Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 13: Całka nieoznaczona: Różnice pomiędzy wersjami

← poprzednia edycja następna edycja →

WizualnieWikikod

Wersja z 12:51, 9 cze 2020

13. Całka nieoznaczona

Ćwiczenie 13.1.

Obliczyć całki: $\int \cos^{2} x d x$ i $\int \sin^{2} x d x .$

Wskazówka

Zauważyć, że $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ oraz $c o s^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2 x .$

Rozwiązanie

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, możemy policzyć całki z sumy oraz z różnicy funkcji $\sin^{2} x$ i $\cos^{2} x,$ a mianowicie:

\begin{aligned} \int \sin^{2} x d x + \int \cos^{2} x d x & = & \int (\sin^{2} x + \cos^{2} x) d x & = & \int 1 d x = x + c_{1}, \\ \int \cos^{2} x d x - \int \sin^{2} x d x & = & \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) d x & = & \int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + c_{2} . \end{aligned}

Dodając stronami powyższe równania i dzieląc przez 2, mamy

\int \cos^{2} x d x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + c_{3},

natomiast odejmując stronami i dzieląc przez 2, dostajemy

\int \sin^{2} x d x = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + c_{4} .

Ćwiczenie 13.2.

Obliczyć całki:
(1) $\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x,$ gdzie $f \in C^{1} (ℝ),$
(2) $\int (f (x))^{α} f^{'} (x) d x,$ gdzie $f \in C^{1} (ℝ)$ oraz $α \in ℝ .$

Wskazówka

(1)-(2) Pierwotną łatwo odgadnąć. Można też zastosować podstawienie $f (x) = u .$

Rozwiązanie

(1) Obliczamy całkę, stosując podstawienie $f (x) = u .$

\begin{array}{lll} \int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x & = & | \begin{array}{rcl} f (x) & = & u, \\ f^{'} (x) d x & = & d u \end{array} | = \int \frac{d u}{u} \\ = & \ln | u | + c = \ln | f (x) | + c . \end{array}

(2) Zauważmy, że przypadek $α = - 1$ był rozwiązany w punkcie (1). Możemy więc założyć, że $α \neq - 1 .$ Obliczamy całkę, stosując podstawienie $f (x) = u .$

\int (f (x))^{α} f^{'} (x) d x = | \begin{array}{rcl} f (x) & = & u, \\ f^{'} (x) d x & = & d u \end{array} | = \int u^{α} d u = \frac{1}{α + 1} u^{α + 1} + c = \frac{1}{α + 1} (f (x))^{α + 1} + c .

Ćwiczenie 13.3.

Obliczyć następujące całki z funkcji wymiernych:
(1) $\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 7} d x,$
(2) $\int \frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} d x .$

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

I = \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 7} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x - 7} d x = \frac{1}{2} \int \frac{(x^{2} + 2 x - 7)^{'}}{x^{2} + 2 x - 7} d x,

zatem możemy skorzystać z ćwiczenia 13.2. (1), otrzymując

I = \ln | x^{2} + 2 x - 7 | + c .

(2) Ponieważ $8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1 = (2 x + 1)^{3} = 2 (x + \frac{1}{2})^{3},$ więc zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie wyrażenia wymiernego na ułamki proste (patrz twierdzenie 13.18.), szukamy rozkładu w postaci

\frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} = \frac{A}{x + \frac{1}{2}} + \frac{B}{(x + \frac{1}{2})^{2}} + \frac{C}{(x + \frac{1}{2})^{3}} = \frac{2 A}{2 x + 1} + \frac{4 B}{(2 x + 1)^{2}} + \frac{8 C}{(2 x + 1)^{3}} .

Mnożąc obustronnie przez wspólny mianownik $(2 x + 1)^{3}$ , otrzymujemy

4 - 4 x^{2} = 2 A (2 x + 1)^{2} + 4 B (2 x + 1) + 8 C .

Ponieważ powyższa równość zachodzi dla dowolnego $x \in ℝ$ (jest to równość dwóch wielomianów), zatem podstawiając $x = - \frac{1}{2}$ , otrzymujemy $C = \frac{3}{8} .$ Podstawiając to $C$ do równania, mamy

4 - 4 x^{2} = 2 A (2 x + 1)^{2} + 4 B (2 x + 1) + 3,

skąd

1 - 4 x^{2} = 2 A (2 x + 1)^{2} + 4 B (2 x + 1)

oraz

(1 - 2 x) (1 + 2 x) = 2 A (2 x + 1)^{2} + 4 B (2 x + 1) .

Dzieląc stronami przez $(2 x + 1)$ , otrzymujemy

1 - 2 x = 2 A (2 x + 1) + 4 B .

Ponownie wstawiając $x = - \frac{1}{2},$ obliczamy $B = \frac{1}{2} .$ Wstawiając obliczone $B$ do powyższej równości, mamy

1 - 2 x = 2 A (2 x + 1) + 2,

skąd

- 1 - 2 x = 2 A (2 x + 1),

dzieląc stronami przez $(2 x + 1)$ , dostajemy $A = - \frac{1}{2} .$ Zatem szukanym rozkładem jest

\frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{x + \frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{2}}{(x + \frac{1}{2})^{2}} + \frac{\frac{3}{8}}{(x + \frac{1}{2})^{3}} .

Możemy teraz obliczyć całkę

\begin{aligned} \int \frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} d x & = & \int \frac{- \frac{1}{2}}{x + \frac{1}{2}} d x + \int \frac{\frac{1}{2}}{(x + \frac{1}{2})^{2}} d x + \int \frac{\frac{3}{8}}{(x + \frac{1}{2})^{3}} d x \\ = & - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + \frac{1}{2}} d x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^{2}} d x + \frac{3}{8} \int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^{3}} d x \\ = & - \frac{1}{2} \ln | x + \frac{1}{2} | - \frac{1}{2} \frac{1}{x + \frac{1}{2}} - \frac{3}{16} \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^{2}} + c \\ = & - \frac{1}{2} \ln | 2 x + 1 | - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{3}{4 (2 x + 1)^{2}} + c_{1}, \end{aligned}

W ostatniej równości dla uzyskania bardziej eleganckiego wyniku zastąpiliśmy stałą $C$ przez nową stałą $C_{1} = C + \frac{1}{2} \ln 2,$ gdyż zamiast $- \frac{1}{2} \ln | x + \frac{1}{2} | + c$ napisaliśmy

- \frac{1}{2} \ln | x + \frac{1}{2} | - \frac{1}{2} \ln 2 + \underset{= c_{1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \ln 2 + c}} = - \frac{1}{2} \ln | 2 x + 1 | + c_{1} .

Ćwiczenie 13.4.

(1) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na obliczanie całki $I_{n} = \int \frac{d x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ dla $n = 1, 2, \dots .$ Wypisać wzory na $I_{1}, I_{2}, I_{3} .$
(2) Sprowadzić obliczanie całki z ułamka prostego postaci $\frac{b x + c}{(x^{2} + B x + C)^{k}}$ (gdzie $B^{2} - 4 C < 0$ ) do całki z punktu (1).

Wskazówka

(1) Dla $n = 1$ całka jest nam znana. Dla $n \geq 2$ przekształcić całkę w następujący sposób

I_{n} = \int \frac{d x}{(x^{2} + 1)^{n}} = \int \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{n}} d x = \underset{= I_{n - 1}}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{(x^{2} + 1)^{n - 1}} d x}} - \int \frac{x^{2}}{(x^{2} + 1)^{n}} d x .

Ostatni składnik policzyć, całkując przez części, traktując funkcję podcałkową jako iloczyn $x \cdot \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}} .$
(2) Najpierw rozłożyć ułamek na sumę dwóch ułamków: pierwszego, którego licznik jest pochodną trójmianu z mianownika $x^{2} + B x + C$ i drugiego, którego licznik jest stały. Do obliczenia całki z pierwszego ułamka wykorzystać ćwiczenie 13.2. (a). Obliczenie całki z drugiego z ułamków sprowadzić do punktu (1).

Rozwiązanie

(1) Dla $n = 1$ całka wynosi

\int \frac{d x}{x^{2} + 1} = a r c t g x + c .

Dla $n \geq 2$ przekształcamy całkę w następujący sposób

I_{n} = \int \frac{d x}{(x^{2} + 1)^{n}} = \int \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{n}} d x = \underset{= I_{n - 1}}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{(x^{2} + 1)^{n - 1}} d x}} - \underset{= J_{n}}{\underset{⏟}{\int \frac{x^{2}}{(x^{2} + 1)^{n}} d x}} .

Policzmy osobno ostatni składnik $J_{n} = x \cdot \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ przez części. W tym celu wyznaczmy najpierw pierwotną funkcji $\frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ przez podstawienie:

\int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}} d x = | \begin{array}{rcl} x^{2} + 1 & = & t \\ x d x & = & \frac{1}{2} d t \end{array} | = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{n}} = \frac{1}{2} \frac{t^{- n + 1}}{- n + 1} + c = \frac{- 1}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} + c .

Powróćmy teraz do wyliczenia całki $J_{n}$ :

\begin{aligned} J_{n} & = | \begin{array}{rclrcl} f (x) & = & x & f^{'} (x) & = & 1 \\ g^{'} (x) & = & \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}} & g (x) & = & \frac{- 1}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} \end{array} | \\ = x \cdot \frac{- 1}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} - \int \frac{- d x}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} = \frac{- x}{(2 n - 2) (x^{2} - 1)^{n - 1}} + \frac{1}{2 n - 2} I_{n - 1} . \end{aligned}

Wstawiając otrzymany wynik do wzoru na $I_{n}$ , dostajemy

I_{n} = I_{n - 1} + \frac{x}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} - \frac{1}{2 n - 2} I_{n - 1} = \frac{1}{2 n - 2} \cdot \frac{x}{(x^{2} - 1)^{n - 1}} + \frac{2 n - 3}{2 n - 2} I_{n - 1} .

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {rcl} I_1 & =& \mathrm{arctg}\, x+c\\ I_2 & = &\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\, x+c\\ I_3 & = &\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^2} +\frac{3}{8}\cdot\frac{x}{x^2+1} +\frac{3}{8}\mathrm{arctg}\, x+c\\ & \vdots & \\ I_n & =&\displaystyle \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2-1)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}\quad\text{dla}\ n=2,3,4 \end{array} . }

(2) Zapiszmy

\int \frac{b x + c}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x = \frac{b}{2} \cdot \underset{= K_{1}}{\underset{⏟}{\int \frac{2 x + B}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x}} + (- \frac{b B}{2} + C) \underset{= K_{2}}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x}} .

Całkę $K_{1}$ znamy już z ćwiczenia 13.2., a mianowicie:

K_{1} = \int \frac{2 x + B}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x = {\begin{cases} \ln (x^{2} + B x + C) + c_{1} & dla & n = 1 \\ \frac{- 1}{n - 1} \cdot \frac{1}{(x^{2} + B x + C)^{n - 1}} + c_{1} & dla & n \geq 1 . \end{cases}

Całkę $K_{2}$ sprowadzimy do całki z punktu (1) przez odpowiednie podstawienie

\begin{aligned} K_{2} & = & \int \frac{1}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x = \int \frac{d x}{[(x + \frac{B}{2})^{2} + \underset{= S}{\underset{⏟}{\frac{4 C - B^{2}}{4}}}]^{n}} = \frac{1}{S^{n}} \int \frac{d x}{[(\frac{x + \frac{B}{2}}{\sqrt{S}})^{2} + 1]^{n}} \\ = & | \begin{array}{rcl} \frac{x + \frac{B}{2}}{\sqrt{S}} & = & t \\ d x & = & \sqrt{S} d t \end{array} | = \frac{\sqrt{S}}{S^{n}} \int \frac{d t}{(1 + t)^{n}} . \end{aligned}

Ćwiczenie 13.5.

Obliczyć całkę $\int \frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} d x .$

Wskazówka

Rozwiązanie

Ponieważ stopień mianownika nie jest większy od stopnia licznika, więc musimy najpierw wydzielić wielomiany w liczniku i mianowniku. Następnie dokonujemy rozkładu na ułamki proste. Było to już zrobione na wykładzie (patrz przykład 13.19.). Mamy

\frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} = x + \frac{x}{x^{2} + 2 x + 3} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} .

Zatem nasza całka wynosi

\int \frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} d x = \int x d x + \underset{= K_{1}}{\underset{⏟}{\int \frac{x}{x^{2} + 2 x + 3} d x}} + \underset{= K_{2}}{\underset{⏟}{\int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x}}

Policzmy każdą z całek osobno według metody opisanej z ćwiczenie 13.3.

K_{1} = \underset{L_{1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 3} d x}} - \underset{L_{2}}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 3} d x}} .

Teraz z kolei mamy

L_{1} = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 2 x + 3) + c_{1}

oraz

\begin{aligned} L_{2} & = & \int \frac{1}{(x + 1)^{2} + 2} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{x + 1}{\sqrt{2}})^{2} + 1} d x = | \begin{array}{lll} \frac{x + 1}{\sqrt{2}} & = & t \\ d x & = & \sqrt{2} d t \end{array} | \\ = & \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{d t}{t^{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} a r c t g \frac{x + 1}{\sqrt{2}} + c_{2}, \end{aligned}

zatem

K_{1} = \ln (x^{2} + 2 x + 3) + \frac{\sqrt{2}}{2} a r c t g \frac{x + 1}{\sqrt{2}} + c_{3} .

Przechodząc do drugiej z całek, mamy

K_{2} = \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 2 x + 3) + c_{4}

Ostatecznie dostajemy, że

\int \frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 2 x + 3) - \frac{\sqrt{2}}{2} a r c t g \frac{x + 1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 2 x + 3) + c_{5} .

Ćwiczenie 13.6.

Obliczyć całki:
(1) $\int \frac{1 + 4 x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} d x,$
(2) $\int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x .$

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Z metody współczynników nieoznaczonych wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

\int \frac{1 + 4 x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} d x = a \sqrt{4 x^{2} + x} + k \int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} .

Aby wyznaczyć $a$ i $k,$ różniczkujemy stronami i dostajemy:

\frac{1 + 4 x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} = \frac{a (8 x + 1)}{2 \sqrt{4 x^{2} + x}} + \frac{k}{\sqrt{4 x^{2} + x}},

a mnożąc stronami przez $\sqrt{4 x^{2} + x},$ dostajemy:

1 + 4 x = 4 a x + \frac{1}{2} a + k,

stąd $a = 1$ i $k = \frac{1}{2} .$ Ponadto obliczamy całkę

\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} & = & \int \frac{d x}{\sqrt{(2 x + \frac{1}{4})^{2} - \frac{1}{16}}} = | \begin{array}{rcl} 2 x + \frac{1}{4} & = & t \\ d x & = & \frac{1}{2} d t \end{array} | = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t^{2} - \frac{1}{16}}} \\ = & \frac{1}{2} \ln | t + \sqrt{t^{2} - \frac{1}{16}} | + c = \frac{1}{2} \ln | 2 x + \frac{1}{4} + \sqrt{4 x^{2} + x} | + c . \end{aligned}

(2) Ponieważ

\int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x = \int \frac{1 + 4 x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d x,

więc możemy policzyć ostatnią całkę metodą współczynników nieoznaczonych. Wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

\int \frac{1 + 4 x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d x = (a x + b) \sqrt{1 + 4 x^{2}} + k \int \frac{d x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} .

Aby wyznaczyć $a, b$ i $k,$ różniczkujemy stronami i dostajemy:

\frac{1 + 4 x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} = a \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \frac{(a x + b) \cdot 8 x}{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}}} + \frac{k}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}},

a mnożąc stronami przez $\sqrt{1 + 4 x^{2}},$ dostajemy:

1 + 4 x^{2} = a (1 + 4 x^{2}) + 4 a x^{2} + 4 b x + k,

stąd $a = \frac{1}{2}, b = 0$ i $k = \frac{1}{2} .$ Ponadto obliczamy całkę

\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} & = & | \begin{array}{rcl} 2 x & = & t \\ d x & = & \frac{1}{2} d t \end{array} | = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t^{2} + 1}} \\ = & \frac{1}{2} \ln | t + \sqrt{t^{2} + 1} | + c = \frac{1}{2} \ln | 2 x + \sqrt{1 + 4 x^{2}} | + c . \end{aligned}

Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 13: Całka nieoznaczona: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 12:51, 9 cze 2020

13. Całka nieoznaczona

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 33: / Linia 33: @@
 & =&\displaystyle
 \int \cos 2x\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\sin 2x+c_2.
 \end{array}</math></center>
@@ Linia 41: / Linia 41: @@
 <center><math> \displaystyle \int \cos^2x\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+c_3,
 </math></center>
@@ Linia 48: / Linia 48: @@
 <center><math> \displaystyle \int \sin^2x\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+c_4.
 </math></center>
@@ Linia 84: / Linia 84: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \int\frac{du}{u}\\\\
 &=& \displaystyle\ln|u|+c
-\ =\
+=
 \ln \big|f(x)\big|+c.
 \end{array}</math></center>
@@ Linia 98: / Linia 98: @@
 <center><math> \displaystyle \int\big(f(x)\big)^{\alpha}f'(x)\,dx
-\ =\
+=
 \left|
 \begin{array} {rcl}
@@ Linia 105: / Linia 105: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \int u^{\alpha}\,du
-\ =\
+=
 \frac{1}{\alpha+1}u^{\alpha+1}+c
-\ =\
+=
 \frac{1}{\alpha+1}\big(f(x)\big)^{\alpha+1}+c.
 </math></center>
@@ Linia 140: / Linia 140: @@
 <center><math> \displaystyle I
-\ =\
+=
 \int\frac{x+1}{x^2+2x-7}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x-7}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{(x^2+2x-7)'}{x^2+2x-7}\,dx,
 </math></center>
@@ Linia 152: / Linia 152: @@
 <center><math> \displaystyle I
-\ =\
+=
 \ln\big|x^2+2x-7\big|+c.
 </math></center>
@@ Linia 165: / Linia 165: @@
 <center><math> \displaystyle \frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}
-\ =\
+=
 \frac{A}{x+\frac{1}{2}}
 +\frac{B}{(x+\frac{1}{2})^2}
 +\frac{C}{(x+\frac{1}{2})^3}
-\ =\
+=
 \frac{2A}{2x+1}
 +\frac{4B}{(2x+1)^2}
@@ Linia 179: / Linia 179: @@
 <center><math> \displaystyle 4-4x^2
-\ =\
+=
 A(2x+1)^2
 +4B(2x+1)
@@ Linia 193: / Linia 193: @@
 <center><math> \displaystyle 4-4x^2
-\ =\
+=
 A(2x+1)^2
 +4B(2x+1)
@@ Linia 202: / Linia 202: @@
 <center><math> \displaystyle 1-4x^2
-\ =\
+=
 A(2x+1)^2
 +4B(2x+1)
@@ Linia 210: / Linia 210: @@
 <center><math> \displaystyle (1-2x)(1+2x)
-\ =\
+=
 A(2x+1)^2
 +4B(2x+1).
@@ Linia 218: / Linia 218: @@
 <center><math> \displaystyle 1-2x
-\ =\
+=
 A(2x+1)
 +4B.
@@ Linia 228: / Linia 228: @@
 <center><math> \displaystyle 1-2x
-\ =\
+=
 A(2x+1)
 +2,
@@ Linia 236: / Linia 236: @@
 <center><math> \displaystyle -1-2x
-\ =\
+=
 A(2x+1),
 </math></center>
@@ Linia 245: / Linia 245: @@
 <center><math> \displaystyle \frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}
-\ =\
+=
 \frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}
 +\frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2}
@@ Linia 282: / Linia 282: @@
 <center><math> \displaystyle -\frac{1}{2}\ln\bigg|x+\frac{1}{2}\bigg|-\frac{1}{2}\ln 2+
 \underbrace{\frac{1}{2}\ln 2+c}_{=c_1}
-\ =\
+=
 -\frac{1}{2}\ln\big|2x+1\big|+c_1.
 </math></center>
@@ Linia 311: / Linia 311: @@
 <center><math> \displaystyle I_n
-\ =\
+=
 \int\frac{dx}{(x^2+1)^n}
-\ =\
+=
 \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\,dx}_{=I_{n-1}}
 -\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx.
@@ Linia 338: / Linia 338: @@
 <center><math> \displaystyle \int\frac{dx}{x^2+1}
-\ =\
+=
 \mathrm{arctg}\, x+c.
 </math></center>
@@ Linia 345: / Linia 345: @@
 <center><math> \displaystyle I_n
-\ =\
+=
 \int\frac{dx}{(x^2+1)^n}
-\ =\
+=
 \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\,dx}_{=I_{n-1}}
 -\underbrace{\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx}_{=J_n}.
@@ Linia 361: / Linia 361: @@
 <center><math> \displaystyle \int\frac{x}{(x^2+1)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \left|
 \begin{array} {rcl}
@@ Linia 368: / Linia 368: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^n}
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\frac{t^{-n+1}}{-n+1}+c
-\ =\
+=
 \frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}+c.
 </math></center>
@@ Linia 390: / Linia 390: @@
 x\cdot\frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}
 -\int\frac{-dx}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}
-\ =\
+=
 \frac{-x}{(2n-2)(x^2-1)^{n-1}}
 +\frac{1}{2n-2}I_{n-1}.
@@ Linia 399: / Linia 399: @@
 <center><math> \displaystyle I_n
-\ =\
+=
 I_{n-1}
 +\frac{x}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}
 -\frac{1}{2n-2}I_{n-1}
-\ =\
+=
 \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2-1)^{n-1}}
 +\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}.
@@ Linia 433: / Linia 433: @@
 <center><math> \displaystyle \int\frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{b}{2}\cdot
 \underbrace{\int\frac{2x+B}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx}_{=K_1}
@@ Linia 445: / Linia 445: @@
 <center><math> \displaystyle K_1
-\ =\
+=
 \int \frac{2x+B}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \left\{
 \begin{array} {lll}
@@ Linia 465: / Linia 465: @@
 & = &
 \int\frac{1}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \int\frac{dx}{\displaystyle\bigg[\bigg(x+\frac{B}{2}\bigg)^2+\underbrace{\frac{4C-B^2}{4}}_{=S}\bigg]^n}
-\ =\
+=
 \frac{1}{S^n}
 \int\frac{dx}{\displaystyle\bigg[\bigg(\frac{x+\frac{B}{2}}{\sqrt{S}}\bigg)^2+1\bigg]^n}\\
@@ Linia 478: / Linia 478: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \frac{\sqrt{S}}{S^n}\int\frac{dt}{(1+t)^n}.
 \end{align}</math></center>
@@ Linia 512: / Linia 512: @@
 <center><math> \displaystyle \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}
-\ =\
+=
 x+
 \frac{x}{x^2+2x+3}+\frac{x-1}{x^2-2x+3}.
@@ Linia 520: / Linia 520: @@
 <center><math> \displaystyle \int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx
-\ =\
+=
 \int x\,dx
 +
@@ Linia 531: / Linia 531: @@
 <center><math> \displaystyle K_1
-\ =\
+=
 \underbrace{\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_1}
 -\underbrace{\int\frac{1}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_2}.
@@ Linia 539: / Linia 539: @@
 <center><math> \displaystyle L_1
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\ln\big(x^2+2x+3\big)+c_1
 </math></center>
@@ Linia 549: / Linia 549: @@
 & = &
 \int\frac{1}{(x+1)^2+2}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{1}{\displaystyle\bigg(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\bigg)^2+1}\,dx
-\ =\
+=
 \left|
 \begin{array} {lll}
@@ Linia 561: / Linia 561: @@
 & = &
 \frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dt}{t^2+1}
-\ =\
+=
 \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c_2,
 \end{align}</math></center>
@@ Linia 568: / Linia 568: @@
 <center><math> \displaystyle K_1
-\ =\
+=
 \ln\big(x^2+2x+3\big)
 +
@@ Linia 577: / Linia 577: @@
 <center><math> \displaystyle K_2
-\ =\
+=
 \int\frac{x-1}{x^2-2x+3}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^2-2x+3}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\ln\big(x^2-2x+3\big)+c_4
 </math></center>
@@ Linia 588: / Linia 588: @@
 <center><math> \displaystyle \int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}x^2
 +
@@ Linia 620: / Linia 620: @@
 <center><math> \displaystyle \int\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}\,dx
-\ =\
+=
 a\sqrt{4x^2+x}
 +k
@@ Linia 630: / Linia 630: @@
 <center><math> \displaystyle \frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}
-\ =\
+=
 \frac{a(8x+1)}{2\sqrt{4x^2+x}}
 +\frac{k}{\sqrt{4x^2+x}},
@@ Linia 638: / Linia 638: @@
 <center><math> \displaystyle 1+4x
-\ =\
+=
 ax+\frac{1}{2}a+k,
 </math></center>
@@ Linia 648: / Linia 648: @@
 & = &
 \int\frac{dx}{\sqrt{(2x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}}}
-\ =\
+=
 \left|
 \begin{array} {rcl}
@@ Linia 655: / Linia 655: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}}\\
 & = &
 \frac{1}{2}
 \ln\left|t+\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}\right|+c
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}
 \ln\left|2x+\frac{1}{4}+\sqrt{4x^2+x}\right|+c.
@@ Linia 669: / Linia 669: @@
 <center><math> \displaystyle \int\sqrt{1+4x^2}\,dx
-\ =\
+=
 \int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx,
 </math></center>
@@ Linia 678: / Linia 678: @@
 <center><math> \displaystyle \int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx
-\ =\
+=
 (ax+b)\sqrt{1+4x^2}
 +k
@@ Linia 688: / Linia 688: @@
 <center><math> \displaystyle \frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}
-\ =\
+=
 a\sqrt{1+4x^2}
 +\frac{(ax+b)\cdot 8x}{2\sqrt{1+4x^2}}
@@ Linia 697: / Linia 697: @@
 <center><math> \displaystyle 1+4x^2
-\ =\
+=
 a(1+4x^2)
 +4ax^2+4bx+k,
@@ Linia 713: / Linia 713: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\\
 & = &
 \frac{1}{2}
 \ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+c
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}
 \ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right|+c.