Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 14: Komputerowe metody statystyki

Ćwiczenia

Ćwiczenie 14.1

Sprawdzimy graficznie jakość liczb pseudolosowych wylosowanych z rozkładu normalnego, przy pomocy programu Maple.

Losujemy w tym celu próbkę prostą, powiedzmy 300 elementową próbkę z rozkładu $N(20,2)$, a następnie sporządzamy na jej podstawie histogram, który umieszczamy na wspólnym rysunku z gęstością danego rozkładu:

<flash>file=Rp.1.141.swf|width=350|height=350</flash>

Ćwiczenie 14.2

Podczas losowania ciągów liczb pseudolosowych bardzo ważną kwestią jest to, aby można było te liczby traktować jako realizacje niezależnych zmiennych losowych. Nie omawiamy tutaj odpowiednich testów statystycznych, jednak prezentujemy pewną metodę graficzną, pomocną przy ocenie tej niezależności. Polega ona na zaznaczaniu na wspólnym rysunku punktów postaci $(x_{i-k},x_i)$, gdzie $k\ge 1$ jest ustalone, zaś $x_i$ są wylosowanymi liczbami. Jeżeli otrzymany rysunek nie wykazuje żadnych prawidłowości, nie ma podstaw do kwestionowania niezależności.

Zbadamy 200-elementową próbkę, wylosowaną przez program Maple z rozkładu jednostajnego na przedziale $(0,1)$. Histogram narysowany na podstawie tej próbki potwierdza raczej charakter rozkładu:

<flash>file=Rp.1.142.swf|width=350|height=350</flash>

Przyjmując $k=1$ rysujemy 199 par liczb $(x_{i-1},x_i)$:

<flash>file=Rp.1.143.swf|width=350|height=350</flash>

Ćwiczenie 14.3

Do uzyskiwania liczb pseudolosowych można używać także innych algorytmów. Na przykład, na pierwszy rzut oka wydaje się, że następujący algorytm może być lepszy od algorytmu omawianego podczas wykładu: ustalamy ziarno $X_0$ z odcinka $(0,1)$, a kolejne liczby otrzymujemy z poprzednich przez podnoszenie do kwadratu, wymnażanie przez $10^3$ i branie części ułamkowej:

$x_{n+1}=10^3{x}_n^2-\lfloor 10^3{x}_n^2\rfloor ,$

gdzie $\lfloor y\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $y$.

Wykorzystując program Maple oraz ziarno $X_0=0.123456$, generujemy 200 liczb pseudolosowych, następnie na ich podstawie rysujemy histogram, a także sprawdzamy testem graficznym ich niezależność:

<flash>file=Rp.1.144.swf|width=350|height=350</flash>

<flash>file=Rp.1.145.swf|width=350|height=350</flash>

Jak widać, do tej pory wszystko wygląda dobrze - wylosujmy jednak 2000 liczb i narysujmy dla nich histogram:

<flash>file=Rp.1.146.swf|width=350|height=350</flash>

Tak więc, badając dokładniej nasz generator okazało się, że od pewnego miejsca wszystkie losowane liczby są równe 0 - po chwili zastanowienia większość studentów z pewnością potrafi wyjaśnić, dlaczego tak się stało.

Ćwiczenie 14.4

Dość często zdarza się, że w praktycznych zastosowaniach pojawiają się tak zwane mieszaniny rozkładów. Na przykład, badając wydzielanie pewnej substancji przez bakterie popełnia się błąd polegający na tym, że zamiast od pojedynczej bakterii pobiera się tę substancję od dwóch bakterii. Niech $\epsilon$ będzie prawdopodobieństwem popełnia tego błędu, zaś $f_1$ oraz $f_2$ - gęstościami rozkładów substancji wydzielanych odpowiednio przez pojedynczą bakterię oraz przez dwie złączone bakterie. Wtedy rozkład o gęstości:

$(1-\epsilon )f_1+\epsilon f_2$

odpowiada wielkości pobranej substancji - jest to właśnie mieszanina rozkładów o gęstościach $f_1$ i $f_2$. Przeprowadzimy eksperyment polegający na losowaniu próbki z mieszaniny rozkładów normalnych, a następnie dla tak dobranej próbki znajdziemy jądrowy estymator gęstości i porównamy go z gęstością wyjściową.

Przyjmijmy, że:

$f_1\in N(5,1),f_2\in N(10,1)$ oraz $\epsilon =0.04.$

Losowanie liczb z mieszaniny rozkładów prowadzimy następująco: wylosujemy liczbę z rozkładu dwupunktowego $(0,1,\epsilon )$, a następnie jeżeli wypadło $0$, to losujemy element z rozkładu pierwszego, zaś jeżeli wypadła $1$, to losujemy element z rozkładu drugiego.

Oto lista 200 wylosowanych elementów:

5.25, 3.91, 5.06, 4.29, 4.54, 5.21, 4.01, 5.77, 6.21, 4.70, 4.04, 5.0, 4.90, 4.38, 5.76, 4.23, 5.47, 5.13, 4.49, 6.36, 6.65, 4.95, 5.10, 4.69, 5.93, 5.76, 3.98, 6.51, 10.5, 10.4, 4.98, 3.84, 5.16, 4.53, 5.55, 4.95, 3.58, 5.15, 4.37, 4.50, 4.75, 6.32, 6.33, 3.83, 3.76, 5.07, 5.39, 5.05, 3.74, 9.54, 3.04, 6.38, 4.82, 3.70, 6.01, 5.82, 8.48, 4.40, 6.61, 5.98, 4.50, 4.74, 5.56, 4.58, 4.67, 4.26, 7.04, 6.24, 6.38, 6.59, 4.29, 6.28, 6.26, 11.4, 5.46, 9.93, 5.29, 4.78, 5.69, 5.14, 4.55, 5.18, 5.25, 7.90, 3.44, 5.02, 5.49, 5.43, 4.69, 6.59, 3.81, 4.76, 5.22, 5.61, 4.28, 5.44, 4.83, 5.51, 3.17, 5.76, 5.0, 4.32, 6.16, 5.27, 4.33, 5.27, 4.42, 5.36, 4.57, 5.08, 4.47, 2.77, 4.86, 11.1, 5.75, 5.13, 5.26, 5.40, 5.34, 4.30, 3.08, 5.22, 5.0, 4.20, 4.57, 7.64, 5.36, 5.83, 9.91, 3.82, 5.58, 5.37, 9.39, 4.86, 10.8, 11.4, 5.38, 5.60, 4.41, 5.74, 5.97, 4.12, 6.12, 5.59, 4.17, 4.39, 5.84, 3.83, 3.42, 6.11, 6.01, 3.40, 5.12, 6.12, 4.76, 5.30, 5.46, 5.58, 3.39, 5.13, 4.40, 4.31, 6.24, 4.23, 3.93, 10.3, 6.20, 4.29, 10.8, 7.17, 5.60, 5.96, 9.79, 2.97, 7.16, 4.51, 4.96, 5.82, 5.56, 6.24, 4.67, 4.13, 5.19, 6.47, 7.42, 5.0, 3.90, 5.61, 5.18, 5.99, 3.68, 4.02, 6.99, 5.33, 7.02, 6.13, 3.94, 5.12, 5.41, 4.32.
[2mm]

Na podstawie powyższej próby obliczamy:

$\hat{\sigma }\approx 1.6222,h\approx \frac{1.6222}{\sqrt[5]{200}}\approx 0.5622.$

Teraz na wspólnym rysunku zaznaczamy wyjściową gęstość mieszaniny rozkładów (kolor niebieski) oraz jądrowy estymator gęstości (kolor czerwony):

<flash>file=Rp.1.151.swf|width=350|height=350</flash>

Zadanie 14.1

Opracuj procedurę pozyskiwania liczb pseudolosowych z danego rozkładu dyskretnego, za pomocą liczb pochodzących z rozkładu jednostajnego na przedziale $(0,1)$.

Zadanie 14.2

Opracowaną w powyższym zadaniu metodą, wylosuj 100 liczb z rozkładu dwumianowego o parametrach $n=10$ i $p=0.2$.

Zadanie 14.3

Wyjaśnij powód, dla którego algorytm opisany w ćwiczeniu 14.3 nie może być użyty do losowania liczb pseudolosowych.

Zadanie 14.4

Na podstawie następującej próbki prostej z nieznanego rozkładu:

$29,23,24,27,28,28,29,30,$

wyznacz medianę tego rozkładu oraz jej $90\mathrm{\%}$ przedział ufności.

Zadanie 14.5

Przeprowadź dowód tego, że estymator jądrowy jest gęstością.

Zadanie 14.6

Powtórz ćwiczenie 14.4, używając innych jąder poznanych na wykładzie.

Zadanie 14.7

Wylosuj 100-elementową próbkę z rozkładu wykładniczego o średniej $\lambda =0.2$ i na jej podstawie narysuj jądrowy estymator gęstości. Jaka jest podstawowa wada tego estymatora? Zaproponuj taką modyfikację metody estymacji jądrowej (zmiana definicji jądra), która pozwoli przezwyciężyć tę trudność.

Zadanie 14.8

Dla danych z GPW podanych w ćwiczeniu 1.4, naszkicuj jądrowy estymator gęstości, a następnie, na tym samym rysunku, umieść wykres rozkładu normalnego o parametrach wyestymowanych na podstawie danej próby.