Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 3: Odległość i ciągi

3. Odległość i ciągi

Ćwiczenie 3.1.

Wykazać, że funkcje $d_{\mathrm{\infty }}$ i $d_1$ zdefiniowane na ${\mathbb{ℝ}}^N\times {\mathbb{ℝ}}^N$ jako

$\begin{array}{rlr}{d}_{\mathrm{\infty }}(x,y)& \stackrel{df}{=}& \underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-y_i|\text{dla}x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N,\\ d_1(x,y)& \stackrel{df}{=}& \sum _{i=1}^N|x_i-y_i|\text{dla}x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N\end{array}$

są metrykami (patrz przykład 3.5. i przykład 3.6.).

Wskazówka

Wszystkie trzy warunki definicji metryki są łatwe do sprawdzenia. W nierówności trójkąta należy wykorzystać nierówność dla wartości bezwzględnej w $\mathbb{ℝ}$ (to znaczy nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej w $\mathbb{ℝ}$).

Rozwiązanie

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_{\mathrm{\infty }}$:
Dla $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

$\begin{array}{rl}{d}_{\mathrm{\infty }}(x,y)=0& ⟺\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-y_i|=0⟺|x_1-y_1|=\dots =|x_N-y_N|=0\\ & ⟺[x_1=y_1,\dots ,x_N=y_N]⟺x=y.\end{array}$

Wobec tego, że $|a-b|=|b-a|$, dla $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

$d_{\mathrm{\infty }}(x,y)=\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-y_i|=\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|y_i-x_i|=d_{\mathrm{\infty }}(x,y)$

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Wobec tego, że $|a-b|\le |a-c|+|c-b|$, dla $x,y,z\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

$\begin{array}{rl}{d}_{\mathrm{\infty }}(x,z)& =\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-z_i|=\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-y_i+y_i-z_i|\le \underset{i=1,\dots ,N}{\max }(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|)\\ & \le \underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-y_i|+\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|y_i-z_i|=d_{\mathrm{\infty }}(x,y)+d_{\mathrm{\infty }}(y,z),\end{array}$

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem że $d_{\mathrm{\infty }}$ jest metryką w ${\mathbb{ℝ}}^N.$

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_1$:
Dla $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

$\begin{array}{rl}{d}_1(x,y)=0& ⟺\sum _{i=1}^N|x_i-y_i|=0⟺|x_1-y_1|=\dots =|x_N-y_N|=0\\ & ⟺[x_1=y_1,\dots ,x_N=y_N]⟺x=y.\end{array}$

Dla $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

$d_1(x,y)=\sum _{i=1}^N|x_i-y_i|=\sum _{i=1}^N|y_i-x_i|=d_1(x,y)$,

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Dla $x,y,z\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

$\begin{array}{rl}{d}_1(x,z)& =\sum _{i=1}^N|x_i-z_i|=\sum _{i=1}^N|x_i-y_i+y_i-z_i|\le \sum _{i=1}^N(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|)\\ & =\sum _{i=1}^N|x_i-y_i|+\sum _{i=1}^N|y_i-z_i|=d_1(x,y)+d_1(y,z),\end{array}$

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem, że $d_1$ jest metryką w ${\mathbb{ℝ}}^N.$

Plik:AM1.M03.C.R01.mp4

Odległość punktu od zbioru

Ćwiczenie 3.2.

Dla danej metryki $d$ w ${\mathbb{ℝ}}^N$ można zdefiniować odległość punktu $x$ od zbioru niepustego $A$ jako infimum wszystkich odległości między $x$ a punktami zbioru $A$, czyli

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,A)=\underset{z\in A}{\inf }d(x,z).$

Dany jest zbiór $A=[0,1]\times [0,1]\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ oraz dwa punkty $x=(2,3)$ oraz $y=(3,-2).$ Wyznaczyć
(a) odległość punktów $x$ i $y$;
(b) $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,A)$;

(c) kolejno w metrykach: euklidesowej $d_2$; taksówkowej $d_1$; maksimowej $d_{\mathrm{\infty }}.$

Wskazówka

Należy wykonać rysunek zbioru $A$ oraz wszystkich zadanych punktów w układzie współrzędnych. Przy liczeniu odległości punktów oraz odległości punktu od zbioru należy skorzystać z definicji poszczególnych metryk oraz rysunku.

Rozwiązanie

(1) Metryka euklidesowa $d_2$.

Plik:AM1.M03.C.R02.svg

Odległość euklidesowa

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

$\begin{array}{lll}{d}_2(x,y)& =& d_2((2,3),(3,-2))\\ & =& \sqrt{(2-3{)}^2+(3+2{)}^2}=\sqrt{26}.\end{array}$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z=(1,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$), zatem

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,A)=d_2((2,3),(1,1))=\sqrt{(2-1{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{5}.$

(2) Metryka taksówkowa $d_1$

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

$d_1(x,y)=d_1((2,3),(3,-2))=|2-3|+|3+2|=6.$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z=(1,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$), zatem

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,A)=d_1((2,3),(1,1))=|2-1|+|3-1|=3.$

(3) Metryka maksimowa $d_{\mathrm{\infty }}$

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

$d_{\mathrm{\infty }}(x,y)=d_{\mathrm{\infty }}((2,3),(3,-2))=\max \{|2-3|,|3+2|\}=5.$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana na przykład w punkcie $z=(0,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest niemniejsza, niż do $z$), zatem

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,A)=d_2((2,3),(0,1))=\max \{|2-0|,|3-1|\}=2.$

<flash>file=AM1.M03.C.R03.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość taksówkowa

<flash>file=AM1.M03.C.R04.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość maksimowa

Ćwiczenie 3.3.

Udowodnić, że dla każdego ciągu $\{x_n\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^N$ istnieje co najwyżej jedna granica, to znaczy:

$[\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_1\in {\mathbb{ℝ}}^N\text{i}\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_2\in {\mathbb{ℝ}}^N]⟹g_1=g_2.$

Wskazówka

Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać $\epsilon =\frac{1}{2}d(g_1,g_2)$ w definicji granicy ciągu.

Rozwiązanie

Plik:AM1.M03.C.R05.svg

Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.3, gdy $N=1$

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

$\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_1,\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_2\text{oraz}{g}_1\ne g_2.$

Niech $\epsilon =\frac{1}{2}d(g_1,g_2).$ Wówczas $\epsilon >0$ (gdyż założyliśmy, że $g_1\ne g_2$). Z definicji granicy ciągu wynika, że

$\begin{array}{rlr}\mathrm{\exists }{N}_1\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N_1:& & d(x_n,g_1)<\epsilon ,\\ \mathrm{\exists }{N}_2\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N_2:& & d(x_n,g_2)<\epsilon .\end{array}$

Niech $N=\max \{N_1,N_2\}.$ Wówczas dla wyrazu $x_N$ mamy:

$d(g_1,g_2)\le d(g_1,x_N)+d(x_N,g_2)<\epsilon +\epsilon =2\epsilon$

sprzeczność. Zatem $g_1=g_2.$

<flash>file=AM1.M03.C.R06.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.3, gdy $N=2$

Ćwiczenie 3.4.

Udowodnić, że jeśli ciąg $\{x_n\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^N$ jest zbieżny, to jest ograniczony.

Wskazówka

Zastosować definicję granicy z ustalonym $\epsilon >0$ (na przykład $\epsilon =1$) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest ograniczony.

Rozwiązanie

Załóżmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g.$ Ustalmy $\epsilon =1.$ Z definicji granicy ciągu mamy

$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:d(x_n,g)<1$

(to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od $N$-tego leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony). Niech teraz

$R=\max \{d(x_1,g),d(x_2,g),\dots ,d(x_N,g)\}+1.$

Wówczas $d(x_n,g)<R$ dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}},$ czyli

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:x_n\in K(g,R),$

<flash>file=AM1.M03.C.R07.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.4.

a to oznacza, że ciąg $\{x_n\}$ jest ograniczony.

Ćwiczenie 3.5.

(1) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w $\mathbb{ℝ}$ takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.
(2) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w $\mathbb{ℝ}$ takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.

Wskazówka

(1) Rozważyć zstępującą rodzinę przedziałów otwartych (to znaczy rodzinę zbiorów otwartych, z których każdy następny jest zawarty w poprzednim).
(2) Rozważyć wstępującą rodzinę przedziałów domkniętych (to znaczy rodzinę zbiorów domkniętych, z których każdy następny zawiera poprzedni).

Rozwiązanie

(1) Rozważmy przedziały otwarte $U_n=(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$ Wówczas

$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n=[0,1],$

oraz przedział $[0,1]$ nie jest zbiorem otwartym.

(2) Rozważmy przedziały domknięte $F_n=[\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}].$ Wówczas

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n=(0,2),$

oraz przedział $(0,2)$ nie jest zbiorem domkniętym.

Ćwiczenie 3.6.

Zbadać, czy ciąg $\{x_n\}\subseteq \mathbb{(}{R}^2,d_2)$ gdzie $x_n=\{\frac{2+n}{n},n\},$ spełnia warunek Cauchy'ego.

Wskazówka

Zbadać odległość dwóch kolejnych wyrazów ciągu $x_n$ i $x_{n+1}$ dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$d_2(x_n,x_{n+1})=\sqrt{\underset{\ge 0}{\underbrace{(\frac{2+n+1}{n+1}-\frac{2+n}{n}{)}^2}}+(\underset{=1}{\underbrace{n+1-n}}{)}^2}\ge 1,$

a zatem ciąg ten nie spełnia warunku Cauchy'ego, gdyż dla dowolnie dużego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ odległości między kolejnymi wyrazami ciągu są stale większe od $1.$