Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 14: Komputerowe metody statystyki: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 22:16, 11 wrz 2023

Ćwiczenia

Ćwiczenie 14.1

Sprawdzimy graficznie jakość liczb pseudolosowych wylosowanych z rozkładu normalnego, przy pomocy programu Maple.

Losujemy w tym celu próbkę prostą, powiedzmy 300 elementową próbkę z rozkładu $N (20, 2)$ , a następnie sporządzamy na jej podstawie histogram, który umieszczamy na wspólnym rysunku z gęstością danego rozkładu:

<flash>file=Rp.1.141.swf|width=350|height=350</flash>

Ćwiczenie 14.2

Podczas losowania ciągów liczb pseudolosowych bardzo ważną kwestią jest to, aby można było te liczby traktować jako realizacje niezależnych zmiennych losowych. Nie omawiamy tutaj odpowiednich testów statystycznych, jednak prezentujemy pewną metodę graficzną, pomocną przy ocenie tej niezależności. Polega ona na zaznaczaniu na wspólnym rysunku punktów postaci $(x_{i - k}, x_{i})$ , gdzie $k \geq 1$ jest ustalone, zaś $x_{i}$ są wylosowanymi liczbami. Jeżeli otrzymany rysunek nie wykazuje żadnych prawidłowości, nie ma podstaw do kwestionowania niezależności.

Zbadamy 200-elementową próbkę, wylosowaną przez program Maple z rozkładu jednostajnego na przedziale $(0, 1)$ . Histogram narysowany na podstawie tej próbki potwierdza raczej charakter rozkładu:

<flash>file=Rp.1.142.swf|width=350|height=350</flash>

Przyjmując $k = 1$ rysujemy 199 par liczb $(x_{i - 1}, x_{i})$ :

<flash>file=Rp.1.143.swf|width=350|height=350</flash>

Ćwiczenie 14.3

Do uzyskiwania liczb pseudolosowych można używać także innych algorytmów. Na przykład, na pierwszy rzut oka wydaje się, że następujący algorytm może być lepszy od algorytmu omawianego podczas wykładu: ustalamy ziarno $X_{0}$ z odcinka $(0, 1)$ , a kolejne liczby otrzymujemy z poprzednich przez podnoszenie do kwadratu, wymnażanie przez $1 0^{3}$ i branie części ułamkowej:

x_{n + 1} = 1 0^{3} x_{n}^{2} - ⌊ 1 0^{3} x_{n}^{2} ⌋

,

gdzie $⌊ y ⌋$ oznacza część całkowitą liczby $y$ .

Wykorzystując program Maple oraz ziarno $X_{0} = 0.123456$ , generujemy 200 liczb pseudolosowych, następnie na ich podstawie rysujemy histogram, a także sprawdzamy testem graficznym ich niezależność:

<flash>file=Rp.1.144.swf|width=350|height=350</flash>

<flash>file=Rp.1.145.swf|width=350|height=350</flash>

Jak widać, do tej pory wszystko wygląda dobrze - wylosujmy jednak 2000 liczb i narysujmy dla nich histogram:

<flash>file=Rp.1.146.swf|width=350|height=350</flash>

Tak więc, badając dokładniej nasz generator okazało się, że od pewnego miejsca wszystkie losowane liczby są równe 0 - po chwili zastanowienia większość studentów z pewnością potrafi wyjaśnić, dlaczego tak się stało.

Ćwiczenie 14.4

Dość często zdarza się, że w praktycznych zastosowaniach pojawiają się tak zwane mieszaniny rozkładów. Na przykład, badając wydzielanie pewnej substancji przez bakterie popełnia się błąd polegający na tym, że zamiast od pojedynczej bakterii pobiera się tę substancję od dwóch bakterii. Niech $ε$ będzie prawdopodobieństwem popełnia tego błędu, zaś $f_{1}$ oraz $f_{2}$ - gęstościami rozkładów substancji wydzielanych odpowiednio przez pojedynczą bakterię oraz przez dwie złączone bakterie. Wtedy rozkład o gęstości:

(1 - ε) f_{1} + ε f_{2}

odpowiada wielkości pobranej substancji - jest to właśnie mieszanina rozkładów o gęstościach $f_{1}$ i $f_{2}$ . Przeprowadzimy eksperyment polegający na losowaniu próbki z mieszaniny rozkładów normalnych, a następnie dla tak dobranej próbki znajdziemy jądrowy estymator gęstości i porównamy go z gęstością wyjściową.

Przyjmijmy, że:

f_{1} \in N (5, 1), f_{2} \in N (10, 1)

oraz

ε = 0.04

.

Losowanie liczb z mieszaniny rozkładów prowadzimy następująco: wylosujemy liczbę z rozkładu dwupunktowego $(0, 1, ε)$ , a następnie jeżeli wypadło $0$ , to losujemy element z rozkładu pierwszego, zaś jeżeli wypadła $1$ , to losujemy element z rozkładu drugiego.

Oto lista 200 wylosowanych elementów:

5.25, 3.91, 5.06, 4.29, 4.54, 5.21, 4.01, 5.77, 6.21, 4.70, 4.04, 5.0, 4.90, 4.38, 5.76, 4.23, 5.47, 5.13, 4.49, 6.36, 6.65, 4.95, 5.10, 4.69, 5.93, 5.76, 3.98, 6.51, 10.5, 10.4, 4.98, 3.84, 5.16, 4.53, 5.55, 4.95, 3.58, 5.15, 4.37, 4.50, 4.75, 6.32, 6.33, 3.83, 3.76, 5.07, 5.39, 5.05, 3.74, 9.54, 3.04, 6.38, 4.82, 3.70, 6.01, 5.82, 8.48, 4.40, 6.61, 5.98, 4.50, 4.74, 5.56, 4.58, 4.67, 4.26, 7.04, 6.24, 6.38, 6.59, 4.29, 6.28, 6.26, 11.4, 5.46, 9.93, 5.29, 4.78, 5.69, 5.14, 4.55, 5.18, 5.25, 7.90, 3.44, 5.02, 5.49, 5.43, 4.69, 6.59, 3.81, 4.76, 5.22, 5.61, 4.28, 5.44, 4.83, 5.51, 3.17, 5.76, 5.0, 4.32, 6.16, 5.27, 4.33, 5.27, 4.42, 5.36, 4.57, 5.08, 4.47, 2.77, 4.86, 11.1, 5.75, 5.13, 5.26, 5.40, 5.34, 4.30, 3.08, 5.22, 5.0, 4.20, 4.57, 7.64, 5.36, 5.83, 9.91, 3.82, 5.58, 5.37, 9.39, 4.86, 10.8, 11.4, 5.38, 5.60, 4.41, 5.74, 5.97, 4.12, 6.12, 5.59, 4.17, 4.39, 5.84, 3.83, 3.42, 6.11, 6.01, 3.40, 5.12, 6.12, 4.76, 5.30, 5.46, 5.58, 3.39, 5.13, 4.40, 4.31, 6.24, 4.23, 3.93, 10.3, 6.20, 4.29, 10.8, 7.17, 5.60, 5.96, 9.79, 2.97, 7.16, 4.51, 4.96, 5.82, 5.56, 6.24, 4.67, 4.13, 5.19, 6.47, 7.42, 5.0, 3.90, 5.61, 5.18, 5.99, 3.68, 4.02, 6.99, 5.33, 7.02, 6.13, 3.94, 5.12, 5.41, 4.32.

Na podstawie powyższej próby obliczamy:

\hat{σ} \approx 1.6222, h \approx \frac{1.6222}{\sqrt[5]{200}} \approx 0.5622

.

Teraz na wspólnym rysunku zaznaczamy wyjściową gęstość mieszaniny rozkładów (kolor niebieski) oraz jądrowy estymator gęstości (kolor czerwony):

<flash>file=Rp.1.151.swf|width=350|height=350</flash>

Zadanie 14.1 Opracuj procedurę pozyskiwania liczb pseudolosowych z danego rozkładu dyskretnego, za pomocą liczb pochodzących z rozkładu jednostajnego na przedziale $(0, 1)$ .

Zadanie 14.2 Opracowaną w powyższym zadaniu metodą, wylosuj 100 liczb z rozkładu dwumianowego o parametrach $n = 10$ i $p = 0.2$ .

Zadanie 14.3 Wyjaśnij powód, dla którego algorytm opisany w ćwiczeniu 14.3 nie może być użyty do losowania liczb pseudolosowych.

Zadanie 14.4 Na podstawie następującej próbki prostej z nieznanego rozkładu:

29, 23, 24, 27, 28, 28, 29, 30

,

wyznacz medianę tego rozkładu oraz jej $90 %$ przedział ufności.

Zadanie 14.5 Przeprowadź dowód tego, że estymator jądrowy jest gęstością.

Zadanie 14.6 Powtórz ćwiczenie 14.4 używając innych jąder poznanych na wykładzie.

Zadanie 14.7 Wylosuj 100-elementową próbkę z rozkładu wykładniczego o średniej $λ = 0.2$ i na jej podstawie narysuj jądrowy estymator gęstości. Jaka jest podstawowa wada tego estymatora? Zaproponuj taką modyfikację metody estymacji jądrowej (zmiana definicji jądra), która pozwoli przezwyciężyć tę trudność.

Zadanie 14.8 Dla danych z GPW podanych w ćwiczeniu 1.4, naszkicuj jądrowy estymator gęstości, a następnie, na tym samym rysunku, umieść wykres rozkładu normalnego o parametrach wyestymowanych na podstawie danej próby.

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-==Ćwiczenia i zadania==
+==Ćwiczenia==
-{{cwiczenie|||
+{{cwiczenie|14.1|cw 14.1|
 Sprawdzimy graficznie jakość liczb pseudolosowych
 wylosowanych z rozkładu normalnego, przy pomocy programu Maple.
 }}
-Losujemy w tym celu próbkę prostą, powiedzmy  300 elementową próbkę z rozkładu <math>\displaystyle N(20,2)</math>, a następnie sporządzamy na
+Losujemy w tym celu próbkę prostą, powiedzmy  300 elementową próbkę z rozkładu <math>N(20,2)</math>, a następnie sporządzamy na
 jej podstawie histogram, który umieszczamy na wspólnym rysunku z gęstością danego rozkładu:
@@ Linia 13: / Linia 13: @@
 </center>
-{{cwiczenie|||
+{{cwiczenie|14.2|cw 14.2|
 Podczas losowania ciągów liczb pseudolosowych
 bardzo ważną kwestią jest to, aby można było te  liczby
@@ Linia 21: / Linia 21: @@
 graficzną, pomocną przy ocenie tej niezależności. Polega ona
 na zaznaczaniu na wspólnym rysunku punktów postaci
-<math>\displaystyle (x_{i-k},x_i)</math>, gdzie <math>\displaystyle k\ge 1</math> jest ustalone, zaś <math>\displaystyle x_i</math> są wylosowanymi liczbami.
+<math>(x_{i-k},x_i)</math>, gdzie <math>k\ge 1</math> jest ustalone, zaś <math>x_i</math> są wylosowanymi liczbami.
 Jeżeli otrzymany rysunek nie wykazuje żadnych prawidłowości, nie
 ma podstaw do kwestionowania niezależności.
@@ Linia 27: / Linia 27: @@
 Zbadamy 200-elementową próbkę, wylosowaną przez program
-Maple z rozkładu jednostajnego na przedziale <math>\displaystyle (0,1)</math>.
+Maple z rozkładu jednostajnego na przedziale <math>(0,1)</math>.
 Histogram narysowany na podstawie tej próbki potwierdza
 raczej charakter rozkładu:
@@ Linia 35: / Linia 35: @@
 </center>
-Przyjmując <math>\displaystyle k= 1</math> rysujemy 199 par liczb <math>\displaystyle (x_{i-1},x_i)</math>:
+Przyjmując <math>k= 1</math> rysujemy 199 par liczb <math>(x_{i-1},x_i)</math>:
 <center>
 <flash>file=Rp.1.143.swf|width=350|height=350</flash>
 </center>
-{{cwiczenie|||
+{{cwiczenie|14.3|cw 14.3|
 Do uzyskiwania liczb pseudolosowych można używać także innych algorytmów. Na przykład,
 na pierwszy rzut oka wydaje się, że następujący algorytm może być lepszy od algorytmu omawianego podczas wykładu:
-ustalamy ziarno <math>\displaystyle X_0</math> z odcinka <math>\displaystyle (0,1)</math>, a kolejne liczby otrzymujemy z poprzednich przez podnoszenie do kwadratu,
+ustalamy ziarno <math>X_0</math> z odcinka <math>(0,1)</math>, a kolejne liczby otrzymujemy z poprzednich przez podnoszenie do kwadratu,
-wymnażanie przez <math>\displaystyle 10^3</math> i branie części ułamkowej:
+wymnażanie przez <math>10^3</math> i branie części ułamkowej:
-<center><math>\displaystyle
-x_{n+1} = 10^3x_n^2 - \lfloor10^3x_n^2\rfloor,
-</math></center>
+<center><math>
+x_{n+1} = 10^3x_n^2 - \lfloor10^3x_n^2\rfloor</math>,</center>
-gdzie <math>\displaystyle \lfloor y\rfloor</math> oznacza część całkowitą liczby <math>\displaystyle y</math>.
+gdzie <math>\lfloor y\rfloor</math> oznacza część całkowitą liczby <math>y</math>.
 }}
-Wykorzystując program Maple oraz ziarno <math>\displaystyle X_0 = 0.123456</math>, generujemy
+Wykorzystując program Maple oraz ziarno <math>X_0 = 0.123456</math>, generujemy
 liczb pseudolosowych, następnie na ich podstawie rysujemy histogram,
 a także sprawdzamy testem graficznym ich niezależność:
 <center>
 <flash>file=Rp.1.144.swf|width=350|height=350</flash>
@@ Linia 63: / Linia 67: @@
 </center>
-Jak widać, do tej pory wszystko wygląda dobrze -- wylosujmy jednak 2000 liczb i narysujmy dla nich histogram:
+Jak widać, do tej pory wszystko wygląda dobrze - wylosujmy jednak 2000 liczb i narysujmy dla nich histogram:
 <center>
@@ Linia 70: / Linia 74: @@
 Tak więc, badając dokładniej nasz generator okazało się, że
-od pewnego miejsca wszystkie losowane liczby są równe 0 --
+od pewnego miejsca wszystkie losowane liczby są równe 0 -
 po chwili zastanowienia większość studentów z pewnością
 potrafi wyjaśnić, dlaczego tak się stało.
-{{cwiczenie|||
+{{cwiczenie|14.4|cw 14.4|
 Dość często zdarza się, że w praktycznych zastosowaniach pojawiają się tak zwane mieszaniny rozkładów.
 Na przykład, badając wydzielanie pewnej substancji przez bakterie popełnia się błąd polegający na tym, że zamiast od
-pojedynczej bakterii pobiera się tę substancję od dwóch bakterii. Niech <math>\displaystyle \varepsilon</math> będzie prawdopodobieństwem popełnia tego
+pojedynczej bakterii pobiera się tę substancję od dwóch bakterii. Niech <math>\varepsilon</math> będzie prawdopodobieństwem popełnia tego
-błędu, zaś <math>\displaystyle f_1</math> oraz <math>\displaystyle f_2</math> -- gęstościami rozkładów substancji wydzielanych odpowiednio przez pojedynczą bakterię
+błędu, zaś <math>f_1</math> oraz <math>f_2</math> - gęstościami rozkładów substancji wydzielanych odpowiednio przez pojedynczą bakterię
 oraz przez dwie złączone
 bakterie. Wtedy rozkład o gęstości:
-<center><math>\displaystyle (1-\varepsilon)f_1 + \varepsilon f_2</math></center>
+<center><math>(1-\varepsilon)f_1 + \varepsilon f_2</math></center>
 odpowiada
-wielkości pobranej substancji -- jest to właśnie mieszanina rozkładów o gęstościach <math>\displaystyle f_1</math> i <math>\displaystyle f_2</math>. Przeprowadzimy eksperyment polegający
+wielkości pobranej substancji - jest to właśnie mieszanina rozkładów o gęstościach <math>f_1</math> i <math>f_2</math>. Przeprowadzimy eksperyment polegający
 na losowaniu próbki z mieszaniny rozkładów normalnych, a następnie dla tak dobranej próbki znajdziemy jądrowy estymator
 gęstości i porównamy go z gęstością wyjściową.
@@ Linia 89: / Linia 97: @@
 }}
-Przyjmijmy, że: <center><math>\displaystyle f_1 \in N(5,1),\;\;f_2 \in N(10,1)\;\; </math> oraz <math>\displaystyle  \;\;\varepsilon = 0.04.</math></center>
+Przyjmijmy, że:
+<center><math>f_1 \in N(5,1),\;\;f_2 \in N(10,1)\;\;</math> oraz <math>\;\;\varepsilon = 0.04</math>.</center>
-Losowanie liczb z mieszaniny rozkładów prowadzimy następująco: wylosujemy liczbę z rozkładu dwupunktowego <math>\displaystyle (0,1,\varepsilon)</math>,
+Losowanie liczb z mieszaniny rozkładów prowadzimy następująco: wylosujemy liczbę z rozkładu dwupunktowego <math>(0,1,\varepsilon)</math>,
-a następnie jeżeli wypadło <math>\displaystyle 0</math>, to losujemy element z rozkładu pierwszego, zaś jeżeli wypadła <math>\displaystyle 1</math>, to
+a następnie jeżeli wypadło <math>0</math>, to losujemy element z rozkładu pierwszego, zaś jeżeli wypadła <math>1</math>, to
 losujemy element z rozkładu drugiego.
-Oto lista 200  wylosowanych elementów:<br>[2mm]
+Oto lista 200  wylosowanych elementów:<br>
 .25, 3.91, 5.06, 4.29, 4.54, 5.21, 4.01, 5.77, 6.21, 4.70, 4.04,
 .0, 4.90, 4.38, 5.76, 4.23, 5.47, 5.13, 4.49, 6.36, 6.65, 4.95,  5.10, 4.69, 5.93, 5.76, 3.98, 6.51, 10.5, 10.4, 4.98, 3.84, 5.16, 4.53,
@@ Linia 109: / Linia 122: @@
 .58, 3.39, 5.13, 4.40, 4.31, 6.24, 4.23, 3.93, 10.3, 6.20, 4.29,
 .8, 7.17, 5.60, 5.96, 9.79, 2.97, 7.16, 4.51, 4.96, 5.82, 5.56,
-.24, 4.67, 4.13, 5.19, 6.47, 7.42, 5.0, 3.90, 5.61, 5.18, 5.99, 3.68, 4.02, 6.99, 5.33, 7.02, 6.13, 3.94, 5.12, 5.41, 4.32.  <br>[2mm]
+.24, 4.67, 4.13, 5.19, 6.47, 7.42, 5.0, 3.90, 5.61, 5.18, 5.99, 3.68, 4.02, 6.99, 5.33, 7.02, 6.13, 3.94, 5.12, 5.41, 4.32.  <br>
 Na podstawie powyższej próby obliczamy:
-<center><math>\displaystyle \hat{\sigma} \approx 1.6222,\;\; h \approx  \frac{1.6222}{\sqrt[5]{200}} \approx 0.5622.</math></center>
+<center><math>\hat{\sigma} \approx 1.6222,\;\; h \approx  \frac{1.6222}{\sqrt[5]{200}} \approx 0.5622</math>.</center>
 Teraz na wspólnym rysunku zaznaczamy wyjściową gęstość mieszaniny rozkładów (kolor niebieski) oraz
@@ Linia 120: / Linia 136: @@
 <flash>file=Rp.1.151.swf|width=350|height=350</flash>
 </center>
+----------------------------------------------------
-'''. . .'''
+'''{{kotwica|zad 14.1|Zadanie 14.1}}'''
-{{cwiczenie|||
 Opracuj procedurę pozyskiwania liczb pseudolosowych z danego rozkładu dyskretnego, za pomocą liczb
 pochodzących z rozkładu
-jednostajnego na przedziale <math>\displaystyle (0,1)</math>.
+jednostajnego na przedziale <math>(0,1)</math>.
-}}
+'''{{kotwica|zad 14.2|Zadanie 14.2}}'''
+Opracowaną w powyższym zadaniu metodą, wylosuj 100 liczb z rozkładu dwumianowego o parametrach <math>n = 10</math> i <math>p = 0.2</math>.
-{{cwiczenie|||
+'''{{kotwica|zad 14.3|Zadanie 14.3}}'''
-Opracowaną w powyższym zadaniu metodą, wylosuj 100 liczb z rozkładu dwumianowego o parametrach <math>\displaystyle n = 10</math> i <math>\displaystyle p = 0.2</math>.
+Wyjaśnij powód, dla którego algorytm opisany w
+[[#cw_14.3|ćwiczeniu 14.3]] nie może być użyty do losowania liczb pseudolosowych.
-}}
+'''{{kotwica|zad 14.4|Zadanie 14.4}}'''
+Na podstawie następującej próbki prostej z nieznanego rozkładu:
-{{cwiczenie|||
-Wyjaśnij powód, dla którego algorytm opisany w ćwiczeniu
-[[##c141|Uzupelnic c141|]] nie może być użyty do losowania liczb pseudolosowych.
-}}
-{{cwiczenie|||
+<center><math>29,\; 23,\; 24,\; 27,\; 28,\; 28,\; 29, \;30</math>,</center>
-Na podstawie następującej próbki prostej z nieznanego rozkładu:
-<center><math>\displaystyle 29,\; 23,\; 24,\; 27,\; 28,\; 28,\; 29, \;30,</math></center>
-wyznacz medianę tego rozkładu oraz jej <math>\displaystyle 90\%</math> przedział ufności.
-}}
+wyznacz medianę tego rozkładu oraz jej <math>90\%</math> przedział ufności.
-{{cwiczenie|||
+'''{{kotwica|zad 14.5|Zadanie 14.5}}'''
 Przeprowadź dowód tego, że estymator jądrowy jest gęstością.
-}}
+'''{{kotwica|zad 14.6|Zadanie 14.6}}'''
+Powtórz [[#cw_14.4|ćwiczenie 14.4]] używając innych jąder poznanych na wykładzie.
-{{cwiczenie|||
+'''{{kotwica|zad 14.7|Zadanie 14.7}}'''
-Powtórz ćwiczenie [[##cw145|Uzupelnic cw145|]], używając innych jąder poznanych na wykładzie.
+Wylosuj 100-elementową próbkę z rozkładu wykładniczego o średniej <math>\lambda = 0.2</math>
-}}
-{{cwiczenie|||
-Wylosuj 100-elementową próbkę z rozkładu wykładniczego o średniej <math>\displaystyle \lambda = 0.2</math>
 i na jej podstawie narysuj jądrowy estymator gęstości. Jaka jest podstawowa wada tego estymatora? Zaproponuj taką
 modyfikację metody estymacji jądrowej (zmiana definicji jądra), która pozwoli przezwyciężyć tę trudność.
-}}
+'''{{kotwica|zad 14.8|Zadanie 14.8}}'''
+Dla danych z GPW podanych w [[Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 1: Wstęp#cw_1.4|ćwiczeniu 1.4]],
-{{cwiczenie|||
-Dla danych z GPW podanych w ćwiczeniu [[##cwgpw|Uzupelnic cwgpw|]],
 naszkicuj jądrowy estymator gęstości, a następnie, na tym samym rysunku, umieść wykres rozkładu normalnego o parametrach
 wyestymowanych na podstawie danej próby.
-}}

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 14: Komputerowe metody statystyki: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 22:16, 11 wrz 2023

Ćwiczenia

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia