Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 5: Obliczanie granic

5. Obliczanie granic

Ćwiczenie 5.1.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{5^n+7^n+8^n}$
(2) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{(\frac{13}{14}{)}^n+(\frac{18}{19}{)}^n+(\frac{21}{23}{)}^n}$
(3) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{4^n+1+3^{n+1}}{2^{n+1}+3^n}.$

Wskazówka

(1) Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
(2) Rozwiązać analogicznie jak punkt (1).
(3) Podzielić licznik i mianownik przez $4^n$ oraz skorzystać z arytmetyki granic niewłaściwych.

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

$\begin{array}{ccccc}\sqrt[n]{8^n+8^n+8^n}& \ge & \sqrt[n]{5^n+7^n+8^n}& \ge & \sqrt[n]{8^n}\\ \parallel & & & & \parallel \\ \sqrt[n]{3\cdot 8^n}& & & & 8\\ \parallel & & & & \downarrow \\ 8\sqrt[n]{3}& & & & 8\\ \downarrow & & & & \\ 8& & & & \\ \end{array}$

Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{5^n+7^n+8^n}=8.$

(2) Ponieważ $\frac{21}{23}<\frac{13}{14}<\frac{18}{19},$ więc podobnie jak w poprzednim przykładzie, mamy

$\begin{array}{ccccc}\sqrt[n]{(\frac{18}{19}{)}^n+(\frac{18}{19}{)}^n+(\frac{18}{19}{)}^n}& \ge & \sqrt[n]{(\frac{13}{14}{)}^n+(\frac{18}{19}{)}^n+(\frac{21}{23}{)}^n}& \ge & \sqrt[n]{(\frac{18}{19}{)}^n}\\ \parallel & & & & \parallel \\ \sqrt[n]{3\cdot (\frac{18}{19}{)}^n}& & & & \frac{18}{19}\\ \parallel & & & & \downarrow \\ \frac{18}{19}\sqrt[n]{3}& & & & \frac{18}{19}\\ \downarrow & & & & \\ \frac{18}{19}& & & & \\ \end{array}$

Zatem korzystając z twierdzenie a trzech ciągach wnioskujemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{(\frac{13}{14}{)}^n+(\frac{18}{19}{)}^n+(\frac{21}{23}{)}^n}=\frac{18}{19}.$

(3) Dzieląc licznik i mianownik przez $4^n$ oraz korzystając z arytmetyki granic niewłaściwych, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{4^n+1+3^{n+1}}{2^{n+1}+3^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle 1+\overbrace{\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^n}^{\rightarrow 0}+3\cdot\overbrace{\bigg(\frac{3}{4}\bigg)^n}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 2\cdot\underbrace{\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^n}_{\rightarrow 0^+}+\underbrace{\bigg(\frac{3}{4}\bigg)^n}_{\rightarrow 0^+}} \ =\ +\infty. }

Ćwiczenie 5.2.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{x_n}{)}^{x_n},$ gdzie $\{x_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}$ jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=+\mathrm{\infty }$

(2) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(\frac{n}{n+1}{)}^n$

(3) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(\frac{n-3}{n+2}{)}^n$

(4) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(\frac{n^2+2}{n}{)}^n$

(5) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(\frac{n^2+2}{n^2+1}{)}^{2n^2+2}$

(6) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(\frac{n+2}{n^2+1}{)}^n.$

Wskazówka

(1) Wykorzystać znajomość granicy ciągu $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{x_n}{)}^{x_n}$ (patrz twierdzenie 5.1. (2)).
(2)-(3) Wykorzystać punkt (1).
(4) Najpierw obliczyć granicę podstawy potęgi.
(5) Stwierdzić z jakim symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia.
(6) Najpierw obliczyć granicę podstawy potęgi.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{x_n}\bigg)^{x_n} & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{x_n-1}{x_n}\bigg)^{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\displaystyle\bigg(\frac{x_n}{x_n-1}\bigg)^{x_n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\displaystyle\bigg(\frac{x_n-1}{x_n-1}+\frac{1}{x_n-1}\bigg)^{x_n}}\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{x_n-1}\bigg)^{x_n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\displaystyle\underbrace{\bigg(1+\frac{1}{x_n-1}\bigg)^{x_n-1}}_{\rightarrow e}\cdot\underbrace{\bigg(1+\frac{1}{x_n-1}\bigg)}_{\rightarrow 1}} \ =\ \frac{1}{e}, \endaligned}

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie 5.1. (2) oraz fakt, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(x_n-1)=+\mathrm{\infty }.$ Zauważmy także, że ułamek $\frac{x_n}{x_n-1}$ ma sens przynajmniej od pewnego miejsca, gdyż założenie $x_n⟶+\mathrm{\infty }$ implikuje, że $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:x_n>1,$ więc w szczególności $x_n\ne 1.$

(2) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n}{n+1}\bigg)^n & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\bigg)^n \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{n+1}\bigg)^n\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\underbrace{\bigg(1-\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}_{\rightarrow \frac{1}{e}}\cdot\underbrace{\bigg(1-\frac{1}{n+1}\bigg)^{-1}}_{\rightarrow 1} \ =\ \frac{1}{e}, \endaligned}

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy udowodniony już punkt (1).

(3) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n-3}{n+2}\bigg)^n & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n+2}{n+2}-\frac{5}{n+2}\bigg)^n \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{5}{n+2}\bigg)^n\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg[\underbrace{\bigg(1-\frac{1}{\frac{n+2}{5}}\bigg)^{\displaystyle\frac{n+2}{5}}}_{\rightarrow \frac{1}{e}}\bigg]^{\overbrace{\frac{5n}{n+2}}^{\rightarrow 5}} \ =\ \frac{1}{e^5}, \endaligned}

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy udowodniony już punkt (1) oraz twierdzenie o arytmetyce granic.

(4) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{n^2+2}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(n+\frac{2}{n}\bigg) \ =\ +\infty, }

więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\underbrace{\frac{n^2+2}{n}}_{\rightarrow +\infty}\bigg)^{\overbrace{n}^{\rightarrow +\infty}} \ =\ +\infty, }

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych.

(5) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n^2+2}{n^2+1}\bigg)^{2n^2+2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n^2+1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+1}\bigg)^{2n^2+2} =} Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg[\underbrace{\bigg(1+\frac{1}{n^2+1}\bigg)^{n^2+1}}_{\rightarrow e}\bigg]^2 \ =\ e^2, }

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie 5.1. (2).

(6) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n+2}{n^2+1} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}} \ =\ \frac{0}{1} \ =\ 0, }

więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\underbrace{\frac{n+2}{n^2+1}}_{\rightarrow 0}\bigg)^{\overbrace{n}^{\rightarrow +\infty}} \ =\ 0, }

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych (patrz twierdzenie 5.4. (8)).

Ćwiczenie 5.3.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}n\cdot \sin \frac{3}{n}$
(2) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}n\cdot \cos \frac{1}{n}\cdot \sin \frac{10}{n}$
(3) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{n^2+1}{n}\right)$
(4) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{n^5+n^6}{2^n+3^n}.$

Wskazówka

(1) Skorzystać z granicy specjalnej $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{\sin x_n}{x_n}=1,$ gdzie $x_n⟶0.$
(2) Podobnie jak w punkcie (1).
(3) Najpierw wyznaczyć granicę argumentu funkcji $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}.$
(4) Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach oraz twierdzenie 5.3.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n\cdot\sin\frac{3}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin\frac{3}{n}}{\frac{1}{n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 3\cdot\underbrace{\frac{\sin\frac{3}{n}}{\frac{3}{n}}}_{\rightarrow 1} \ =\ 3\cdot 1 \ =\ 3, }

gdzie skorzystaliśmy z granicy specjalnej $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{\sin x_n}{x_n}=1$ dla $x_n=\frac{3}{n}⟶0$ (patrz twierdzenie 5.8. (8)).

(2) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n\cdot\cos\frac{1}{n}\cdot\sin\frac{10}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 10\cdot\underbrace{\cos\frac{1}{n}}_{\rightarrow 1}\cdot\underbrace{\frac{\sin\frac{10}{n}}{\frac{10}{n}}}_{\rightarrow 1} \ =\ 10, }

gdzie skorzystaliśmy z granicy specjalnej $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{\sin x_n}{x_n}=1$ dla $x_n=\frac{10}{n}⟶0$ (patrz twierdzenie 5.8. (8)).

(3) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2+1}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(n+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ +\infty, }

więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mathrm{arctg}\,\bigg(\underbrace{\frac{n^2+1}{n}}_{\rightarrow +\infty}\bigg) \ =\ \frac{\pi}{2}. }

(4) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0 \ \le\ \frac{n^5+n^6}{2^n+3^n} \ \le\ \frac{2n^6}{2^n}. }

Niech $a_n=\frac{2n^6}{2^n}.$ W celu obliczenia granicy $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n,$ wyliczmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2(n+1)^6 2^n}{2^{n+1}2n^6} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^6 \ =\ \frac{1}{2}. }

Zatem korzystając z twierdzenie 5.3. (1) wnioskujemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0.$ Z kolei z twierdzenia o trzech ciągach i powyższego oszacowania mamy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{n^5+n^6}{2^n+3^n} \ =\ 0. }

Ćwiczenie 5.4.

Obliczyć granice górne i dolne następujących ciągów:
(1) $a_n=(1-\frac{1}{n}{)}^n\cos n\pi$
(2) $a_n=\sin \frac{n\pi }{2}$
(3) $a_n=2\cdot (-1{)}^n+3\cdot (-1{)}^{n+1}.$

Wskazówka

(1) Zbadać jak wygląda ciąg $\{\cos n\pi \}.$
(2) Zbadać jakie wartości przyjmuje ciąg $\{a_n\}.$
(3) Zbadać jakie wartości przyjmuje ciąg $\{a_n\}.$

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że $\cos n\pi =(-1{)}^n$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{n}{)}^n=\frac{1}{e}$ (patrz ćwiczenie 5.2.).

Rysunek AM1.M05.C.R01 (nowy)

Zatem dla wyrazów parzystych mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} a_{2k} \ =\ \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{2k}\bigg)^{2k}\cos 2k\pi \ =\ \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{2k}\bigg)^{2k} \ =\ \frac{1}{e}, }

a dla nieparzystych

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} a_{2k-1} \ =\ \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{2k-1}\bigg)^{2k-1}\cos (2k-1)\pi =} Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle -\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{2k-1}\bigg)^{2k-1} \ =\ -\frac{1}{e}. }

Wnioskujemy stąd, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ \frac{1}{e} \quad\textrm{oraz}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ -\frac{1}{e} }

Rysunek AM1.M05.C.R02 (nowy)

(2) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_n \ =\ \sin\frac{n\pi}{2} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \textrm{gdy}& n=4k,\\ 1 & \textrm{gdy}& n=4k+1,\\ 0 & \textrm{gdy}& n=4k+2,\\ -1 & \textrm{gdy}& n=4k+3,\\ \end{array} \right. }

Rysunek AM1.M05.C.R03 (nowy) Zatem kolejne wyrazy ciągu wynoszą:

$1,0,-1,0,1,0,-1,0,\dots$

Jedynymi wartościami ciągu jak również jego punktami skupienia są: $1,0,-1.$ Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ -1 \quad\textrm{oraz}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ 1. }

(3) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\cdot(-1)^n \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 2 & \textrm{gdy} & n=2k,\\ -2 & \textrm{gdy} & n=2k-1, \end{array} \right. \quad\textrm{oraz}\quad 3(-1)^{n+1} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -3 & \textrm{gdy} & n=2k,\\ 3 & \textrm{gdy} & n=2k-1. \end{array} \right. }

Zatem ciąg $\{a_n\}$ przyjmuje tylko dwie wartości

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_n \ =\ 2\cdot(-1)^n+3(-1)^{n+1} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -1 & \textrm{gdy} & n=2k,\\ 1 & \textrm{gdy} & n=2k-1, \end{array} \right. }

co możemy zapisać krócej

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:a_n=(-1{)}^{n+1},$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ -1 \quad\textrm{oraz}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ 1. }

Ćwiczenie 5.5.

Ciąg $\{x_n\}$ zadany jest rekurencyjnie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_1=1,\quad \forall n\ge 1:\ x_{n+1}=\frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg), }

gdzie $c>0.$ Zbadać zbieżność ciągu $\{x_n\}.$ Jeśli jest on zbieżny, obliczyć jego granicę.

Wskazówka

Wykazać kolejno, że ciąg $\{x_n\}$ jest ograniczony od dołu przez $\sqrt{c}$ (przynajmniej od drugiego miejsca), następnie, że jest malejący (także przynajmniej od drugiego miejsca). Skorzystać z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym w celu stwierdzenia istnienia granicy. W końcu obliczyć granicę wykorzystując związek rekurencyjny.

Rozwiązanie

Najpierw zauważmy, że $x_n>0$ dla każdego $n\ge 1.$ Następnie pokażemy, że $x_n\ge \sqrt{c}$ dla każdego $n\ge 2.$ W tym celu przekształcamy oczywistą nierówność $(x_n-\sqrt{c}{)}^2\ge 0,$ otrzymując kolejno

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_n^2-2\sqrt{c}x_n+c \ \ge\ 0, } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_n^2+c \ \ge\ 2\sqrt{c}x_n } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_n+\frac{c}{x_n} \ \ge\ 2\sqrt{c} } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg) \ \ge\ \sqrt{c}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ x_{n+1} \ \ge\ \sqrt{c}. }

Pokażemy następnie, że ciąg $\{x_n\}$ jest malejący (przynajmniej od drugiego wyrazu). Ponieważ $x_n\ge \sqrt{c}$ dla $n\ge 2,$ więc mamy kolejno

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_n^2 \ \ge\ c } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_n^2+c \ \le\ 2x_n^2 } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_n+\frac{c}{x_n} \ \le\ 2x_n } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg) \ \le\ x_n, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge 2:\ x_{n+1} \ \le\ x_n, }

czyli ciąg $\{x_n\}$ jest malejący (począwszy od drugiego wyrazu). Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że ciąg ten ma granicę $g\in \mathbb{ℝ}.$ W zadanym związku rekurencyjnym $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{c}{x_n})$ możemy zatem przejść do granicy po obu stronach (oczywiście $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n+1}$), otrzymując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_{n+1}}_{=g} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg) \ =\ \frac{1}{2}\bigg(\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n}_{=g}+\frac{c}{\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n}_{=g}}\bigg), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle g \ =\ \frac{1}{2}\bigg(x+\frac{c}{g}\bigg). }

Zatem, jeśli $g$ jest granicą, to musi spełniać powyższą równość. Rozwiązując to równanie dostajemy $g=\sqrt{c}.$
Odpowiedź: $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=\sqrt{c}.$

Ćwiczenie 5.6.

Niech $\{a_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}$ będzie ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:a_n>0$). Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) jeśli $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a<1,$ to $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0$;

(2) jeśli $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a>1,$ to $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=+\mathrm{\infty }.$
Korzystając z powyższych stwierdzeń wyznacz następujące granice:

(3) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n!},$ gdzie $a\in \mathbb{ℝ}$;

(4) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n^k},$ gdzie $a,k>0.$

Wskazówka

(1) Dobrać tak małe $\epsilon >0,$ aby wyrazy ciągu $\left\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}$ były mniejsze od pewnej liczby $b<1.$ Wyprowadzić stąd oszacowanie na wyrazy ciągu $\{a_n\}$ przez wyrazy ciągu geometrycznego $M{b}^n$ (od pewnego miejsca, gdzie $M$ jest pewną stałą).
(2) Zrobić analogicznie do poprzedniego twierdzenia, dobierając tym razem tak małe $\epsilon >0$ aby wyrazy ciągu $\left\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}$ były większe od pewnej liczby $b>1.$
(3) Rozważyć osobno przypadki $a=0,a>0$ i $a<0.$ Gdy $a>0,$ obliczyć granicę ilorazu $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ w celu skorzystania z punktu (1) lub (2).
(4) Obliczyć granicę ilorazu $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ w celu skorzystania z punktu (1) lub (2). Rozważyć osobno przypadki $a<1,a=1$ i $a>1.$

Rozwiązanie

(1) Ponieważ $a<1,$ więc możemy wybrać $a<b<1.$ Niech $\epsilon =b-a.$ Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}-a\bigg|< b-a, }

więc w szczególności, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ 0 \ <\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \ <\ b, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_{n+1} \ <\ b\cdot a_n. }

Postępując indukcyjnie, dla dowolnego $n\ge N,$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_{n+1} \ <\ b\cdot a_n \ <\ b^2\cdot a_{n-1} \ <\ b^3\cdot a_{n-2} \ <\ \ldots \ <\ b^{n+1-N}\cdot a_N \ =\ Mb^n, }

gdzie $M=b^{1-N}{a}_N$ jest stałą niezależną od $n.$ Zatem pokazaliśmy, że wyrazy naszego ciągu $\{a_n\}$ (począwszy od $N$-tego miejsca) szacują się od góry przez wyrazy ciągu geometrycznego $\{M{b}^n\},$ który jest zbieżny do zera (bo $0<b<1$). Z założenia wiemy, że wyrazy $a_n>0,$ zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0,$ co należało dowieść.

(2) Ponieważ $a>1,$ więc możemy wybrać $a>b>1.$ Niech $\epsilon =a-b.$ Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}-a\bigg|< a-b, }

więc w szczególności, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \ >\ b, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_{n+1} \ >\ b\cdot a_n. }

Postępując indukcyjnie, dla dowolnego $n\ge N,$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_{n+1} \ >\ b\cdot a_n \ >\ b^2\cdot a_{n-1} \ >\ b^3\cdot a_{n-2} \ >\ \ldots \ >\ b^{n+1-N}\cdot a_N \ =\ Mb^n, }

gdzie $M=b^{1-N}{a}_N$ jest stałą niezależną od $n.$ Zatem pokazaliśmy, że wyrazy naszego ciągu $\{a_n\}$ (począwszy od $N$-tego miejsca) szacują się od dołu przez wyrazy ciągu geometrycznego $\{M{b}^n\},$ który jest rozbieżny do $+\mathrm{\infty }$ (bo $b>1$). Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach dostajemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=+\mathrm{\infty },$ co należało dowieść.

(3) Niech $a_n=\frac{a^n}{n!}$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$

Gdy $a=0,$ to ciąg jest zerowy i jego granica wynosi $0.$

Załóżmy teraz, że $a>0$ Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a^{n+1}n!}{(n+1)! a^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a}{n} \ =\ 0. }

Zatem korzystając z punktu (1) dostajemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n!}=0.$

W końcu gdy $a<0,$ to zauważmy, że definiując $b_n=|a_n|,$ mamy $b_n=\frac{|a{|}^n}{n!},$ zatem możemy wykorzystać już udowodnioną część i wywnioskować, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}|a_n|=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n=0.$ Korzystając teraz z twierdzenia 4.9. (7), dostajemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0.$

Zatem dla dowolnego $a\in \mathbb{ℝ}$ dostaliśmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0.$

(4) Niech $a_n=\frac{a^n}{n^k}.$ Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a^{n+1}n^k}{(n+1)^ka^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^k} \ =\ a. }

Zatem, jeśli $a<1,$ to korzystając z punktu (1) dostajemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0.$ Jeśli $a>1,$ to korzystając z punktu (2) dostajemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=+\mathrm{\infty }.$ Jeśli $a=1,$ to stwierdzamy bezpośrednio, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k}=0.$