x_1+y_1, x_2+y_2,..., x_n+y_n),
(x_1, x_2, ..., x_n) & = ( x_1, x_2, ..., x_n).

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.6| i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Na podstawie rozwiązania zadania 1.6| stwierdzamy,

że jest spełniony warunek V1) z definicji przestrzeni wektorowej. Pozostaje nam wykazać, że są spełnione warunki V2) - V5). Oto dowody poszczególnych warunków:

1. Warunek V2): Weźmy dowolne $\alpha ,\beta \in \mathbb{𝕂}$ oraz dowolne odwzorowanie

$f\in V^X$. Wystarczy pokazać, że dla każdego $x\in X$ zachodzi równość

$((\alpha \odot (\beta \odot f))(x)=((\alpha \beta )\odot f)(x).$

Weźmy zatem dowolny element $x\in X$. Wychodząc od lewej strony mamy

( f))(x) &= ( f)(x)
&= ( f(x))
&= ( ) f(x)
&= (( ) f)(x),

co, wobec dowolności wyboru elementu $x$, kończy dowód.

1. Warunek V3): Weźmy dowolne $\alpha ,\beta \in \mathbb{𝕂}$ oraz dowolne

odwzorowanie $f\in V^X$. Wystarczy pokazać, że dla każdego $x\in X$ zachodzi równość

$((\alpha +\beta )\odot f)(x)=((\alpha \odot f)⊞(\beta \odot f))(x).$

Weźmy zatem dowolny element $x\in X$. Wychodząc od lewej strony mamy

(( +) f)(x) &= ( +) f(x)
&= ( f(x)) + ( f(x) )
&= ( f)(x) + ( f)(x)
&= (( f ) ( f))(x),

co kończy dowód.

1. Warunek V4): Weźmy dowolne $\alpha \in \mathbb{𝕂}$ oraz dowolne odwzorowania

$f,g\in V^X$. Trzeba pokazać, że dla dowolnego $x\in X$

$(\alpha \odot (f⊞g))(x)=((\alpha \odot f)⊞(\alpha \odot g))(x).$

Po ustaleniu dowolnego elementu $x\in X$ postępujemy podobnie jak dotychczas i otrzymujemy

( (f g))(x) &= ((f g))(x)
&= (f(x) + g(x))
&=( f(x)) + ( g(x))
&= ( f)(x) +( g)(x)
&= (( f) ( g))(x).

1. Warunek V5): Weźmy dowolne odwzorowanie $f\in V^X$ i dowolny element

$x\in X$. Wtedy

$(1\odot f)(x)=1\cdot f(x)=f(x),$

co należało wykazać.

Zadanie 2.9

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych i niech $+$ oznacza standardowe dodawanie w grupie addytywnej $V\times V$. Dla liczby zespolonej $\zeta =\alpha +\mathbf{𝐢}\beta$ oraz elementu $(u,v)\in V\times V$ definiujemy iloczyn

$\zeta \odot (u,v):=(\alpha u-\beta v,\alpha v+\beta u).$

Wykazać, że $(V\times V,\mathbb{ℂ},+,\odot )$ jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Można skorzystać z zadania 1.5 i wówczas wystarczy sprawdzić warunki V2)-V5) z definicji przestrzeni wektorowej.

Rozwiązanie

Na mocy zadania 1.5 wiemy, że jeżeli $(V,+)$

jest grupą przemienną, to $V\times V$ ze standardowo wprowadzonym dodawaniem w iloczynie kartezjańskim jest także grupą przemienną.

Aby wykazać, że $(V\times V,\mathbb{ℂ},+,\odot )$ jest przestrzenią wektorową pozostaje zatem sprawdzić, że spełnione są warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej.

Ustalmy dowolne dwie liczby zespolone

&= + {i} , & &= + {i}

oraz dwa wektory $(u,v)$, $(w,z)$ należące do przestrzeni $V\times V$.

1. Warunek V2): Zauważmy, że z definicji mnożenia liczb

zespolonych wynika, że

( ) &= ( - ) + ( + ){i},

zatem

( ) (u,v) &= (( - )u-( + )v, ( - )v+( + )u).

Z drugiej strony

((u,v)) &= ( u - v, v + u )
&= (( u- v)-( v+ u), ( v+ u)+( u- v))
&= (( - )u-( + )v, ( - )v+( + )u).

1. Warunek V3):

(+)(u,v)&=((+)+{i}(+))(u,v)
&=((+)u-(+ )v,(+)v +(+)u)
&=( u- v, v+ u)+( u- v, v+ u)
&=( (u,v)) + ( (u,v)) .

1. Warunek V4):

((u,v)+(w,z))&= (u+w, v+z)
&=((u+w)-(v+z),(v+z)+(u+w))
&=( u- v, v+ u)+( w- z, z+ w)
&=((u,v))+( (w,z)).

1. Warunek V5): Korzystając z tego, że $1\cdot w=w$ oraz $0\cdot w=0$ dla każdego wektora w przestrzeni wektorowej $V$ widzimy, że

1 (u,v) & = (1 u - 0 v, 1 v + 0 u)
& = (u,v).

Zadanie 2.10

Niech $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ i niech

P =& f{R}^Szablon:R : f jest wielomianem ,
U_n =& f{R}^Szablon:R : f jest wielomianem stopnia n,
W_n =& f{R}^Szablon:R : f jest wielomianem stopnia nie większego niż n. Wykazać, że $P$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$ z działaniami określonymi w zadaniu 2.8. Sprawdzić czy dla dowolnego $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$

1. $U_n$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $P$,
2. $W_n$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $P$.

Wskazówka

Wystarczy sprawdzić, czy dla dowolnych $f,g\in P(U_n,W_n)$ i $\alpha \in \mathbb{ℝ}$ suma $f+g$ oraz iloczyn $\alpha f$ należą do $P(U_n,W_n)$. Zastanówmy się też jaki może być stopień wielomianu będącego sumą dwóch wielomianów tego samego stopnia.

Rozwiązanie

Zauważmy, że suma dwóch wielomianów jest wielomianem, podobnie iloczyn wielomianu przez liczbę. Elementami $U_0$ są wszystkie funkcje stałe i tylko takie, a więc $U_0$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $P$. Natomiast dla ustalonego $n\ge 1$ weźmy wielomiany $f$ i $g$ dane wzorami:

f(x) &= x^n +1,& g(x) &= -x^n .

Wtedy $(f+g)(x)=1$ dla wszystkich $x\in \mathbb{ℝ}$, a zatem $f+g$ nie jest wielomianem stopnia $n$, czyli dla żadnego $n\ge 1$ zbiór $U_n$ nie jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $P$. Łatwo widać, że $W_n$ jest zamknięta ze względu na dodawanie i mnożenie przez skalary. Jest tak, ponieważ przy ustalonym $n\ge 0$ każdy wielomian stopnia co najwyżej $n$ można jednoznacznie zapisać (dopisując w razie potrzeby jednomiany z zerowymi współczynnikami) w postaci:

$w(x)={\alpha }_n{x}^n+{\alpha }_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +{\alpha }_{1}x+{\alpha }_0,$

gdzie ${\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_n$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym ${\alpha }_0=\dots ={\alpha }_n=0$ dla wielomianu zerowego a jeżeli stopień $w$ wynosi $m$ i $m<n$, to

${\alpha }_{m+1}=\dots ={\alpha }_n=0.$

Z drugiej strony każdy wielomian, który daje się przedstawić w powyższej postaci jest stopnia co najwyżej $n$. Teraz jeżeli $f$ i $g$ są wielomianami należącymi do zbioru $W_n$, to

f(x) &= a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_1x + a_0,
g(x) &= b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1}+ ... +b_1x + b_0 {i wówczas} (f+g)(x)&=f(x)+g(x)
&= (a_n+b_n) x^n +(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+ ... +(a_1+b_1)x + a_0+b_0

jest wielomianem stopnia nie większego niż $n$. Weźmy teraz $\alpha \in \mathbb{ℝ}$. Mamy

$(\alpha f)(x)=\alpha a_n{x}^n+\dots +\alpha a_0$

i znów otrzymujemy wielomian stopnia nie większego niż $n$.