Analiza matematyczna 1/Wykład 5: Obliczanie granic: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:19, 28 sie 2023

Obliczanie granic

Wykład ten jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego ciągów o wyrazach rzeczywistych. Wykład rozpoczynamy od definicji liczby $e$ jako granicy pewnego ciągu. Podajemy twierdzenia o arytmetyce granic niewłaściwych i liczymy pewne granice specjalne. Wprowadzamy pojęcia granicy dolnej i granicy górnej ciągu.

Liczba e

Zajmiemy się teraz pewnym przykładem ciągu zbieżnego, którego granica odgrywa ważną rolę w matematyce.

Twierdzenie 5.1. [Liczba $e$ , symbol $1^{\infty}$ ]

(1) Ciąg ${e_{n}} \subseteq ℝ$ o wyrazach $e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ jest zbieżny.
Jego granicę oznaczamy przez $e,$ przy czym

e \approx 2, 718281828458563411277850606202642376785584483618617451918618203 \dots .

(2) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty,$ to

\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{a_{n}})^{a_{n}} = e .

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, którego dowód indukcyjny zostawiamy jako proste ćwiczenie.

Lemat 5.2.

Dla każdego $n \geq 3$ mamy $n! > 2^{n - 1}$

Dowód 5.2.

(Ad (1))
Krok 1. Pokażemy, że ciąg ${e_{n}}$ jest rosnący. W tym celu dla dowolnego $n \in ℕ$ obliczymy iloraz:

\frac{e_{n + 1}}{e_{n}} = \frac{(1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1}}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} = (1 + \frac{1}{n}) \frac{(1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1}}{(1 + \frac{1}{n})^{n + 1}}

$= \frac{n + 1}{n} [\frac{n (n + 2)}{(n + 1)^{2}}]^{n + 1} = \frac{n + 1}{n} [1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}]^{n + 1} .$

Jakob Bernoulli (1654-1705)
Zobacz biografię

Stosując nierówność Bernoullego

(patrz uwaga 2.16.) z $r = n + 1 \geq 2$ oraz $x = - \frac{1}{(n + 1)^{2}} > - 1,$ dostajemy

$\frac{e_{n + 1}}{e_{n}} > \frac{n + 1}{n} (1 - \frac{n + 1}{(n + 1)^{2}}) = \frac{n + 1}{n} (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n}{n + 1} = 1 .$

Pokazaliśmy zatem, że

$\frac{e_{n + 1}}{e_{n}} > 1 \forall n \geq 1,$

czyli ciąg ${e_{n}}$ jest rosnący.

Krok 2. Pokażemy, że ciąg ${e_{n}}$ jest ograniczony. Ponieważ jest to ciąg liczb dodatnich, więc wystarczy pokazać, że jest on ograniczony z góry. Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.), mamy

\begin{array}{lll} e_{n} & = & (1 + \frac{1}{n})^{n} = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) \frac{1}{n} + (\binom{n}{2}) \frac{1}{n^{2}} + (\binom{n}{3}) \frac{1}{n^{3}} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) \frac{1}{n^{n - 1}} + (\binom{n}{n}) \frac{1}{n^{n}} \\ = & 1 + 1 + \frac{1}{2!} \frac{n (n - 1)}{n^{2}} + \frac{1}{3!} \frac{n (n - 1) (n - 2)}{n^{3}} + \dots + \frac{1}{(n - 1)!} \frac{n (n - 1) (n - 2) \cdot \dots \cdot 2}{n^{n - 1}} \\ + \frac{1}{n!} \frac{n (n - 1) (n - 2) \cdot \dots \cdot 1}{n^{n}} \\ = & 1 + 1 + \frac{1}{2!} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{(n - 1)!} (1 - \frac{1}{n}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{n - 2}{n}) \\ + \frac{1}{n!} (1 - \frac{1}{n}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{n - 1}{n}) \\ < & 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{(n - 1)!} + \frac{1}{n!} . \end{array}

Korzystając z Lematu lematu 5.2., mamy

e_{n} < 1 + 1 + \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} .

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz przyklad 1.12.), dostajemy

e_{n} < 1 + \frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1 - \frac{1}{2}} < 1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 3 .

Pokazaliśmy zatem, że

\forall n \in ℕ : | e_{n} | < 3,

czyli że ciąg ${e_{n}}$ jest ograniczony.
Krok 3. Ponieważ ciąg ${e_{n}}$ jest rosnący i ograniczony, więc korzystając z twiedzenia 4.15., wnioskujemy, że jest on zbieżny.

(Ad (2)) [Dowód nadobowiązkowy]

Niech $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ oraz $y_{n} = (1 + \frac{1}{n + 1})^{n} .$ Zauważmy, że

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} x_{n} & = & \lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = \lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n}) = e \cdot 1 = e, \\ \lim_{n \to + \infty} y_{n} & = & \lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{n + 1})^{n} = \lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1} \cdot (1 + \frac{1}{n + 1})^{- 1} = e \cdot 1 = e . \end{array}

Niech ${a_{n}}$ będzie dowolnym ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty .$ W celu udowodnienia naszego twierdzenia skorzystamy z twierdzenia 3.25.(5). W tym celu weźmy dowolny podciąg ${a_{n_{k}}}$ ciągu ${a_{n}} .$

Wybierzmy z kolei podciąg ${a_{n_{k_{l}}}}$ ciągu ${a_{n_{k}}},$ który jest monotonicznie rosnący do $+ \infty$ oraz taki, że

\forall l \in ℕ : l < a_{n_{k_{l}}}

oraz

a_{n_{k_{l}}} + 1 \leq a_{n_{k_{l + 1}}}

Dla każdego $l \in ℕ$ wyraz $a_{n_{k_{l}}}$ jest zawarty w pewnym przedziale $[N_{l}, N_{l} + 1)$ o końcach naturalnych (przy czym ciąg ${N_{l}}_{l}$ jest silnie rosnący). Korzystając z monotoniczności funkcji potęgowej oraz funkcji wykładniczej (o podstawie większej od $1$ ), mamy

\begin{array}{ccccccccc} (1 + \frac{1}{N_{l} + 1})^{N_{l}} & \leq & (1 + \frac{1}{a_{n_{k_{l}}}})^{N_{l}} & \leq & (1 + \frac{1}{a_{n_{k_{l}}}})^{a_{n_{k_{l}}}} & \leq & (1 + \frac{1}{a_{n_{k_{l}}}})^{N_{l} + 1} & \leq & (1 + \frac{1}{N_{l}})^{N_{l} + 1} \\ ↓ & ↓ \\ e & e \end{array}

gdzie zbieżności ciągów ${(1 + \frac{1}{N_{l} + 1})^{N_{l}}}_{l \in ℕ}$ i ${(1 + \frac{1}{N_{l}})^{N_{l} + 1}}_{l \in ℕ}$ do liczby $e$ wynikają z faktów, iż są to podciągi ciągów ${x_{n}}$
i ${y_{n}}$ mających granicę $e .$ Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenia 4.11.), wnioskujemy, że $\lim_{l \to + \infty} (1 + \frac{1}{a_{n_{k_{l}}}})^{a_{n_{k_{l}}}} = e .$

Ponieważ wystartowaliśmy od dowolnego podciągu ${a_{n_{k}}}$ ciągu ${a_{n}},$ zatem korzystając z twierdzenia 3.25.(5), dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{a_{n}})^{a_{n}} = e .$

Kolejne twierdzenie będzie przydatne przy wyznaczaniu pewnych granic ciągów. Jego dowód jak i zastosowania pozostawione są na ćwiczenia (patrz zadanie 5.6.).

Twierdzenie 5.3.

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy $\forall n \in ℕ : a_{n} > 0$ ), to
(1) jeśli $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a < 1,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ ;
(2) jeśli $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a > 1,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty .$

Arytmetyka granic niewłaściwych

Analogicznie do twierdzeń o "arytmetyce" granic (twierdzenie 4.9.), można sformułować cały szereg twierdzeń dotyczący "arytmetyki" granic niewłaściwych. Poniższe twierdzenie zbiera informacje dotyczące granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów, gdy przynajmniej jeden z ciągów ma granicę niewłaściwą. Podamy dowód jednego z poniższych punktów. Pozostałe dowody można zrobić analogicznie.

Twierdzenie 5.4. [O "arytmetyce" granic niewłaściwych]

(1) $a + \infty = + \infty,$ dla $- \infty < a \leq + \infty,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty,$ gdzie $- \infty < a \leq + \infty,$ to $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = + \infty .$

(2) $a - \infty = - \infty$ dla $- \infty \leq a < + \infty,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty,$ gdzie $- \infty \leq a < + \infty,$ to $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = - \infty .$

(3) $a \cdot (\pm \infty) = \pm \infty$ dla $0 < a \leq + \infty,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = \pm \infty,$ gdzie $0 < a \leq + \infty,$ to $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = \pm \infty .$

(4) $a \cdot (\pm \infty) = \mp \infty$ dla $- \infty \leq a < 0,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = \pm \infty,$ gdzie $- \infty \leq a < 0,$ to $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = \mp \infty .$

(5) $\frac{a}{\pm \infty} = 0$ dla $a \in ℝ,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in ℝ$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = \pm \infty$ oraz $b_{n} \neq 0$ dla $n \in ℕ,$ to $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 .$

(6a) $\frac{a}{0^{+}} = + \infty$ dla $0 < a \leq + \infty,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0,$ gdzie $0 < a \leq + \infty$ oraz $b_{n} > 0$ dla $n \in ℕ,$ to $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = + \infty .$

(6b) $\frac{a}{0^{-}} = - \infty$ dla $0 < a \leq + \infty,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0,$ gdzie $0 < a \leq + \infty$ oraz $b_{n} < 0$ dla $n \in ℕ,$ to $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = - \infty .$

(7a) $\frac{a}{0^{+}} = - \infty$ dla $- \infty \leq a < 0,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0,$ gdzie $- \infty \leq a < 0$ oraz $b_{n} > 0$ dla $n \in ℕ,$ to $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = - \infty .$

(7a) $\frac{a}{0^{-}} = + \infty$ dla $- \infty \leq a < 0,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0,$ gdzie $- \infty \leq a < 0$ oraz $b_{n} < 0$ dla $n \in ℕ,$ to $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = + \infty .$

(8a) $a^{+ \infty} = 0$ dla $0^{+} \leq a < 1,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty,$ gdzie $0 \leq a < 1$ oraz $a_{n} > 0$ dla $n \in ℕ,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = 0 .$

(8b) $a^{- \infty} = + \infty$ dla $0^{+} \leq a < 1,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = - \infty,$ gdzie $0 \leq a < 1$ oraz $a_{n} > 0$ dla $n \in ℕ,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = + \infty .$

(9a) $a^{- \infty} = 0$ dla $1 < a \leq + \infty,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = - \infty,$ gdzie $1 < a \leq + \infty,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = 0 .$

(9b) $a^{+ \infty} = + \infty$ dla $1 < a \leq + \infty,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty,$ gdzie $1 < a \leq + \infty,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = + \infty .$

(10) $\infty^{b} = 0$ dla $- \infty \leq b < 0,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,$ gdzie $- \infty \leq b < 0,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = 0 .$

(11) $\infty^{b} = + \infty$ dla $0 < b \leq + \infty,$ to znaczy
jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,$ gdzie $0 < b \leq + \infty,$ to $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = + \infty .$

Dowód 5.4.

(Ad (1)) Załóżmy, że

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a, \lim_{n \to + \infty} b_{n} = b, - \infty < a \leq + \infty .

Ustalmy dowolne $M \in ℝ .$ Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ (gdzie $- \infty < a \leq + \infty$ ), więc ciąg ${a_{n}}$ jest ograniczony od dołu, to znaczy

\exists \overline{M} \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \geq \overline{M} .

Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty,$ więc

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : b_{n} \geq M - \overline{M} .

Zatem dla dowolnego $n \geq N$ mamy

a_{n} + b_{n} \geq \overline{M} + (M - \overline{M}) = M .

Ponieważ $M \in ℝ$ było wybrane dowolnie, więc pokazaliśmy, że

\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} + b_{n} \geq M,

zatem udowodniliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = + \infty .$

Uwaga 5.5. [Symbole nieoznaczone]

Dla pewnych działań na ciągach nie można z góry przewidzieć, jaka jest granica "wynikowa" mimo, że znane są granice poszczególnych ciągów. Dla przykładu rozważmy dwa ciągi ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ rozbieżne do $+ \infty$ i zbadajmy ich różnicę ${a_{n} - b_{n}} .$ Okazuje się, że w zależności od konkretnych ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}},$ ich różnica może mieć granicę właściwą lub niewłaściwą lub nie mieć granicy. Mówimy wówczas, że $\infty - \infty$ jest symbolem nieoznaczonym. Oznacza to w szczególności, że dla takiego symbolu nie możemy sformułować twierdzenia analogicznego do twierdzenia 5.4..
Mamy siedem takich symboli nieoznaczonych:

\infty - \infty, 0 \cdot \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 1^{\infty}, \infty^{0}, 0^{0} .

Przykład 5.6.

Dla każdego z powyższych symboli nieoznaczonych podamy przykłady ciągów mających granicę, dających w wyniku wykonania wskazanych działań ciągi o różnych granicach $g \in \overline{ℝ}$ lub bez granicy.

$\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty & \lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty & \infty - \infty \\ a_{n} = n^{2} & b_{n} = n^{2} & \lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = 0 \\ a_{n} = n^{2} & b_{n} = n & \lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = + \infty \\ a_{n} = n & b_{n} = n^{2} & \lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = - \infty \\ a_{n} = n & b_{n} = (n - a) & \lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a (gdzie a \in ℝ) \\ a_{n} = n + (- 1)^{n} & b_{n} = n & {a_{n} - b_{n}} nie ma granicy \end{array}$

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 & \lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty & 0 \cdot \infty \\ a_{n} = \frac{- 1}{n} & b_{n} = n^{2} & \lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = - \infty \\ a_{n} = \frac{1}{n} & b_{n} = n^{2} & \lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = + \infty \\ a_{n} = \frac{a}{n} & b_{n} = n & \lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a (gdzie a \in ℝ) \\ a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n} & b_{n} = n & {a_{n} \cdot b_{n}} nie ma granicy \end{array}

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 & \lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0 & \frac{0}{0} \\ a_{n} = \frac{- 1}{n} & b_{n} = \frac{1}{n^{2}} & \lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = - \infty \\ a_{n} = \frac{1}{n} & b_{n} = \frac{1}{n^{2}} & \lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = + \infty \\ a_{n} = \frac{a}{n} & b_{n} = \frac{1}{n} & \lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = a (gdzie a \in ℝ) \\ a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n} & b_{n} = \frac{1}{n} & {\frac{a_{n}}{b_{n}}} nie ma granicy \end{array}

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty & \lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty & \frac{\infty}{\infty} \\ a_{n} = n^{2} & b_{n} = n & \lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = + \infty \\ a_{n} = a n & b_{n} = n & \lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = a (gdzie a \in ℝ) \\ a_{n} = n + \frac{(- 1)^{n} n}{2} & b_{n} = n & {\frac{a_{n}}{b_{n}}} nie ma granicy \end{array}

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 1 & \lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty & 1^{\infty} \\ a_{n} = 1 + \frac{1}{n} & b_{n} = n^{2} & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = + \infty \\ a_{n} = 1 & b_{n} = n & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = 1 \\ a_{n} = 1 + \frac{1}{n} & b_{n} = n & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = e \\ a_{n} = 1 + \frac{1}{n} & b_{n} = n \ln a & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = a (gdzie a > 1) \\ a_{n} = 1 + \frac{(- 1)^{n}}{n} & b_{n} = n & {a_{n}^{b_{n}}} nie ma granicy \end{array}

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \infty & \lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0 & \infty^{0} \\ a_{n} = 2^{n^{2}} & b_{n} = \frac{1}{n} & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = + \infty \\ a_{n} = n & b_{n} = 0 & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = 1 \\ a_{n} = \frac{1}{a^{n}} & b_{n} = \frac{- 1}{n} & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = a (gdzie a \in (0, 1)) \\ a_{n} = a^{n} & b_{n} = \frac{1}{n} & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = a (gdzie a > 1) \\ a_{n} = (3 + (- 1)^{n})^{n} & b_{n} = \frac{1}{n} & {a_{n}^{b_{n}}} nie ma granicy \end{array}

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 & \lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0 & 0^{0} \\ a_{n} = \frac{1}{n} & b_{n} = \frac{1}{n} & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = 1 \\ a_{n} = 0 & b_{n} = \frac{1}{n} & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = 0 \\ a_{n} = a^{n} & b_{n} = \frac{1}{n} & \lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = a (gdzie a \in (0, 1)) \end{array}

Granice specjalne

Plik:AM1.M05.W.R01.svg

Rysunek do dowodu lematu 5.7.

W następnym lemacie podamy pewne nierówności liczbowe przydatne w następnym twierdzeniu.

Lemat 5.7.

Zachodzą następujące nierówności liczbowe:
(1) $\forall x \geq 0 : \sin x \leq x,$
(2) $\forall 0 < | x | < \frac{π}{2} : | \frac{\sin x}{x} - 1 | < x^{2} .$

Dowód 5.7. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Wobec rysunku znajdującego się obok mamy następujące nierówności między polami:

$P_{△ O A B} < P_{⊲ O A B} < P_{△ O A C},$

gdzie:
$P_{△ O A B}$ oznacza pole trójkąta $O A B,$
$P_{⊲ O A B}$ oznacza pole wycinka koła $O A B,$
$P_{△ O A C}$ oznacza pole trójkąta $O A C .$

Podstawiając wzory na poszczególne pola, dostajemy:

$\frac{1 \cdot \sin x}{2} < \frac{x}{2 π} \cdot π < \frac{1 \cdot t g x}{2} .$

Zatem

$\sin x < x < t g x dla 0 < x < \frac{π}{2} .$

Zatem dla $x \in (0, \frac{π}{2})$ nierówność (1) jest udowodniona. Zauważmy, że dla $x = 0$ zachodzi równość, natomiast dla $x > 1$ nierówność jest oczywista, gdyż $\sin x \leq 1 < x .$ Zatem pokazaliśmy nierówność (1) dla dowolnego $x \geq 0 .$
(Ad (2)) Powróćmy raz jeszcze do wyprowadzonych w pierwszej części nierówności

$\sin x < x < t g x dla 0 < x < \frac{π}{2} .$

Pierwsza z powyższych nierówności implikuje, że

$0 \leq 1 - \frac{\sin x}{x} .$

Druga z powyższych nierówności implikuje, że

$x \cos x \leq \frac{\sin x}{\cos x} \cos x$

$x \cos x \leq \sin x$

$1 - \frac{\sin x}{x} \leq 1 - \cos x .$

Zatem łącząc dwie otrzymane nierówności, dostajemy

0 \leq 1 - \frac{\sin x}{x} \leq 1 - \cos x,

przy czym

1 - \cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2} < 2 (\frac{x}{2})^{2} < x^{2}

(gdzie wykorzystaliśmy udowodnioną już nierówność $\sin x < x$ ). Zatem ostatecznie

0 \leq 1 - \frac{\sin x}{x} < x^{2},

skąd dostajemy dowodzoną nierówność

| \frac{\sin x}{x} - 1 | < x^{2} dla 0 < | x | < \frac{π}{2} .

Podamy teraz granice pewnych funkcji specjalnych. Znajomość tych granic będzie przydatna do rozwiązywania zadań.

Twierdzenie 5.8. [Granice specjalne]

(1)

\lim_{n \to + \infty} n^{p} = {\begin{cases} + \infty & p > 0, \\ 1 & p = 0, \\ 0 & p < 0; \end{cases}

(2) jeśli $a > 1$ oraz $α \geq 0,$ to $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{α}}{a^{n}} = 0$ ;

<flash>file=AM1.M05.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>