Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 10: Łańcuchy Markowa: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
 
(Nie pokazano 4 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 4: Linia 4:
<wrongoption>zbiór liczb rzeczywistych.</wrongoption>
<wrongoption>zbiór liczb rzeczywistych.</wrongoption>
<wrongoption>zbiór liczb naturalnych.</wrongoption>
<wrongoption>zbiór liczb naturalnych.</wrongoption>
<wrongoption>zbiór <math>\displaystyle \{-1,0,1\}</math>.</wrongoption>
<wrongoption>zbiór <math>\{-1,0,1\}</math>.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>Niech <math>\displaystyle \xi_1,\xi_2, \xi_3, \dots</math> oznaczają liczbę oczek
<quiz>Niech <math>\xi_1,\xi_2, \xi_3, \dots</math> oznaczają liczbę oczek
uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.
uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.
Określmy: <center><math>\displaystyle X_0 = 0 </math>  oraz  <math>\displaystyle  X_{i} = X_{i-1} + \xi_i </math>  dla  <math>\displaystyle  i =
Określmy: <center><math>X_0 = 0</math>  oraz  <math> X_{i} = X_{i-1} + \xi_i</math>  dla  <math> i =
1,2,3, \dots.</math></center>
1,2,3, \dots</math>.</center>
Wtedy ciąg zmiennych losowych <math>\displaystyle \{X_i\}</math> jest
Wtedy ciąg zmiennych losowych <math>\{X_i\}</math> jest
łańcuchem Markowa, w którym:
łańcuchem Markowa, w którym:


<rightoption>przestrzeń stanów <math>\displaystyle E</math> jest zbiorem liczb naturalnych <math>\displaystyle 0,1,2, \dots</math></rightoption>
<rightoption>przestrzeń stanów <math>E</math> jest zbiorem liczb naturalnych <math>0,1,2, \dots</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \mathbf{p}(k,k) = 0</math> oraz <math>\displaystyle \mathbf{p}(k,k+1) = \mathbf{p}(k,k+6)</math> dla każdego <math>\displaystyle k \in E</math>.</rightoption>
<rightoption><math>\mathbf{p}(k,k) = 0</math> oraz <math>\mathbf{p}(k,k+1) = \mathbf{p}(k,k+6)</math> dla każdego <math>k \in E</math>.</rightoption>
<wrongoption>każde dwa stany się komunikują.</wrongoption>
<wrongoption>każde dwa stany się komunikują.</wrongoption>
<rightoption>suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia <math>\displaystyle \mathbf{P}</math> jest równa 1.</rightoption>
<rightoption>suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia <math>\mathbf{P}</math> jest równa 1.</rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 24: Linia 24:
<quiz>Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:
<quiz>Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:


<center><math>\displaystyle \mathbf{P} = \left[
<center><math>\mathbf{P} = \left[
\begin{array} {cc}
\begin{array} {cc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
1 & 0
1 & 0
\end{array}  
\end{array}  
\right].
\right]</math></center>
</math></center>


Wtedy:
Wtedy:
Linia 37: Linia 36:
<rightoption>łańcuch ten jest nieredukowalny.</rightoption>
<rightoption>łańcuch ten jest nieredukowalny.</rightoption>
<wrongoption>łańcuch ten jest okresowy.</wrongoption>
<wrongoption>łańcuch ten jest okresowy.</wrongoption>
<rightoption>łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych <math>\displaystyle \frac{2}{3}</math> i  <math>\displaystyle \frac{1}{3}</math>.</rightoption>
<rightoption>łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych <math>\frac{2}{3}</math> i  <math>\frac{1}{3}</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 43: Linia 42:
<quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.
<quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.


<wrongoption>Jeżeli ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów <math>\displaystyle E \subset {\Bbb R}</math>, to także ciąg <math>\displaystyle X_n^2</math> jest łańcuchem Markowa  na przestrzeni stanów <math>\displaystyle E</math>.</wrongoption>
<wrongoption>Jeżeli ciąg <math>X_n</math> jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów <math>E \subset {\Bbb R}</math>, to także ciąg <math>X_n^2</math> jest łańcuchem Markowa  na przestrzeni stanów <math>E</math>.</wrongoption>
<wrongoption>Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny.</wrongoption>
<wrongoption>Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny.</wrongoption>
<wrongoption>Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny.</wrongoption>
<wrongoption>Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny.</wrongoption>
<rightoption>Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia <math>\displaystyle \mathbf{P}</math> pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten jest nieredukowalny.</rightoption>
<rightoption>Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia <math>\mathbf{P}</math> pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten jest nieredukowalny.</rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>Niech <math>\displaystyle X_n</math> będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie [[##markov10|Uzupelnic markov10|]] dla <math>\displaystyle k = 3</math>. Wtedy:
<quiz>Niech <math>X_n</math> będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie [[##markov10|Uzupelnic markov10|]] dla <math>k = 3</math>. Wtedy:


<rightoption>łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> ma skończony zbiór stanów.</rightoption>
<rightoption>łańcuch <math>X_n</math> ma skończony zbiór stanów.</rightoption>
<rightoption>łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest nieredukowalny.</rightoption>
<rightoption>łańcuch <math>X_n</math> jest nieredukowalny.</rightoption>
<rightoption>łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest powracający.</rightoption>
<rightoption>łańcuch <math>X_n</math> jest powracający.</rightoption>
<wrongoption>łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest okresowy.</wrongoption>
<wrongoption>łańcuch <math>X_n</math> jest okresowy.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>Niech <math>\displaystyle X_n</math>, <math>\displaystyle n = 0,1,2,3, \dots </math>,  będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie <math>\displaystyle Q</math>.
<quiz>Niech <math>X_n</math>, <math>n = 0,1,2,3, \dots</math>,  będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie <math>Q</math>.
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
Oceń prawdziwość poniższych zdań.


<wrongoption>Ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki.</wrongoption>
<wrongoption>Ciąg <math>X_n</math> jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki.</wrongoption>
<rightoption>Jeżeli <math>\displaystyle Q</math> jest rozkładem dyskretnym, to ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze macierzy przejścia są sobie równe.</rightoption>
<rightoption>Jeżeli <math>Q</math> jest rozkładem dyskretnym, to ciąg <math>X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze macierzy przejścia są sobie równe.</rightoption>
<wrongoption>Jeżeli <math>\displaystyle Q</math> jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie kolumny macierzy przejścia są sobie równe.</wrongoption>
<wrongoption>Jeżeli <math>Q</math> jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg <math>X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie kolumny macierzy przejścia są sobie równe.</wrongoption>
<wrongoption>Ciąg <math>\displaystyle X_n</math> nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne).</wrongoption>
<wrongoption>Ciąg <math>X_n</math> nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne).</wrongoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 22:14, 11 wrz 2023

W przykładzie 10.3 przestrzenią stanów jest:

zbiór liczb całkowitych.

zbiór liczb rzeczywistych.

zbiór liczb naturalnych.

zbiór {−1,0,1}.


Niech ξ1,ξ2,ξ3,… oznaczają liczbę oczek uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.

Określmy:

X0=0 oraz Xi=Xi−1+ξi dla i=1,2,3,….

Wtedy ciąg zmiennych losowych {Xi} jest łańcuchem Markowa, w którym:

przestrzeń stanów E jest zbiorem liczb naturalnych 0,1,2,…

𝐩(k,k)=0 oraz 𝐩(k,k+1)=𝐩(k,k+6) dla każdego k∈E.

każde dwa stany się komunikują.

suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia 𝐏 jest równa 1.


Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:

𝐏=[121210]

Wtedy:

łańcuch ten jest powracający.

łańcuch ten jest nieredukowalny.

łańcuch ten jest okresowy.

łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych 23 i 13.


Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jeżeli ciąg Xn jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów E⊂ℝ, to także ciąg Xn2 jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów E.

Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny.

Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny.

Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia 𝐏 pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten jest nieredukowalny.


Niech Xn będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie Uzupelnic markov10| dla k=3. Wtedy:

łańcuch Xn ma skończony zbiór stanów.

łańcuch Xn jest nieredukowalny.

łańcuch Xn jest powracający.

łańcuch Xn jest okresowy.


Niech Xn, n=0,1,2,3,…, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Q. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Ciąg Xn jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki.

Jeżeli Q jest rozkładem dyskretnym, to ciąg Xn jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze macierzy przejścia są sobie równe.

Jeżeli Q jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg Xn jest łańcuchem Markowa, a wszystkie kolumny macierzy przejścia są sobie równe.

Ciąg Xn nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne).

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Rachunek_prawdopodobieństwa_i_statystyka/Test_10:_Łańcuchy_Markowa&oldid=82551”