Analiza matematyczna 1/Wykład 15: Krzywe i bryły obrotowe

Krzywe i bryły obrotowe

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie krzywej i krzywej zwyczajnej. Definiujemy długość krzywej i krzywą prostowalną. Dowodzimy, że krzywa zwyczajna klasy $C^1$ jest prostowalna. Wyprowadzamy wzór na długość krzywej i liczymy długości cykloidy i asteroidy. W drugiej części wykładu podajemy wzory na pola powierzchni i objętości brył obrotowych.

Długość krzywej

Definicja 15.1.

Niech $-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }.$ Krzywą nazywamy zbiór punktów

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, }

gdzie $\phi ,\psi :[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right. \qquad t\in[a,b]. }

Powyższe równanie nazywamy też

równaniem parametrycznym krzywej.

<flash>file=AM1.M15.W.R01.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R01

<flash>file=Am1.M15.W.R02.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1.M15.W.R02.swf

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R03.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R03

Przykład 15.2.

Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu $R>0$ w ${\mathbb{ℝ}}^2.$ Jeśli jako parametr $t$ przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu $(x,y)$ na okręgu, to łatwo widzimy (patrz rysunek), że $x=\cos t$ i $y=\sin t.$ Zatem następująca krzywa:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=R\cos t\\ y=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,2\pi] } opisuje okrąg.

Definicja 15.3.

Mówimy, że punkt $(x,y)\in K$ jest punktem wielokrotnym krzywej $K,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists t_1,t_2\in(a,b):\ t_1\ne t_2\quad\land\quad (x,y)=\big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big). }

Krzywą $K$ nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy

$\begin{array}{ll}{\displaystyle }& \left[\right(\phi (t_1),\psi (t_1))=(\phi (t_2),\psi (t_2)),t_1\le t_2]\\ \\ ⟹& \left[\right(t_1=t_2)\vee (t_1=a\wedge t_2=b\left)\right].\end{array}$

<flash>file=AM1.M15.W.R04.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R04

Definicja 15.4.

Niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ t_0 \ <\ t_1 \ <\ \ldots \ <\ t_n \ =\ b }

będzie podziałem przedziału $[a,b].$ Łamaną $p$ łączącą punkty:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big(\varphi(t_0),\psi(t_0)\big), \ \ldots,\ \big(\varphi(t_n),\psi(t_n)\big) }

nazywamy łamaną wpisaną w krzywą $K$. Przez $l(p)$ oznaczamy długość łamanej $p$ (to znaczy sumę długości odcinków

wchodzących w skład łamanej).

Definicja 15.5.

Długością krzywej $K$ nazywamy liczbę:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \sup_p l(p), }

gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w

$K.$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R05.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R05

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R06.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R06

Definicja 15.6.

Jeśli $l(K)<+\mathrm{\infty }$ to mówimy, że krzywa $K$ jest prostowalna.

Twierdzenie 15.7.

Niech $\phi ,\psi :[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będą klasy $C^1$ oraz niech $K=K(\phi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa $K$ jest prostowalna.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R07

Dowód twierdzenia 15.7.

(Dowód nadobowiązkowy.)
Niech $p$ będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą $K,$ to znaczy istnieje podział

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ t_0 \ <\ t_1 \ <\ \ldots \ <\ t_n \ =\ b }

taki, że $p$ jest łamaną o wierzchołkach $(x_i,y_i)$ dla $i=0,\dots ,n,$ gdzie

$\{\begin{array}{l}{x}_i=\phi (t_i)\\ y_i=\psi (t_i)\end{array}i\in \{0,\dots ,n\}.$

Długość łamanej $p$ wyraża się wzorem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\big(x_i-x_{i-1}\big)^2+\big(y_i-y_{i-1}\big)^2}. }

Ponieważ $\phi ,\psi \in C^1([a,b];\mathbb{ℝ}),$ więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_i-x_{i-1} \ =\ \varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}) \ =\ \varphi'(\tau_i)\left(t_i-t_{i-1}\right),}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle y_i-y_{i-1} \ =\ \psi(t_i)-\psi(t_{i-1}) \ =\ \psi'(\tau^*_i)\left(t_i-t_{i-1}\right),}

gdzie

${\tau }_i\in (t_{i-1},t_i),i=1,\dots n,{\tau }_i^{*}\in (t_{i-1},t_i),i=1,\dots n.$

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\varphi'(\tau_i)^2+\psi'(\tau^*_i)^2}\cdot\left(t_i-t_{i-1}\right). }

Ponieważ ${\phi }^{\prime },{\psi }^{\prime }\in C([a,b];\mathbb{ℝ})$ i przedział $[a,b]$ jest zwarty, więc funkcje ${\phi }^{\prime },{\psi }^{\prime }$ są ograniczone.
Definiujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad M^* \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\psi'(t), }

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad m^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\psi'(t). }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(p) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a). }

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej $p$ wpisanej w krzywą $K,$ więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(K) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a), }

a zatem krzywa $K$ jest prostowalna.

Uwaga 15.8.

W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy $C^1.$ W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy $C^1,$ to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy $C^1$ (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy $C^1,$ stosują się także do krzywych kawałkami klasy $C^1.$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R08

Definicja 15.9.

Niech $K=K(\phi ,\psi )$ będzie krzywą. Zdefiniujmy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ \bigg\{\big(\varphi(\tau),\psi(\tau)\big):\ \tau\in[a,t]\bigg\}, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ l\big(K(t)\big)\quad } (długośćkrzywejK(t)) $.$

W szczególności $s(b)=l(K).$

Twierdzenie 15.10.

Niech $\phi ,\psi :[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będą klasy $C^1$ oraz niech $K=K(\phi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s'(t) \ =\ \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} \qquad\forall\ t\in[a,b]. }

Dowód twierdzenia 15.10.

(Dowód nadobowiązkowy.)
Niech $t_0,t_0+h\in [a,b].$ Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7., dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2}\cdot h \ \le\ s(t_0+h)-s(t_0) \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}\cdot h, }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M_h \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad M_h^* \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t), }

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m_h \ =\ \inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad m_h^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t). }

Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez $h,$ dostając:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2} \ \le\ \frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}. }

Ponieważ funkcje ${\phi }^{\prime }$ i ${\psi }^{\prime }$ są ciągłe, więc dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned M_h & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \varphi'(t_0),\\ m_h & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \varphi'(t_0),\\ M_h^* & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \psi'(t_0),\\ m_h^* & \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \psi'(t_0). \endaligned}

Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle s'(t_0) \ =\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ =\ \sqrt{\varphi'(t_0)^2+\psi'(t_0)^2}. }

Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]

Niech $\phi ,\psi :[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będą klasy $C^1$ oraz niech $K=K(\phi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. }

W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji $y=f(x),$ dla $x\in [a,b],$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt. }

Dowód twierdzenia 15.11.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ s(b) \ =\ s(b)-\underbrace{s(a)}\limits_{=0} \ =\ \int\limits_a^b s'(\tau)\,d\tau \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. }

W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję $f$ możemy zapisać w postaci parametrycznej

$\{\begin{array}{l}x(t)=t\\ y(t)=f(t)\end{array},t\in [a,b]$

i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.

Przykład 15.12.

Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r \ =\ g(\vartheta) \qquad \vartheta\in[\alpha,\beta]. }

Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:

$\{\begin{array}{l}x=r\cos \vartheta =g(\vartheta )\cos \vartheta \\ y=r\sin \vartheta =g(\vartheta )\sin \vartheta .\end{array}$

Liczymy

$\begin{array}{lll}{x}^{\prime }(\vartheta {)}^2+y^{\prime }(\vartheta {)}^2& =& [g^{\prime }(\vartheta )\cos \vartheta -g(\vartheta )\sin (\vartheta ){]}^2+[g^{\prime }(\vartheta )\sin \vartheta +g(\vartheta )\cos (\vartheta ){]}^2\\ \\ & =& g^{\prime }(\vartheta {)}^2{\cos }^2\vartheta -2g(\vartheta )g^{\prime }(\vartheta )\sin \vartheta \cos \vartheta +g(\vartheta {)}^2{\sin }^{}\vartheta \\ \\ & +& g^{\prime }(\vartheta {)}^2{\sin }^2\vartheta +2g(\vartheta )g^{\prime }(\vartheta )\sin \vartheta \cos \vartheta +g(\vartheta {)}^2{\cos }^{}\vartheta \\ \\ & =& g^{\prime }(\vartheta {)}^2+g(\vartheta {)}^2,\end{array}$

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{g(\vartheta)^2+g'(\vartheta)^2}\,d\vartheta. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R09.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R09

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R10.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R10

Definicja 15.13.

Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną przez ustalony punkt $0$ na okręgu toczącym się po

prostej $l.$

Przykład 15.14.

Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.

Rozwiązanie

<flash>file=AM1.M15.W.R11.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R11

Oznaczenia:
$a$ - promień okręgu;
$O$ - początkowy punkt styczności okręgu i prostej $l$;
$N$ - nowy punkt styczności;
$M$ - nowe położenie punktu $O$;
$t=\sphericalangle NDM$ - parametr określający położenie punktu $M.$

Liczymy współrzędne punktu $M(x,y)$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ = \ OF \ =\ ON-FN \ =\ \widehat{NM}-MG \ =\ at-a\sin t }

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle y \ = \ FM \ =\ NG \ =\ ND-GD \ =\ a-a\cos t. }

Zatem

$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}t\in [0,2\pi ]($ lub $t\in \mathbb{ℝ}).$

Przykład 15.15.

Obliczyć długość łuku cykloidy:

$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}t\in [0,2\pi ].$

Rozwiązanie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} &=& \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2 t} \ =\ \sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2\cos^2 t+a^2\sin^2 t}\\ & =&\displaystyle \sqrt{2a^2(1-\cos t)} \ =\ \sqrt{4a^2\sin^2\frac{t}{2}} \ =\ 2a\sin\frac{t}{2}.\end{array} }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \ =\ 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt \ =\ -4a\cos\frac{t}{2}\bigg|_0^{2\pi} \ =\ 8a. }

Przykład 15.16.

Obliczyć długość łuku asteroidy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \ =\ a^{\frac{2}{3}} }

Rozwiązanie

Równanie parametryczne asteroidy, to:

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R12.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R12

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R13.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R13

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R14.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R14

$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^{3}t\\ y=a{\sin }^{3}t\end{array}t\in [0,2\pi ].$

Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \ =\ 3a\sin t\cos t \qquad\forall\ t\in[0,2\pi]. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ 4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t\,dt \ =\ 6a. }

Całka krzywoliniowa

Niech $K$ będzie krzywą klasy $C^1$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, }

Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła $f:K\ni M⟼f(M)\in \mathbb{ℝ},$ to znaczy funkcja, która każdemu punktowi $M$ krzywej $K$ przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą $f(M).$ Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji $f$ po krzywej $K.$

Całkę tę wprowadza sie analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_K f(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b f\big(\varphi(t),\psi(t)\big)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt }

Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).

Jeśli mamy daną krzywą (pręt) $K$ zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie $M(x,y)$ danej funkcją ciągłą $\varrho (M),$ to masa tego pręta wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds. }

Współrzędne środka ciężkości pręta $(x_0,y_0)$ możemy policzyć ze wzorów

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds\\ x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K y\cdot \varrho(x,y)\,ds. \endaligned}

Przykład 15.17.

Obliczyć masę pręta półkolistego $K=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=R^2,y\ge 0\}$ o gęstości $\varrho (x,y)=y^2.$

Rozwiązanie

Masa krzywej o gęstości $\varrho$ dana jest wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_K y^2\,ds. }

Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,\pi], }

mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{\pi}R^2\sin^2 t\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}\,dt \ =\ R^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^2 t\,dt \ =\ R^3\bigg[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\bigg]_0^{\pi} \ =\ \frac{R^3\pi}{2}. }

Odpowiedź: Masa pręta wynosi $\frac{R^3\pi }{2}$

Przykład 15.18.

Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka $K$ łączącego punkt $(0,0)$ z punktem $(1,1)$ o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej $\sqrt{2}$ w punkcie $(1,1).$

Rozwiązanie

Skora gęstość $\varrho$ jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi $\sqrt{2}$ w punkcie $(1,1),$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \varrho(x,t) \ =\ c\sqrt{x^2+y^2} \quad } oraz $\varrho (1,1)=c\sqrt{2}=\sqrt{2},$

stąd $c=1.$ Parametryzacją odcinka jest na przykład

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=t\\ y=\psi(t)=t \end{array} \right. \qquad t\in[0,1], }

zatem masa wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K\sqrt{x^2+y^2}\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{t^2+t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1t\,dt \ =\ t^2\bigg|_0^1 \ =\ 1. }

Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_0 \ =\ \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 t\cdot\sqrt{2t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1 t^2\,dt \ =\ \frac{2}{3}t^3\bigg|_0^1 \ =\ \frac{2}{3}. }

Z symetrii zadania wynika, że $y_0=\frac{2}{3}.$

Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej

W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy $C^1.$ Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).

<flash>file=AM1.M15.W.R15.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R15

Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.

Uwaga 15.19.

Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:

$y=f_1(x)$ i $y=f_2(x)x\in [a,b],$

to pole tego trapezu wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\big[f_1(x)-f_2(x)\big]\,dx }

Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.

Twierdzenie 15.20.

Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right., \qquad } dla $t\in [\alpha ,\beta ],$

wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)\,dt. }

Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R16.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W. R16

<flash>file=AM1.M15.W.R17.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R17

Twierdzenie 15.21.

Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami $OA$ i $OB$ (gdzie $O=(0,0)$) oraz krzywą $AB$ daną w postaci biegunowej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r \ =\ g(\vartheta), \quad \vartheta\in[\vartheta_1,\vartheta_2], }

to pole tego obszaru wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{\vartheta_1}^{\vartheta_2}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta. }

Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku

Oznaczając przez $P_{ABC}$ pole trójkąta krzywoliniowego, mamy

$P_{ABC}\approx \frac{1}{2}\cdot g(\vartheta )\cdot g(\vartheta )\cdot \sin \mathrm{\Delta }\vartheta \approx \frac{1}{2}g(\vartheta {)}^2\mathrm{\Delta }\vartheta$

(dla małych kątów $\mathrm{\Delta }\vartheta$ zachodzi $\mathrm{\Delta }\sin \vartheta \approx \mathrm{\Delta }\vartheta$). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy dostajemy powyższy wzór.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R18.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R18

Twierdzenie 15.22.

(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

$K:y=f(x),$ dla $x\in [a,b]$

wokół osi $Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b \big[f(x)\big] \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx. }

Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.

(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right., \quad } dla $t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \big[\psi(t)\big] \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R19.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R19

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R20.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R20

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R21.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R21

Twierdzenie 15.23.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$K:y=f(x),$ dla $x\in [a,b]$

wokół osi $Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_a^b f(x)^2\,dx. }

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka $[a,b]$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b }

oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji $y=f(x)$ dla $x\in [x_{i-1},x_i].$ Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy $f(x_i)$ i wysokości $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1},$ czyli $\pi f(x_i{)}^2\mathrm{\Delta }{x}_i.$ Sumując objętości "plasterków" otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy dostajemy powyższy wzór.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right., \quad } dla $t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt. }

Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R22.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R22

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R23.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R23

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R24.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R24

Twierdzenie 15.24.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$K:y=f(x)$ dla $x\in [a,b]$

wokół osi $Oy$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b x\,f(x)\,dx. }

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka $[a,b]$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b }

oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji $y=f(x)$ dla $x\in [x_{i-1},x_i]$ wokół osi $Oy.$ Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa $2\pi x_{i}f(x_i)-2\pi x_{i-1}f(x_i)=2\pi \mathrm{\Delta }{x}_{i}f(x_i).$ Sumując objętości "cylindrów" otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy dostajemy wzór na $|V_y|.$

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right., \quad } dla $t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $Oy$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt. }

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R25.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R25

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R26.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM1.M15.W.R26

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R27.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M15.W.R27

Przykład 15.25.

Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^2+(y-a)^2 \ \le\ r^2 \qquad (0<r<a) }

wokół osi $Ox.$

Rozwiązanie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle |V_x| & = & \pi\displaystyle\int\limits_{-r}^r \bigg[\big(a+\sqrt{r^2-x^2}\big)^2 -\big(a-\sqrt{r^2-x^2}\big)^2\bigg]\,dx \ =\ 4\pi a\displaystyle\int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx\\ & \stackrel{(\star)}{=} & 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}\bigg]_{-r}^r =\ 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\bigg] \ =\ 4\pi a\frac{r^2\pi}{2} \ =\ 2\pi^2 ar^2, \end{array}}

gdzie wykorzystano następującą całkę:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (\star)\quad I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ =\ \int\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx \ =\ r^2\underbrace{\int\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_1} -\underbrace{\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_2}. \endaligned}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_1 \ =\ \arcsin\frac{x}{|r|}+c. }

Teraz liczymy całkę $I$ inaczej:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle I& = &\int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ \begin{array}{c}\textrm{części}\\=\end{array} x\sqrt{r^2-x^2} -\int x\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ & =& x\sqrt{r^2-x^2} +\underbrace{\int\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx}_{=I_2}= x\sqrt{r^2-x^2}+I_2. \end{array}}

Porównując to z $(\star ),$ otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r^2I_1-I_2 \ =\ x\sqrt{r^2-x^2}+I_2, }

stąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 2I_2 \ =\ r^2I_1-x\sqrt{r^2-x^2} \ =\ r^2\arcsin\frac{x}{r} -x\sqrt{r^2-x^2}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_2 \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} -\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}. }

Wstawiając do $(\star ),$ otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned I & = & r^2\arcsin\frac{x}{r} -\frac{1}{2}r^2\arcsin\frac{x}{r} +\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} +\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}+c. \endaligned}