Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 12:30, 29 sie 2006

Ciągi liczbowe

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R01

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w $ℝ,$ twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w $ℝ$ (to znaczy w zbiorze liczbowym $ℝ$ traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko ${x_{n}} \subseteq ℝ .$

========

Ponieważ w zbiorze liczbowym $ℝ$ mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

Definicja 4.2.

(1) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest malejący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \geq a_{n + 1} .$

(2) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie malejący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} > a_{n + 1} .$

(3) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rosnący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq a_{n + 1} .$

(4) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie rosnący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} < a_{n + 1} .$

(5) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.

========

<flash>file=AM1.M04.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R02

<flash>file=AM1.M04.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R03

<flash>file=AM1.M04.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R04

<flash>file=AM1.M04.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R05

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R06

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy $ℝ$ jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja 4.3.

(1) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : | a_{n} | \leq M .$
(2) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony z dołu, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \geq M .$
(3) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony z góry, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \leq M .$

========

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w $ℝ$ ]

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem to ${a_{n}}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy ${a_{n}}$ jest ograniczony z dołu i z góry.

========

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w $ℝ$ mamy metrykę euklidesową.

Definicja 4.5.

(1) Mówimy, że liczba $g$ jest granicą ciągu ${x_{n}} \subseteq ℝ,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-g|<\varepsilon }

i piszemy

\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g lub x_{n} \overset{ℝ}{=} = = = = = = = ⟶ g lub x_{n} \to_{n \to + \infty}^{} g lub x_{n} ⟶ g .

(2) Mówimy, że ciąg ${x_{n}}$ jest zbieżny, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists g\in \mathbb{R}:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g. }

========

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

Definicja 4.6. [Uzupelnij]

(1) Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma granicę niewłaściwą $+ \infty,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\ge M. }

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rozbieżny do $+ \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty .$
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma granicę niewłaściwą $- \infty,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\le M. }

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rozbieżny do $- \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = - \infty .$

========

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R07

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R08

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element $ℝ$ (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do $+ \infty$ lub $- \infty .$ O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera)]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ${b_{n}}$ jest ograniczony, to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0 .$

========

Dowód 4.7.

Niech $M > 0$ będzie stałą ograniczającą ciąg ${b_{n}}$ (która istnieje z założenia), to znaczy

\forall n \in ℕ : | b_{n} | \leq M .

Ustalmy $ε > 0 .$ Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,$ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}. }

Zatem dla $n \geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |a_nb_n| \le\ \frac{\varepsilon}{M}\cdot M \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $ε > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\ |a_nb_n|\le\varepsilon, }

czyli udowodniliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0 .$

========

Przykład 4.8.

Obliczyć granicę $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

========

Rozwiązanie

Jeśli zdefiniujemy $a_{n} = \frac{1}{n}$ oraz $b_{n} = \sin n$ dla $n \in ℕ$ , to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ciąg ${b_{n}}$ jest ograniczony, gdyż

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ |\sin n| \ \le\ 1. }

Zatem z twierdzenia 4.7. wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n} = \lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz $c \in ℝ,$ to
(1) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \lim_{n \to + \infty} a_{n} \pm \lim_{n \to + \infty} b_{n}$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} (c \cdot a_{n}) = c \cdot \lim_{n \to + \infty} a_{n}$ ;
(3) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} b_{n}) = (\lim_{n \to + \infty} a_{n}) (\lim_{n \to + \infty} b_{n})$ ;
(4) $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to + \infty} a_{n}}{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile $b_{n} \neq 0$ dla $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} \neq 0$ );
(5) $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b^{n}} = (\lim_{n \to + \infty} a_{n})^{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a ⟹ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = | a |$ ;
(7) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 ⟺ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0 .$

========

Dowód 4.9.

(Ad 1) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b .$ Pokażemy, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b .$
W tym celu ustalmy $ε > 0 .$ Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ wiemy, że

\exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{ε}{2}

oraz

\exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} .

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}} .$ Wówczas dla dowolnego $n \geq N,$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \le |a_n-a|+|b_n-b| \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}:\ \big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \ <\ \varepsilon, }

czyli $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b .$
Analogicznie pokazuje się, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b .$
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

========

Przykład 4.10.

Obliczyć granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}}$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{2^{n}}} = = = = = = = =$

========

Rozwiązanie

(Ad (1)) Niech $a_{n} = (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}} .$ Policzmy najpierw granice modułów:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n| & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n+1}{3n^2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2n}{3n^2}+\frac{1}{3n^2}\bigg) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\bigg)\\ & = & \frac{2}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}+ \frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n} \ =\ \frac{2}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0\cdot 0 \ =\ 0. \endaligned}

W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic (patrz twierdzenie 4.9.(1)--(3)) oraz ze znajomości granicy $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}$ (patrz przykład 3.21.). Ponieważ otrzymaliśmy $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0,$ więc korzystając z twierdzenie 4.9. (7) wnioskujemy, że także $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 .$

(Ad (2)) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ 2 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2^n} \ =\ 0 }

(patrz przykład 3.22.), zatem korzystając z twierdzenia 4.9. (5) dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}======== \ =\ 2^0 \ =\ 1. }

<flash>file=AM1.M04.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R09

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu ${b_{n}}$ leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę $g$ (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg ${b_{n}}$ ma tę samą granicę $g .$

Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g \in \overline{ℝ} = = = = = = = = oraz

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n},

to $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g .$

========

Dowód 4.11.

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy $g \in ℝ$ . Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g$ oraz $\exists N \in N \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} .$ Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g .$ W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji granicy ciągu, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|<\varepsilon,\\ && \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |c_n-g|<\varepsilon. \endaligned}

Niech $N_{3} = \max {N, N_{1}, N_{2}} .$ Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N_3:\ g-\varepsilon\ <\ a_n \ \le\ b_n\ \le\ c_n\ <\ g+\varepsilon, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N_3:\ |b_n-g|<\varepsilon, }

co dowodzi, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g .$

========

Przykład 4.12.

Obliczyć granicę ciągu $\lim_{n \to + \infty} [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} .$

========

Rozwiązanie

Niech $x_{n} = [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} .$

Zauważmy, że $x_{n} = y_{n} b_{n},$ gdzie $y_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ oraz $b_{n} = \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} .$ W celu obliczenia $\lim_{n \to + \infty} b_{n}$ zauważmy, że

\frac{3 n^{2}}{4 n^{4} + 3 n^{4} + n^{4}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n^{2}}{4 n^{4}}

\frac{3 n^{2}}{8 n^{4}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{5 n^{2}}{4 n^{4}}

\frac{3}{8} \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}}

granica ciągu $\frac{3}{8} \frac{1}{n^{2}}$ oraz $\frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}}$ wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{n^2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n} \ =\ \frac{3}{8}\cdot 0\cdot 0 \ =\ 0 }

i podobnie $\lim_{n \to + \infty} \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}} = 0 .$

Teraz korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0 .$

Odnośnie ciągu ${y_{n}}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ 1 \ \le\ y_n \ \le\ 3, }

a zatem ciąg ${y_{n}}$ jest ograniczony.

W końcu korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy

\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0 .

Kolejne twierdzenie mówi w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu ${b_{n}}$ są większe lub równe od wyrazów ciągu ${a_{n}}$ to nierówność ta zachowuje się w granicy. Na odwrót, jeśli granica ciągu ${b_{n}}$ jest silnie większa od granicy ciągu ${a_{n}}$ , to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ , przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ} = = = = = = = =$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ} = = = = = = = =,$ to prawdziwe są implikacje:

(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[b=+\infty\bigg]} ;

(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a=-\infty\bigg]} ;

(3) $[\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [a \leq b]$ ;

(4) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[a<b\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n< b_n\bigg].}

========

Dowód 4.13.

(Dowód nadobowiązkowy)
(Ad (1)) Zakładamy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n} .$
Ustalmy dowolne $M > 0 .$ Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty,$ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\ge M. }

Zatem dla dowolnego $n \geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b_n \ \ge\ a_n \ \ge\ M. }

Ponieważ $M > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M>0\ \exists N\in N\ \forall n\ge N:\ b_n\ge M, }

a to oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty .$
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ} = = = = = = = =, \lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ} = = = = = = = =$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n} .$
"Przypadek $1^{o} .$ " Niech $a, b \in ℝ .$

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $a > b .$ Ustalmy $ε = \frac{a - b}{2} > 0 .$ Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1>0\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{a-b}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2>0\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{a-b}{2}, \endaligned}

i w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ a_n>\frac{a+b}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ b_n<\frac{a+b}{2}, \endaligned}

Niech $k = \max {N_{1}, N_{2}} .$ Wówczas dla wyrazów $a_{k}$ i $b_{k}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_k \ >\ \frac{a+b}{2} \ >\ b_k, }

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że $a \leq b .$

"Przypadek $2^{o} .$ " $a = + \infty$ lub $b = - \infty .$ Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek $3^{o} .$ " $a = - \infty$ lub $b = + \infty .$ Wówczas zawsze zachodzi nierówność $a \leq b .$

(Ad (4)) "Przypadek $1^{o} .$ " Niech $a, b \in ℝ .$ Ustalmy $ε = \frac{b - a}{2} .$ Ponieważ $b > a$ , więc $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{b-a}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{b-a}{2}. \endaligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}} .$ W szczególności mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_n \ <\ \frac{a+b}{2} \ <\ b_n, }

co należało pokazać.

"Przypadek $2^{o} .$ " $a = - \infty .$ Niech $ε = 1$ i $M = b - 1 .$ Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: a_n<b-1,\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2: |b_n-b|<1. \endaligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}} .$ W szczególności mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_n \ <\ b-1 \ <\ b_n, }

co należało pokazać.

"Przypadek $3^{o} .$ " $b = + \infty .$ Dowód jest analogiczny jak w przypadku $2^{o} .$

========

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu.

Twierdzenie 4.14.

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem, to
(1) jeśli ${a_{n}}$ jest rosnący to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}; }

(2) jeśli ${a_{n}}$ jest malejący to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}. }

========

Dowód 4.14.

(Dowód nadobowiązkowy)
(Ad (1)) Załóżmy, że ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym oraz niech

g \overset{d f}{=} \sup {a_{n} : n \in ℕ}

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem $ℝ$ lub wynosi $+ \infty,$ gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że $g$ jest granicą ciągu ${a_{n}} .$
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek $1^{o} .$ Niech $g \in ℝ .$ Ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z własności supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : g - ε < a_{N}

(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów $N$ istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący oraz $\forall n \in N : a_{n} \leq g$ (z definicji supremum), więc

\forall n \geq N : g - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq g .

Ponieważ $ε > 0$ był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|\ <\ \varepsilon. }

zatem pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g .$
Przypadek $2^{o} .$ Niech $g = + \infty .$ Ustalmy $M \in ℝ .$ Z definicji supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : M < a_{N} .

Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, więc

\forall n \geq N : M < a_{N} \leq a_{n} .

Ponieważ $M \in ℝ$ był dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ M\ <\ a_n. }

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g .$
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

========

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R10.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R10

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

========

Dowód 4.15.

(Ad (1)) Jeśli ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}. }

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \ <\ +\infty, }

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.

========

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]

Każdy ciąg ograniczony ${a_{n}} \subseteq ℝ$ zawiera podciąg zbieżny.

========

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

Lemat 4.17.

Każdy ciąg liczbowy

{a_{n}} \subseteq ℝ

zawiera podciąg monotoniczny.

========

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R11.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM1.M04.W.R11

Dowód 4.17.

(Szkic) Dla ciągu ${a_{n}}$ zdefiniujmy następujący zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Z \ \stackrel{df}{=}\ \bigg\{ n\in\mathbb{N}:\ \forall m\in\mathbb{N} \ \big[m>n\Longrightarrow a_m>a_n\big] \bigg\}. }

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli $# Z = \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest nieskończony), to możemy z ciągu ${a_{n}}$ wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu ${a_{n}},$ których indeksy należą do zbioru $Z$ ).
Jeśli $# Z < \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech $n_{1} \in ℕ$ będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru $Z .$ Ponieważ $n_{1} \in̸ Z,$ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists n_2>n_1:\ a_{n_2}\le a_{n_1}. }

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy $n_{1} < \dots < n_{k},$ to z definicji zbioru $Z$ i faktu, że $n_{k} \in̸ Z$ wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists n_{k+1}>n_k:\ a_{n_{k+1}}========\le a_{n_k}. }

Skonstruowany w ten sposób podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ} = = = = = = = =$ jest malejący.

========

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód 4.16.

Niech ${a_{n}} \in ℝ$ będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ} = = = = = = = = .$ Oczywiście podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ} = = = = = = = =$ jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ} = = = = = = = =$ jest zbieżny.

========

Wniosek 4.18.

Z każdego ciągu liczbowego ${a_{n}} \subseteq ℝ$ można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

========

Dowód wniosku 4.18.

Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu ${a_{n}}$ można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest $+ \infty$ lub $- \infty$ .

========

Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 12:30, 29 sie 2006

Ciągi liczbowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 22: / Linia 22: @@
 przestrzeń metryczna z metryką euklidesową).
 Piszemy krótko <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}.</math>
-}}
+}}========
 Ponieważ w zbiorze liczbowym <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> mamy liniowy porządek,
@@ Linia 63: / Linia 63: @@
 jeśli jest on
 silnie malejący lub silnie rosnący.
-}}
+}}========
 {| border="0" align="center" cellspacing="10"
@@ Linia 113: / Linia 113: @@
 jeśli
 <math>\displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le M.</math><br>
-}}
+}}========
 Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest
@@ Linia 126: / Linia 126: @@
 gdy
 <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest ograniczony z dołu i z góry.
-}}
+}}========
 Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w
@@ Linia 152: / Linia 152: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g
 \quad\textrm{lub}\quad
-x_n\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} g
+x_n\stackrel{\mathbb{R}}========{\longrightarrow} g
 \quad\textrm{lub}\quad
 x_n\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{} g
@@ Linia 169: / Linia 169: @@
 </math></center>
-}}</span>
+}}========</span>
 W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie
@@ Linia 216: / Linia 216: @@
 i piszemy
 <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=-\infty.</math>
-}}
+}}========
 {| border="0" align="center" cellspacing="10"
@@ Linia 252: / Linia 252: @@
 to
 <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.</math>
-}}</span>
+}}========</span>
-<span id="twierdzenie_4_7">{{dowod|twierdzenia 4.7.||
+<span id="twierdzenie_4_7">{{dowod|4.7.||
 Niech <math>M>0</math> będzie stałą ograniczającą ciąg <math>\displaystyle\{b_n\}</math>
@@ Linia 291: / Linia 291: @@
 czyli udowodniliśmy, że
 <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.</math>
-}}</span>
+}}========</span>
 {{przyklad|4.8.||
@@ Linia 297: / Linia 297: @@
 Obliczyć granicę
 <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}</math>.
-}}
+}}========
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 353: / Linia 353: @@
 \Longleftrightarrow\quad
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.</math>
-}}</span>
+}}========</span>
-{{dowod|twierdzenia 4.9.||
+{{dowod|4.9.||
 '''(Ad 1)'''
@@ Linia 405: / Linia 405: @@
 '''(Ad (2))''' Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).<br>
 '''(Ad (5))''' Pozostawiamy to bez dowodu.
-}}
+}}========
 {{przyklad|4.10.||
@@ Linia 411: / Linia 411: @@
 Obliczyć granice ciągów:<br>
 '''(1)''' <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}</math>;<br>
-'''(2)''' <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}</math>
+'''(2)''' <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}========</math>
-}}
+}}========
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 469: / Linia 469: @@
 <center><math>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}========
 \ =\
 ^0
@@ Linia 495: / Linia 495: @@
 <center><math>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}}
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}}========
 \quad\textrm{oraz}\quad</math>
 <br><br>
@@ Linia 504: / Linia 504: @@
 to
 <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.</math>
-}}</span>
+}}========</span>
-{{dowod|twierdzenia 4.11.||
+{{dowod|4.11.||
 Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy <math>g\in\mathbb{R}</math>.
@@ Linia 543: / Linia 543: @@
 co dowodzi, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.</math>
-}}
+}}========
 {{przyklad|4.12.||
@@ Linia 549: / Linia 549: @@
 Obliczyć granicę ciągu
 <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} [2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.</math>
-}}
+}}========
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 625: / Linia 625: @@
 Jeśli
 <math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}}</math> oraz
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}}========</math> oraz
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}},</math>
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}========,</math>
 to
 prawdziwe są implikacje:<br><br>
@@ Linia 642: / Linia 642: @@
 a_n<
 b_n\bigg].</math>
-}}</span>
+}}========</span>
-{{dowod|twierdzenia 4.13.||
+{{dowod|4.13.||
 (Dowód nadobowiązkowy)<br>
 '''(Ad (1))'''
@@ Linia 683: / Linia 683: @@
 '''(Ad (2))''' Dowód analogiczny do dowodu '''(1)'''.<br>
 '''(Ad (3)'''
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}},\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}</math>
+Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}}========,\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}========</math>
 oraz <math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n.</math><br>
 "Przypadek <math>1^o.</math>" Niech <math>a,b\in\mathbb{R}.</math>
@@ Linia 794: / Linia 794: @@
 <math>b=+\infty.</math>
 Dowód jest analogiczny jak w przypadku <math>2^o.</math>
-}}
+}}========
 Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie
@@ Linia 829: / Linia 829: @@
 </math></center>
-}}</span>
+}}========</span>
-{{dowod|twierdzenia 4.14.||
+{{dowod|4.14.||
 (Dowód nadobowiązkowy)<br>
 '''(Ad (1))'''
@@ Linia 909: / Linia 909: @@
 <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g.</math><br>
 '''(Ad (2))''' Dowód jest analogiczny jak dla (1).
-}}
+}}========
 <div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
@@ Linia 927: / Linia 927: @@
 Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
 jest ograniczony.
-}} </span>
+}}======== </span>
-{{dowod|twierdzenia 4.15.||
+{{dowod|4.15.||
 '''(Ad (1))'''
@@ Linia 966: / Linia 966: @@
 założenia monotoniczności). Wynika to z
 [[AM1 Wykład 3#twierdzenie_3_25|twierdzenia 3.25.]]
-}}
+}}========
 <span id="twierdzenie_4_16">{{twierdzenie|4.16. [Bolzano-Weierstrassa]||
@@ Linia 973: / Linia 973: @@
 <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
 zawiera podciąg zbieżny.
-}}</span>
+}}========</span>
 W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący
@@ Linia 980: / Linia 980: @@
 <span id="lemat_4_17">{{lemat|4.17.||
-Każdy ciąg liczbowy <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> zawiera podciąg monotoniczny.<br>}}</span>
+Każdy ciąg liczbowy <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> zawiera podciąg monotoniczny.<br>}}========</span>
 <div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
@@ Linia 987: / Linia 987: @@
 </div></div>
-{{dowod|lematu 4.17.||
+{{dowod|4.17.||
 '''(Szkic)'''
 Dla ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}</math> zdefiniujmy następujący zbiór:
@@ Linia 1030: / Linia 1030: @@
 \exists n_{k+1}>n_k:\
-a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}.
+a_{n_{k+1}}========\le a_{n_k}.
 </math>
 Skonstruowany w ten sposób podciąg
-<math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest malejący.
+<math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}========</math> jest malejący.
-}}
+}}========
 [[grafika:Weierstrass.jpg|thumb|right||Karl Weierstrass (1815-1897)<br>[[Biografia Weierstrass|Zobacz biografię]]]]
 Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia [[#twierdzenie_4_16|Bolzano-Weierstrassa]]:
-{{dowod|twierdzenia 4.16.||
+{{dowod|4.16.||
 Niech <math>\displaystyle\{a_n\}\in\mathbb{R}</math> będzie ciągiem ograniczonym.
 Z [[#lemat_4_17|lematu 4.17. ]] wynika, że możemy z niego wybrać
-podciąg monotoniczny <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}.</math>
+podciąg monotoniczny <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}========.</math>
-Oczywiście podciąg <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest także ograniczony,
+Oczywiście podciąg <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}========</math> jest także ograniczony,
 zatem z [[#twierdzenie_4_15|twierdzenia 4.15.]] (3) wynika, że
-podciąg <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest zbieżny.
+podciąg <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}========</math> jest zbieżny.
-}}
+}}========
 <span id="wniosek_4_18">{{wniosek|4.18.||
@@ Linia 1054: / Linia 1054: @@
 podciąg posiadający granicę
 (właściwą lub niewłaściwą).
-}}</span>
+}}========</span>
 {{dowod|wniosku 4.18.||
@@ Linia 1065: / Linia 1065: @@
 to granicą jest
 <math>+\infty</math> lub <math>-\infty</math>.
-}}
+}}========