Analiza matematyczna 1/Wykład 15: Krzywe i bryły obrotowe

Krzywe i bryły obrotowe

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie krzywej i krzywej zwyczajnej. Definiujemy długość krzywej i krzywą prostowalną. Dowodzimy, że krzywa zwyczajna klasy $C^1$ jest prostowalna. Wyprowadzamy wzór na długość krzywej i liczymy długości cykloidy i asteroidy. W drugiej części wykładu podajemy wzory na pola powierzchni i objętości brył obrotowych.

Długość krzywej

Definicja 15.1.

Niech $-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$. Krzywą nazywamy zbiór punktów

$K=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x=\phi (t),y=\psi (t),t\in [a,b]\},$

gdzie $\phi ,\psi :[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:

$K=K(\phi ,\psi ):\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}t\in [a,b].$

Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.

<flash>file=AM1.M15.W.R01.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Krzywa

<flash>file=Am1.M15.W.R02.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Parametryczny opis okręgu

Plik:AM1.M15.W.R03.mp4

Krzywa z punktem wielokrotnym (potrójnym)

Przykład 15.2.

Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu $R>0$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$ Jeśli jako parametr $t$ przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu $(x,y)$ na okręgu, to widzimy (patrz rysunek), że $x=\cos t$ i $y=\sin t$ Zatem następująca krzywa:

$K:\{\begin{array}{l}x=R\cos t\\ y=R\sin t\end{array}t\in [0,2\pi ]$ opisuje okrąg.

Definicja 15.3.

Mówimy, że punkt $(x,y)\in K$ jest punktem wielokrotnym krzywej $K$, jeśli

$\mathrm{\exists }{t}_1,t_2\in (a,b):t_1\ne t_2\wedge (x,y)=(\phi (t_1),\psi (t_1))=(\phi (t_2),\psi (t_2)).$

Krzywą $K$ nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy

$\begin{array}{l}\left[\right(\phi (t_1),\psi (t_1))=(\phi (t_2),\psi (t_2)),t_1\le t_2]\\ \\ ⟹& \left[\right(t_1=t_2)\vee (t_1=a\wedge t_2=b\left)\right].\end{array}$

Plik:AM1.M15.W.R04.svg

Krzywe zwyczajne

Definicja 15.4.

Niech

$a=t_0<t_1<\dots <t_n=b$

będzie podziałem przedziału $[a,b]$. Łamaną $p$ łączącą punkty:

$(\phi (t_0),\psi (t_0)),\dots ,(\phi (t_n),\psi (t_n))$

nazywamy łamaną wpisaną w krzywą $K$. Przez $l(p)$ oznaczamy długość łamanej $p$ (to znaczy sumę długości odcinków

wchodzących w skład łamanej).

Definicja 15.5.

Długością krzywej $K$ nazywamy liczbę:

$l(K)=\underset{p}{\sup }l(p),$

gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w $K$.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R05.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R06.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

Definicja 15.6.

Jeśli $l(K)<+\mathrm{\infty }$, to mówimy, że krzywa $K$ jest prostowalna.

Twierdzenie 15.7.

Niech $\phi ,\psi :[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będą klasy $C^1$ oraz niech $K=K(\phi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa $K$ jest prostowalna.

Plik:AM1.M15.W.R07.mp4

Łamana wpisana w krzywą

Dowód 15.7. [nadobowiązkowy]

Niech $p$ będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą $K$, to znaczy istnieje podział

$a=t_0<t_1<\dots <t_n=b$

taki, że $p$ jest łamaną o wierzchołkach $(x_i,y_i)$ dla $i=0,\dots ,n$, gdzie

$\{\begin{array}{l}{x}_i=\phi (t_i)\\ y_i=\psi (t_i)\end{array}i\in \{0,\dots ,n\}.$

Długość łamanej $p$ wyraża się wzorem:

$l(p)=\sum _{i=1}^n\sqrt{(x_i-x_{i-1}{)}^2+(y_i-y_{i-1}{)}^2}.$

Ponieważ $\phi ,\psi \in C^1([a,b];\mathbb{ℝ})$, więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy

$x_i-x_{i-1}=\phi (t_i)-\phi (t_{i-1})={\phi }^{\prime }({\tau }_i)(t_i-t_{i-1})$,

$y_i-y_{i-1}=\psi (t_i)-\psi (t_{i-1})={\psi }^{\prime }({\tau }_i^{*})(t_i-t_{i-1})$,

gdzie

${\tau }_i\in (t_{i-1},t_i),i=1,\dots n,{\tau }_i^{*}\in (t_{i-1},t_i),i=1,\dots n$.

Zatem

$l(p)=\sum _{i=1}^n\sqrt{{\phi }^{\prime }({\tau }_i{)}^2+{\psi }^{\prime }({\tau }_i^{*}{)}^2}\cdot (t_i-t_{i-1}).$

Ponieważ ${\phi }^{\prime },{\psi }^{\prime }\in C([a,b];\mathbb{ℝ})$ i przedział $[a,b]$ jest zwarty, więc funkcje ${\phi }^{\prime },{\psi }^{\prime }$ są ograniczone.
Definiujemy

$M=\underset{t\in [a,b]}{\sup }{\phi }^{\prime }(t),M^{*}=\underset{t\in [a,b]}{\sup }{\psi }^{\prime }(t),$

$m=\underset{t\in [a,b]}{\inf }{\phi }^{\prime }(t),m^{*}=\underset{t\in [a,b]}{\inf }{\psi }^{\prime }(t).$

Zatem

$\sqrt{m^2+{m^{*}}^2}\cdot (b-a)\le l(p)\le \sqrt{M^2+{M^{*}}^2}\cdot (b-a).$

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej $p$ wpisanej w krzywą $K$, więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych, dostajemy

$\sqrt{m^2+{m^{*}}^2}\cdot (b-a)\le l(K)\le \sqrt{M^2+{M^{*}}^2}\cdot (b-a),$

a zatem krzywa $K$ jest prostowalna.

Uwaga 15.8.

W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy $C^1$. (to znaczy $\phi ,\psi$, są klasy $C^1$) W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy $C^1$, to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy $C^1$ (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy $C^1$ stosują się także do krzywych kawałkami klasy $C^1$.

Plik:AM1.M15.W.R08.mp4

Krzywa $K(t)$

Definicja 15.9.

Niech $K=K(\phi ,\psi )$ będzie krzywą. Zdefiniujmy:

$K(t)\stackrel{df}{=}\left\{\right(\phi (\tau ),\psi (\tau )):\tau \in [a,t]\},$

oraz

$s(t)\stackrel{df}{=}l(K(t))$ (długośćkrzywejK(t)) $.$

W szczególności $s(b)=l(K)$.

Twierdzenie 15.10.

Niech $\phi ,\psi :[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będą klasy $C^1$ oraz niech $K=K(\phi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas

$s^{\prime }(t)=\sqrt{{\phi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2}\mathrm{\forall }t\in [a,b].$

Dowód 15.10. [nadobowiązkowy]

Niech $t_0,t_0+h\in [a,b]$. Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7. dostajemy:

$\sqrt{m_h^2+{m_h^{*}}^2}\cdot h\le s(t_0+h)-s(t_0)\le \sqrt{M_h^2+{M_h^{*}}^2}\cdot h,$

gdzie

$M_h=\underset{t\in [t_0,t_0+h]}{\sup }{\phi }^{\prime }(t),M_h^{*}=\underset{t\in [t_0,t_0+h]}{\sup }{\psi }^{\prime }(t),$

$m_h=\underset{t\in [t_0,t_0+h]}{\inf }{\phi }^{\prime }(t),m_h^{*}=\underset{t\in [t_0,t_0+h]}{\inf }{\psi }^{\prime }(t).$

Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez $h$, dostając:

$\sqrt{m_h^2+{m_h^{*}}^2}\le \frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}\le \sqrt{M_h^2+{M_h^{*}}^2}.$

Ponieważ funkcje ${\phi }^{\prime }$ i ${\psi }^{\prime }$ są ciągłe, więc dostajemy

$\begin{array}{rlr}{M}_h& \underset{h\to 0}{\overset{}{\to }}& {\phi }^{\prime }(t_0),\\ m_h& \underset{h\to 0}{\overset{}{\to }}& {\phi }^{\prime }(t_0),\\ M_h^{*}& \underset{h\to 0}{\overset{}{\to }}& {\psi }^{\prime }(t_0),\\ m_h^{*}& \underset{h\to 0}{\overset{}{\to }}& {\psi }^{\prime }(t_0).\end{array}$

Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:

$s^{\prime }(t_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}=\sqrt{{\phi }^{\prime }(t_0{)}^2+{\psi }^{\prime }(t_0{)}^2}.$

Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]

Niech $\phi ,\psi :[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będą klasy $C^1$ oraz niech $K=K(\phi ,\psi )$ będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem

$l(K)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{\phi }^{\prime }(\tau {)}^2+{\psi }^{\prime }(\tau {)}^2}d\tau .$

W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji $y=f(x)$, dla $x\in [a,b]$, to

$l(K)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+f^{\prime }(t{)}^2}dt.$

Dowód 15.11.

$l(K)=s(b)=s(b)-\underbrace{s(a)}{}_{=0}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{s}^{\prime }(\tau )d\tau =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{\phi }^{\prime }(\tau {)}^2+{\psi }^{\prime }(\tau {)}^2}d\tau .$

W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję $f$ możemy zapisać w postaci parametrycznej

$\{\begin{array}{l}x(t)=t\\ y(t)=f(t)\end{array},t\in [a,b]$

i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.

Przykład 15.12.

Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:

$r=g(\vartheta )\vartheta \in [\alpha ,\beta ].$

Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:

$\{\begin{array}{l}x=r\cos \vartheta =g(\vartheta )\cos \vartheta \\ y=r\sin \vartheta =g(\vartheta )\sin \vartheta .\end{array}$

Liczymy

$\begin{array}{lll}{x}^{\prime }(\vartheta {)}^2+y^{\prime }(\vartheta {)}^2& =& [g^{\prime }(\vartheta )\cos \vartheta -g(\vartheta )\sin (\vartheta ){]}^2+[g^{\prime }(\vartheta )\sin \vartheta +g(\vartheta )\cos (\vartheta ){]}^2\\ \\ & =& g^{\prime }(\vartheta {)}^2{\cos }^2\vartheta -2g(\vartheta )g^{\prime }(\vartheta )\sin \vartheta \cos \vartheta +g(\vartheta {)}^2{\sin }^{}\vartheta \\ \\ & +& g^{\prime }(\vartheta {)}^2{\sin }^2\vartheta +2g(\vartheta )g^{\prime }(\vartheta )\sin \vartheta \cos \vartheta +g(\vartheta {)}^2{\cos }^{}\vartheta \\ \\ & =& g^{\prime }(\vartheta {)}^2+g(\vartheta {)}^2,\end{array}$

Zatem

$l(K)=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\sqrt{g(\vartheta {)}^2+g^{\prime }(\vartheta {)}^2}d\vartheta .$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R09.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Krzywa we współrzędnych biegunowych

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R10.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Cykloida

Definicja 15.13.

Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną

przez ustalony punkt $0$ na okręgu toczącym się po prostej $l$.

Plik:AM1.M15.W.R11.svg

Cykloida

Przykład 15.14.

Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.

Oznaczenia:
$a$ - promień okręgu;
$O$ - początkowy punkt styczności okręgu i prostej $l$;
$N$ - nowy punkt styczności;
$M$ - nowe położenie punktu $O$;
$t=\sphericalangle NDM$ - parametr określający położenie punktu $M$.

Liczymy współrzędne punktu $M(x,y)$:

$x=OF=ON-FN=\widehat{NM}-MG=at-a\sin t,$

$y=FM=NG=ND-GD=a-a\cos t.$

Zatem

$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}t\in [0,2\pi ]($ lub $t\in \mathbb{ℝ}).$

Przykład 15.15.

Obliczyć długość łuku cykloidy:

$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}t\in [0,2\pi ].$

$\begin{array}{lll}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}& =& \sqrt{a^2(1-\cos t{)}^2+a^2{\sin }^{}t}=\sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2{\cos }^{}t+a^2{\sin }^{}t}\\ & =& \sqrt{2a^2(1-\cos t)}=\sqrt{4a^2{\sin }^2\frac{t}{2}}=2a|\sin \frac{t}{2}|.\end{array}$

Zatem

$\begin{array}{lll}l(K)& =& \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt=2a\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|\sin \frac{t}{2}|dt\\ & =& 2a\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin \frac{t}{2}dt=-4a\cos \frac{t}{2}{|}_0^{2\pi }=8a.\end{array}$

Przykład 15.16.

Obliczyć długość łuku asteroidy:

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}.$

Równanie parametryczne asteroidy, to:

$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^{3}t\\ y=a{\sin }^{3}t\end{array}t\in [0,2\pi ].$

Liczymy

$\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}=3a\sin t\cos t\mathrm{\forall }t\in [0,2\pi ].$

Zatem

$l(K)=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}3a\sin t\cos tdt=6a.$

<flash>file=AM1.M15.W.R12.swf|width=272|height=272</flash> <div.thumbcaption>Asteroida

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R13.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Asteroida

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R14.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Asteroida

Całka krzywoliniowa

Niech $K$ będzie krzywą klasy $C^1$:

$K=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x=\phi (t),y=\psi (t),t\in [a,b]\},$

Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła $f:K\ni M⟼f(M)\in \mathbb{ℝ}$, to znaczy funkcja, która każdemu punktowi $M$ krzywej $K$ przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą $f(M)$. Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji $f$ po krzywej $K$.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię

Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:

$\underset{K}{\int }f(x,y)ds=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (t),\psi (t))\sqrt{{\phi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2}dt.$

Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).

Jeśli mamy daną krzywą (pręt) $K$ zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie $M(x,y)$ danej funkcją ciągłą $\varrho (M)$, to masa tego pręta wyraża się wzorem

$m=\underset{K}{\int }\varrho (x,y)ds.$

Współrzędne środka ciężkości pręta $(x_0,y_0)$ możemy policzyć ze wzorów

$\begin{array}{rlr}{x}_0& =& \frac{1}{m}\underset{K}{\int }x\cdot \varrho (x,y)ds,\\ x_0& =& \frac{1}{m}\underset{K}{\int }y\cdot \varrho (x,y)ds.\end{array}$

Przykład 15.17.

Obliczyć masę pręta półkolistego $K=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=R^2,y\ge 0\}$ o gęstości $\varrho (x,y)=y^2$.

Masa krzywej o gęstości $\varrho$ dana jest wzorem

$m=\underset{K}{\int }\varrho (x,y)ds=\underset{K}{\int }{y}^{2}ds.$

Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:

$K=K(\phi ,\psi ):\{\begin{array}{l}x=\phi (t)=R\cos t\\ y=\psi (t)=R\sin t\end{array}t\in [0,\pi ],$

mamy

$\begin{array}{lll}m& =& \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{R}^2{\sin }^{2}t\sqrt{(-R\sin t{)}^2+(R\cos t{)}^2}dt=R^3\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}tdt\\ & =& R^3[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t{]}_0^{\pi }=\frac{R^3\pi }{2}.\end{array}$

Odpowiedź:

Masa pręta wynosi $\frac{R^3\pi }{2}$

.

Przykład 15.18.

Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka $K$ łączącego punkt $(0,0)$ z punktem $(1,1)$ o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej $\sqrt{2}$ w punkcie $(1,1)$.

Skoro gęstość $\varrho$ jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi $\sqrt{2}$ w punkcie $(1,1)$, to

$\varrho (x,t)=c\sqrt{x^2+y^2}$ oraz $\varrho (1,1)=c\sqrt{2}=\sqrt{2},$

stąd $c=1$. Parametryzacją odcinka jest na przykład

$K=K(\phi ,\psi ):\{\begin{array}{l}x=\phi (t)=t\\ y=\psi (t)=t\end{array}t\in [0,1],$

zatem masa wynosi

$m=\underset{K}{\int }\sqrt{x^2+y^2}ds=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{t^2+t^2}\sqrt{2}dt=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}tdt=t^2{|}_0^1=1.$

Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru

$x_0=\frac{1}{m}\underset{K}{\int }x\cdot \varrho (x,y)ds=\underset{0}{\overset{1}{\int }}t\cdot \sqrt{2t^2}\sqrt{2}dt=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{2}dt=\frac{2}{3}{t}^3{|}_0^1=\frac{2}{3}.$

Z symetrii zadania wynika, że $y_0=\frac{2}{3}$.

Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej

W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy $C^1$. Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).

Plik:AM1.M15.W.R15.svg

Pole między wykresami funkcji

Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.

Uwaga 15.19.

Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:

$y=f_1(x)$ i $y=f_2(x)x\in [a,b],$

to pole tego trapezu wynosi:

$|P|=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f_1(x)-f_2(x)]dx$

Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.

Twierdzenie 15.20.

Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej

$K:\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},$ dla $t\in [\alpha ,\beta ],$

wynosi

$|P|=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\psi (t){\phi }^{\prime }(t)dt.$

Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

Plik:AM1.M15.W.R16.mp4

Pole obszaru ograniczonego półprostymi i krzywą zadaną we współrzędnych biegunowych

Plik:AM1.M15.W.R17.svg

Trójkąt krzywoliniowy

Twierdzenie 15.21.

Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami $OA$ i $OB$ (gdzie $O=(0,0)$) oraz krzywą $AB$ daną w postaci biegunowej

$r=g(\vartheta ),\vartheta \in [{\vartheta }_1,{\vartheta }_2],$

to pole tego obszaru wynosi:

$|P|=\frac{1}{2}\underset{{\vartheta }_1}{\overset{{\vartheta }_2}{\int }}[g(\vartheta ){]}^{2}d\vartheta .$

Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku

Oznaczając przez $P_{ABC}$ pole trójkąta krzywoliniowego, mamy

$P_{ABC}\approx \frac{1}{2}\cdot g(\vartheta )\cdot g(\vartheta )\cdot \sin \mathrm{\Delta }\vartheta \approx \frac{1}{2}g(\vartheta {)}^2\mathrm{\Delta }\vartheta$

(dla małych kątów $\mathrm{\Delta }\vartheta$ zachodzi $\mathrm{\Delta }\sin \vartheta \approx \mathrm{\Delta }\vartheta$). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

Twierdzenie 15.22.

(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

$K:y=f(x),$ dla $x\in [a,b]$

wokół osi $Ox$:

$|P|=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x)]\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx.$

Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.

(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

$K:\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ dla $t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $Ox$:

$|P|=2\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}[\psi (t)]\sqrt{{\phi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2}dt.$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R18.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R21.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R19.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R20.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi $Ox$

Twierdzenie 15.23.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$K:y=f(x),$ dla $x\in [a,b]$

wokół osi $Ox$:

$|V_x|=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x{)}^{2}dx.$

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka $[a,b]$:

$P:a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$

oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji $y=f(x)$ dla $x\in [x_{i-1},x_i]$. Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy $f(x_i)$ i wysokości $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$, czyli $\pi f(x_i{)}^2\mathrm{\Delta }{x}_i$. Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$K:\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ dla $t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $Ox$:

$|V_x|=\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\psi (t{)}^2{\phi }^{\prime }(t)dt.$

Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R22.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R23.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R24.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Oy$

Twierdzenie 15.24.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$K:y=f(x)$ dla $x\in [a,b]$

wokół osi $Oy$:

$|V_y|=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}xf(x)dx.$

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka $[a,b]$:

$P:a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$

oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji $y=f(x)$ dla $x\in [x_{i-1},x_i]$ wokół osi $Oy$. Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa $2\pi x_{i}f(x_i)-2\pi x_{i-1}f(x_i)=2\pi \mathrm{\Delta }{x}_{i}f(x_i)$. Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na $|V_y|$.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$K:\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ dla $t\in [\alpha ,\beta ]$

wokół osi $Oy$:

$|V_y|=2\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\phi (t)\psi (t){\phi }^{\prime }(t)dt.$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R25.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R26.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi $Ox$

Plik:AM1.M15.W.R27.mp4

Torus

Przykład 15.25.

Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła

$x^2+(y-a{)}^2\le r^2(0<r<a)$

wokół osi $Ox$.

$\begin{array}{lll}|V_x|& =& \pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}\left[\right(a+\sqrt{r^2-x^2}{)}^2-(a-\sqrt{r^2-x^2}{)}^2]dx=4\pi a\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}dx\\ & \stackrel{(★)}{=}& 4\pi a[\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}{]}_{-r}^r=4\pi a[\frac{r^2}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{r^2}{2}\cdot \frac{\pi }{2}]=4\pi a\frac{r^2\pi }{2}=2{\pi }^{2}a{r}^2,\end{array}$

gdzie wykorzystano następującą całkę:

$\begin{array}{rlr}(★)I& =& \int \sqrt{r^2-x^2}dx=\int \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}dx=r^2\underset{I_1}{\underbrace{\int \frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}}-\underset{I_2}{\underbrace{\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}}.\end{array}$

$I_1=\arcsin \frac{x}{|r|}+c.$

Teraz liczymy całkę $I$ inaczej:

$\begin{array}{lll}I& =& \int \sqrt{r^2-x^2}dx\begin{array}{c}\text{części}\\ =\end{array}x\sqrt{r^2-x^2}-\int x\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ & =& x\sqrt{r^2-x^2}+\underset{=I_2}{\underbrace{\int \frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}dx}}=x\sqrt{r^2-x^2}+I_2.\end{array}$

Porównując to z $(★)$, otrzymujemy:

$r^2{I}_1-I_2=x\sqrt{r^2-x^2}+I_2,$

stąd

$2I_2=r^2{I}_1-x\sqrt{r^2-x^2}=r^2\arcsin \frac{x}{r}-x\sqrt{r^2-x^2},$

zatem

$I_2=\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}-\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}.$

Wstawiając do $(★)$, otrzymujemy:

$\begin{array}{rlr}I& =& r^2\arcsin \frac{x}{r}-\frac{1}{2}{r}^2\arcsin \frac{x}{r}+\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c=\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}+c.\end{array}$