Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 13: Całka nieoznaczona: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 08:08, 24 lip 2024

13. Całka nieoznaczona

Ćwiczenie 13.1.

Obliczyć całki: $\int \cos^{2} x d x$ i $\int \sin^{2} x d x$ .

Wskazówka

Zauważyć, że $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ oraz $c o s^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2 x$ .

Rozwiązanie

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, możemy policzyć całki z sumy oraz z różnicy funkcji $\sin^{2} x$ i $\cos^{2} x$ , a mianowicie:

\begin{aligned} \int \sin^{2} x d x + \int \cos^{2} x d x & = & \int (\sin^{2} x + \cos^{2} x) d x & = & \int 1 d x = x + c_{1}, \\ \int \cos^{2} x d x - \int \sin^{2} x d x & = & \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) d x & = & \int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + c_{2} . \end{aligned}

Dodając stronami powyższe równania i dzieląc przez 2, mamy

\int \cos^{2} x d x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + c_{3}

,

natomiast odejmując stronami i dzieląc przez 2, dostajemy

\int \sin^{2} x d x = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + c_{4}

Ćwiczenie 13.2.

Obliczyć całki:
(1) $\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x$ gdzie $f \in C^{1} (ℝ)$
(2) $\int (f (x))^{α} f^{'} (x) d x$ , gdzie $f \in C^{1} (ℝ)$ oraz $α \in ℝ$

Wskazówka

(1)-(2) Pierwotną łatwo odgadnąć. Można też zastosować podstawienie $f (x) = u$ .

Rozwiązanie

(1) Obliczamy całkę, stosując podstawienie $f (x) = u$

\begin{array}{lll} \int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x & = & | \begin{array}{rcl} f (x) & = & u, \\ f^{'} (x) d x & = & d u \end{array} | = \int \frac{d u}{u} \\ = & \ln | u | + c = \ln | f (x) | + c . \end{array}

(2) Zauważmy, że przypadek $α = - 1$ był rozwiązany w punkcie (1). Możemy więc założyć, że $α \neq - 1$ Obliczamy całkę, stosując podstawienie $f (x) = u$

\int (f (x))^{α} f^{'} (x) d x = | \begin{array}{rcl} f (x) & = & u, \\ f^{'} (x) d x & = & d u \end{array} | = \int u^{α} d u = \frac{1}{α + 1} u^{α + 1} + c = \frac{1}{α + 1} (f (x))^{α + 1} + c

Ćwiczenie 13.3.

Obliczyć następujące całki z funkcji wymiernych:
(1) $\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 7} d x$ ,
(2) $\int \frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} d x$

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

I = \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 7} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x - 7} d x = \frac{1}{2} \int \frac{(x^{2} + 2 x - 7)^{'}}{x^{2} + 2 x - 7} d x

zatem możemy skorzystać z ćwiczenia 13.2. (1), otrzymując

I = \ln | x^{2} + 2 x - 7 | + c

(2) Ponieważ $8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1 = (2 x + 1)^{3} = 2 (x + \frac{1}{2})^{3}$ więc zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie wyrażenia wymiernego na ułamki proste (patrz twierdzenie 13.18.), szukamy rozkładu w postaci

\frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} = \frac{A}{x + \frac{1}{2}} + \frac{B}{(x + \frac{1}{2})^{2}} + \frac{C}{(x + \frac{1}{2})^{3}} = \frac{2 A}{2 x + 1} + \frac{4 B}{(2 x + 1)^{2}} + \frac{8 C}{(2 x + 1)^{3}}

Mnożąc obustronnie przez wspólny mianownik $(2 x + 1)^{3}$ , otrzymujemy

4 - 4 x^{2} = 2 A (2 x + 1)^{2} + 4 B (2 x + 1) + 8 C

Ponieważ powyższa równość zachodzi dla dowolnego $x \in ℝ$ (jest to równość dwóch wielomianów), zatem podstawiając $x = - \frac{1}{2}$ , otrzymujemy $C = \frac{3}{8}$ Podstawiając to $C$ do równania, mamy

4 - 4 x^{2} = 2 A (2 x + 1)^{2} + 4 B (2 x + 1) + 3

skąd

1 - 4 x^{2} = 2 A (2 x + 1)^{2} + 4 B (2 x + 1)

oraz

(1 - 2 x) (1 + 2 x) = 2 A (2 x + 1)^{2} + 4 B (2 x + 1)

Dzieląc stronami przez $(2 x + 1)$ , otrzymujemy

1 - 2 x = 2 A (2 x + 1) + 4 B

Ponownie wstawiając $x = - \frac{1}{2}$ , obliczamy $B = \frac{1}{2}$ . Wstawiając obliczone $B$ do powyższej równości, mamy

1 - 2 x = 2 A (2 x + 1) + 2

,

skąd

- 1 - 2 x = 2 A (2 x + 1)

,

dzieląc stronami przez $(2 x + 1)$ , dostajemy $A = - \frac{1}{2}$ . Zatem szukanym rozkładem jest

\frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{x + \frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{2}}{(x + \frac{1}{2})^{2}} + \frac{\frac{3}{8}}{(x + \frac{1}{2})^{3}}

.

Możemy teraz obliczyć całkę

\begin{aligned} \int \frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} d x & = & \int \frac{- \frac{1}{2}}{x + \frac{1}{2}} d x + \int \frac{\frac{1}{2}}{(x + \frac{1}{2})^{2}} d x + \int \frac{\frac{3}{8}}{(x + \frac{1}{2})^{3}} d x \\ = & - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + \frac{1}{2}} d x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^{2}} d x + \frac{3}{8} \int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^{3}} d x \\ = & - \frac{1}{2} \ln | x + \frac{1}{2} | - \frac{1}{2} \frac{1}{x + \frac{1}{2}} - \frac{3}{16} \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^{2}} + c \\ = & - \frac{1}{2} \ln | 2 x + 1 | - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{3}{4 (2 x + 1)^{2}} + c_{1} \end{aligned}

,

W ostatniej równości dla uzyskania bardziej eleganckiego wyniku zastąpiliśmy stałą $C$ przez nową stałą $C_{1} = C + \frac{1}{2} \ln 2$ , gdyż zamiast $- \frac{1}{2} \ln | x + \frac{1}{2} | + c$ napisaliśmy

- \frac{1}{2} \ln | x + \frac{1}{2} | - \frac{1}{2} \ln 2 + \underset{= c_{1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \ln 2 + c}} = - \frac{1}{2} \ln | 2 x + 1 | + c_{1}

.

Ćwiczenie 13.4.

(1) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na obliczanie całki $I_{n} = \int \frac{d x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ dla $n = 1, 2, \dots$ . Wypisać wzory na $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ .
(2) Sprowadzić obliczanie całki z ułamka prostego postaci $\frac{b x + c}{(x^{2} + B x + C)^{k}}$ (gdzie $B^{2} - 4 C < 0$ ) do całki z punktu (1).

Wskazówka

(1) Dla $n = 1$ całka jest nam znana. Dla $n \geq 2$ przekształcić całkę w następujący sposób

I_{n} = \int \frac{d x}{(x^{2} + 1)^{n}} = \int \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{n}} d x = \underset{= I_{n - 1}}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{(x^{2} + 1)^{n - 1}} d x}} - \int \frac{x^{2}}{(x^{2} + 1)^{n}} d x

Ostatni składnik policzyć, całkując przez części, traktując funkcję podcałkową jako iloczyn $x \cdot \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ .
(2) Najpierw rozłożyć ułamek na sumę dwóch ułamków: pierwszego, którego licznik jest pochodną trójmianu z mianownika $x^{2} + B x + C$ i drugiego, którego licznik jest stały. Do obliczenia całki z pierwszego ułamka wykorzystać ćwiczenie 13.2. (a). Obliczenie całki z drugiego z ułamków sprowadzić do punktu (1).

Rozwiązanie

(1) Dla $n = 1$ całka wynosi

\int \frac{d x}{x^{2} + 1} = a r c t g x + c

Dla $n \geq 2$ przekształcamy całkę w następujący sposób

I_{n} = \int \frac{d x}{(x^{2} + 1)^{n}} = \int \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{n}} d x = \underset{= I_{n - 1}}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{(x^{2} + 1)^{n - 1}} d x}} - \underset{= J_{n}}{\underset{⏟}{\int \frac{x^{2}}{(x^{2} + 1)^{n}} d x}}

Policzmy osobno ostatni składnik $J_{n} = x \cdot \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ przez części. W tym celu wyznaczmy najpierw pierwotną funkcji $\frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ przez podstawienie:

\int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}} d x = | \begin{array}{rcl} x^{2} + 1 & = & t \\ x d x & = & \frac{1}{2} d t \end{array} | = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{n}} = \frac{1}{2} \frac{t^{- n + 1}}{- n + 1} + c = \frac{- 1}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} + c

Powróćmy teraz do wyliczenia całki $J_{n}$ :

\begin{aligned} J_{n} & = | \begin{array}{rclrcl} f (x) & = & x & f^{'} (x) & = & 1 \\ g^{'} (x) & = & \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}} & g (x) & = & \frac{- 1}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} \end{array} | \\ = x \cdot \frac{- 1}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} - \int \frac{- d x}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} = \frac{- x}{(2 n - 2) (x^{2} - 1)^{n - 1}} + \frac{1}{2 n - 2} I_{n - 1} . \end{aligned}

Wstawiając otrzymany wynik do wzoru na $I_{n}$ , dostajemy

I_{n} = I_{n - 1} + \frac{x}{2 (n - 1) (x^{2} - 1)^{n - 1}} - \frac{1}{2 n - 2} I_{n - 1} = \frac{1}{2 n - 2} \cdot \frac{x}{(x^{2} - 1)^{n - 1}} + \frac{2 n - 3}{2 n - 2} I_{n - 1}

\begin{array}{rcl} I_{1} & = & a r c t g x + c \\ I_{2} & = & \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2} a r c t g x + c \\ I_{3} & = & \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{3}{8} a r c t g x + c \\ ⋮ \\ I_{n} & = & \frac{1}{2 n - 2} \cdot \frac{x}{(x^{2} - 1)^{n - 1}} + \frac{2 n - 3}{2 n - 2} I_{n - 1} dla n = 2, 3, 4 \end{array}

(2) Zapiszmy

\int \frac{b x + c}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x = \frac{b}{2} \cdot \underset{= K_{1}}{\underset{⏟}{\int \frac{2 x + B}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x}} + (- \frac{b B}{2} + C) \underset{= K_{2}}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x}}

Całkę $K_{1}$ znamy już z ćwiczenia 13.2., a mianowicie:

K_{1} = \int \frac{2 x + B}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x = {\begin{cases} \ln (x^{2} + B x + C) + c_{1} & dla & n = 1 \\ \frac{- 1}{n - 1} \cdot \frac{1}{(x^{2} + B x + C)^{n - 1}} + c_{1} & dla & n \geq 1 . \end{cases}

Całkę $K_{2}$ sprowadzimy do całki z punktu (1) przez odpowiednie podstawienie

\begin{aligned} K_{2} & = & \int \frac{1}{(x^{2} + B x + C)^{n}} d x = \int \frac{d x}{[(x + \frac{B}{2})^{2} + \underset{= S}{\underset{⏟}{\frac{4 C - B^{2}}{4}}}]^{n}} = \frac{1}{S^{n}} \int \frac{d x}{[(\frac{x + \frac{B}{2}}{\sqrt{S}})^{2} + 1]^{n}} \\ = & | \begin{array}{rcl} \frac{x + \frac{B}{2}}{\sqrt{S}} & = & t \\ d x & = & \sqrt{S} d t \end{array} | = \frac{\sqrt{S}}{S^{n}} \int \frac{d t}{(1 + t)^{n}} . \end{aligned}

Ćwiczenie 13.5.

Obliczyć całkę $\int \frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} d x$ .

Wskazówka

Rozwiązanie

Ponieważ stopień mianownika nie jest większy od stopnia licznika, więc musimy najpierw wydzielić wielomiany w liczniku i mianowniku. Następnie dokonujemy rozkładu na ułamki proste. Było to już zrobione na wykładzie (patrz przykład 13.19.). Mamy

\frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} = x + \frac{x}{x^{2} + 2 x + 3} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3}

Zatem nasza całka wynosi

\int \frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} d x = \int x d x + \underset{= K_{1}}{\underset{⏟}{\int \frac{x}{x^{2} + 2 x + 3} d x}} + \underset{= K_{2}}{\underset{⏟}{\int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x}}

Policzmy każdą z całek osobno według metody opisanej z ćwiczenie 13.3.

K_{1} = \underset{L_{1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 3} d x}} - \underset{L_{2}}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 3} d x}}

Teraz z kolei mamy

L_{1} = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 2 x + 3) + c_{1}

oraz

\begin{aligned} L_{2} & = & \int \frac{1}{(x + 1)^{2} + 2} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{x + 1}{\sqrt{2}})^{2} + 1} d x = | \begin{array}{lll} \frac{x + 1}{\sqrt{2}} & = & t \\ d x & = & \sqrt{2} d t \end{array} | \\ = & \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{d t}{t^{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} a r c t g \frac{x + 1}{\sqrt{2}} + c_{2}, \end{aligned}

zatem

K_{1} = \ln (x^{2} + 2 x + 3) + \frac{\sqrt{2}}{2} a r c t g \frac{x + 1}{\sqrt{2}} + c_{3}

Przechodząc do drugiej z całek, mamy

K_{2} = \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 2 x + 3) + c_{4}

Ostatecznie dostajemy, że

\int \frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 2 x + 3) - \frac{\sqrt{2}}{2} a r c t g \frac{x + 1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 2 x + 3) + c_{5}

Ćwiczenie 13.6.

Obliczyć całki:
(1) $\int \frac{1 + 4 x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} d x$ ,
(2) $\int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$ .

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Z metody współczynników nieoznaczonych wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

\int \frac{1 + 4 x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} d x = a \sqrt{4 x^{2} + x} + k \int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2} + x}}

Aby wyznaczyć $a$ i $k$ , różniczkujemy stronami i dostajemy:

\frac{1 + 4 x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} = \frac{a (8 x + 1)}{2 \sqrt{4 x^{2} + x}} + \frac{k}{\sqrt{4 x^{2} + x}}

,

a mnożąc stronami przez $\sqrt{4 x^{2} + x}$ , dostajemy:

1 + 4 x = 4 a x + \frac{1}{2} a + k

,

stąd $a = 1$ i $k = \frac{1}{2}$ . Ponadto obliczamy całkę

\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} & = & \int \frac{d x}{\sqrt{(2 x + \frac{1}{4})^{2} - \frac{1}{16}}} = | \begin{array}{rcl} 2 x + \frac{1}{4} & = & t \\ d x & = & \frac{1}{2} d t \end{array} | = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t^{2} - \frac{1}{16}}} \\ = & \frac{1}{2} \ln | t + \sqrt{t^{2} - \frac{1}{16}} | + c = \frac{1}{2} \ln | 2 x + \frac{1}{4} + \sqrt{4 x^{2} + x} | + c . \end{aligned}

(2) Ponieważ

\int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x = \int \frac{1 + 4 x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d x

,

więc możemy policzyć ostatnią całkę metodą współczynników nieoznaczonych. Wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

\int \frac{1 + 4 x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d x = (a x + b) \sqrt{1 + 4 x^{2}} + k \int \frac{d x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}

Aby wyznaczyć $a, b$ i $k$ , różniczkujemy stronami i dostajemy:

\frac{1 + 4 x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} = a \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \frac{(a x + b) \cdot 8 x}{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}}} + \frac{k}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}

,

a mnożąc stronami przez $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ , dostajemy:

1 + 4 x^{2} = a (1 + 4 x^{2}) + 4 a x^{2} + 4 b x + k

,

stąd $a = \frac{1}{2}, b = 0$ i $k = \frac{1}{2}$ . Ponadto obliczamy całkę

\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} & = & | \begin{array}{rcl} 2 x & = & t \\ d x & = & \frac{1}{2} d t \end{array} | = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t^{2} + 1}} \\ = & \frac{1}{2} \ln | t + \sqrt{t^{2} + 1} | + c = \frac{1}{2} \ln | 2 x + \sqrt{1 + 4 x^{2}} | + c . \end{aligned}

Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 13: Całka nieoznaczona: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 08:08, 24 lip 2024

13. Całka nieoznaczona

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 ==13. Całka nieoznaczona==
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+{{cwiczenie|13.1.|cw_13_1|
 Obliczyć całki:
-<math>\displaystyle\int\cos^2x\,dx</math> i
+<math>\int\cos^2x\,dx</math> i
-<math>\displaystyle\int\sin^2xdx.</math>
+<math>\int\sin^2xdx</math>.
 }}
-{black}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Zauważyć, że <math>\displaystyle\sin^2x+\cos^2x=1</math> oraz
+Zauważyć, że <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> oraz
-<math>cos^2x-\sin^2x=\cos 2x.</math>
+<math>cos^2x-\sin^2x=\cos 2x</math>.
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy policzyć
+Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, możemy policzyć
-całki z sumy oraz z różnicy funkcji <math>\displaystyle\sin^2x</math> i <math>\displaystyle\cos^2x,</math>
+całki z sumy oraz z różnicy funkcji <math>\sin^2x</math> i <math>\cos^2x</math>,
 a mianowicie:
-<center><math>\aligned\int \sin^2x\,dx +\int \cos^2x\,dx
+<center><math>\begin{array}{rllll}
+\int \sin^2x\,dx +\int \cos^2x\,dx
 & = &
 \int \big(\sin^2x+\cos^2x\big)\,dx
-\ =\ \int 1\,dx= x+c_1\\
+& =&
+\int 1\,dx= x+c_1,\\
 \int \cos^2x\,dx -\int \sin^2x\,dx
 & = &
 \int \big(\cos^2x-\sin^2x\big)\,dx
-\ =\
+& =&
 \int \cos 2x\,dx
-\ =\
+=
-\frac{1}{2}\sin 2x+c_2
+\frac{1}{2}\sin 2x+c_2.
-\endaligned</math></center>
+\end{array}</math></center>
 Dodając stronami powyższe równania
@@ Linia 37: / Linia 41: @@
 <center><math>\int \cos^2x\,dx
-\ =\
+=
-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+c_3,
+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+c_3</math>,</center>
-</math></center>
 natomiast odejmując stronami i dzieląc przez 2, dostajemy
 <center><math>\int \sin^2x\,dx
-\ =\
+=
-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+c_4.
+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+c_4</math></center>
-</math></center>
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+{{cwiczenie|13.2.|cw_13_2|
 Obliczyć całki:<br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx,</math>
+<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx</math>
 gdzie <math>f\in C^1(\mathbb{R})</math><br>
 '''(2)'''
-<math>\displaystyle \int\big(f(x)\big)^{\alpha}f'(x)\,dx,</math>
+<math>\int\big(f(x)\big)^{\alpha}f'(x)\,dx</math>,
-gdzie <math>f\in C^1(\mathbb{R})</math> oraz <math>\displaystyle\alpha\in\mathbb{R}</math><br>
+gdzie <math>f\in C^1(\mathbb{R})</math> oraz <math>\alpha\in\mathbb{R}</math><br>
 }}
-{black}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-'''(1)--(2)''' Pierwotną łatwo odgadnąć.
+'''(1)-(2)''' Pierwotną łatwo odgadnąć.
-Można też zastosować podstawienie <math>f(x)=u.</math>
+Można też zastosować podstawienie <math>f(x)=u</math>.
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 '''(1)'''
-Obliczamy całkę stosując podstawienie <math>f(x)=u.</math>
+Obliczamy całkę, stosując podstawienie <math>f(x)=u</math>
-<center><math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx
+<center><math>\begin{array}{lll}
-\ =\
+\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx& =&
 \left|
 \begin{array} {rcl}
-f(x)     & = & u,\\
+f(x) & = & u,\\
 f'(x)\,dx & = & du
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
-\int\frac{du}{u}
+\int\frac{du}{u}\\\\
-\ =\
+&=& \ln|u|+c
-\ln|u|+c
+=
-\ =\
 \ln \big|f(x)\big|+c.
-</math></center>
+\end{array}</math></center>
 '''(2)'''
-Zauważmy, że przypadek <math>\displaystyle\alpha=-1</math> był
+Zauważmy, że przypadek <math>\alpha=-1</math> był
 rozwiązany w punkcie (1).
-Możemy więc założyć, że <math>\displaystyle\alpha\ne -1.</math>
+Możemy więc założyć, że <math>\alpha\ne -1</math>
-Obliczamy całkę stosując podstawienie <math>f(x)=u.</math>
+Obliczamy całkę, stosując podstawienie <math>f(x)=u</math>
 <center><math>\int\big(f(x)\big)^{\alpha}f'(x)\,dx
-\ =\
+=
 \left|
 \begin{array} {rcl}
@@ Linia 102: / Linia 103: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \int u^{\alpha}\,du
-\ =\
+=
 \frac{1}{\alpha+1}u^{\alpha+1}+c
-\ =\
+=
-\frac{1}{\alpha+1}\big(f(x)\big)^{\alpha+1}+c.
+\frac{1}{\alpha+1}\big(f(x)\big)^{\alpha+1}+c
 </math></center>
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+{{cwiczenie|13.3.|cw_13_3|
 Obliczyć następujące całki z funkcji wymiernych:<br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle \int\frac{x+1}{x^2+2x-7}\,dx</math><br>
+<math>\int\frac{x+1}{x^2+2x-7}\,dx</math>,<br>
 '''(2)'''
-<math>\displaystyle\int\frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}\,dx</math>
+<math>\int\frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}\,dx</math>
 }}
-{black}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 '''(1)'''
 Jaki jest związek licznika z pochodną mianownika?
-Zastosować Zadanie [[##z.am1.c.14.010|Uzupelnic z.am1.c.14.010|]](1).<br>
+Zastosować [[#cw_13_2|ćwiczenie 13.2.]] (1).<br>
 '''(2)'''
 Rozłożyć podcałkowe wyrażenie wymierne na ułamki proste
-(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.13.0190|Uzupelnic t.new.am1.w.13.0190|]]).
+(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 13: Całka nieoznaczona#twierdzenie_13_18|twierdzenie 13.18.]]).
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 137: / Linia 138: @@
 <center><math>I
-\ =\
+=
 \int\frac{x+1}{x^2+2x-7}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x-7}\,dx
-\ =\
+=
-\frac{1}{2}\int\frac{(x^2+2x-7)'}{x^2+2x-7}\,dx,
+\frac{1}{2}\int\frac{(x^2+2x-7)'}{x^2+2x-7}\,dx
 </math></center>
-zatem możemy skorzystać z Zadania [[##z.am1.c.14.010|Uzupelnic z.am1.c.14.010|]](1)
+zatem możemy skorzystać z [[#cw_13_2|ćwiczenia 13.2.]] (1),
 otrzymując
 <center><math>I
-\ =\
+=
-\ln\big|x^2+2x-7\big|+c.
+\ln\big|x^2+2x-7\big|+c
 </math></center>
 '''(2)'''
 Ponieważ
-<math>\displaystyle 8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3=2\bigg(x+\frac{1}{2}\bigg)^3,</math>
+<math>8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3=2\bigg(x+\frac{1}{2}\bigg)^3</math>
 więc
 zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie wyrażenia wymiernego na
-ułamki proste (patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.13.0190|Uzupelnic t.new.am1.w.13.0190|]]),
+ułamki proste (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 13: Całka nieoznaczona#twierdzenie_13_18|twierdzenie 13.18.]]),
 szukamy rozkładu w postaci
 <center><math>\frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}
-\ =\
+=
 \frac{A}{x+\frac{1}{2}}
 +\frac{B}{(x+\frac{1}{2})^2}
 +\frac{C}{(x+\frac{1}{2})^3}
-\ =\
+=
 \frac{2A}{2x+1}
 +\frac{4B}{(2x+1)^2}
@@ Linia 173: / Linia 174: @@
 Mnożąc obustronnie przez wspólny mianownik
-<math>\displaystyle (2x+1)^3</math> otrzymujemy
+<math>(2x+1)^3</math>, otrzymujemy
 <center><math>4-4x^2
-\ =\
+=
 A(2x+1)^2
 +4B(2x+1)
-+8C.
++8C
 </math></center>
@@ Linia 185: / Linia 186: @@
 <math>x\in\mathbb{R}</math>
 (jest to równość dwóch wielomianów), zatem
-podstawiając <math>\displaystyle x=-\frac{1}{2}</math> otrzymujemy
+podstawiając <math>x=-\frac{1}{2}</math>, otrzymujemy
-<math>\displaystyle C=\frac{3}{8}.</math>
+<math>C=\frac{3}{8}</math>
 Podstawiając to <math>C</math> do równania, mamy
 <center><math>4-4x^2
-\ =\
+=
 A(2x+1)^2
 +4B(2x+1)
-+3,
++3
 </math></center>
@@ Linia 199: / Linia 200: @@
 <center><math>1-4x^2
-\ =\
+=
 A(2x+1)^2
 +4B(2x+1)
@@ Linia 207: / Linia 208: @@
 <center><math>(1-2x)(1+2x)
-\ =\
+=
 A(2x+1)^2
-+4B(2x+1).
++4B(2x+1)</math></center>
-</math></center>
-Dzieląc stronami przez <math>\displaystyle (2x+1)</math>, otrzymujemy
+Dzieląc stronami przez <math>(2x+1)</math>, otrzymujemy
 <center><math>1-2x
-\ =\
+=
 A(2x+1)
-+4B.
++4B
 </math></center>
-Ponownie wstawiając <math>\displaystyle x=-\frac{1}{2},</math> obliczamy
+Ponownie wstawiając <math>x=-\frac{1}{2}</math>, obliczamy
-<math>\displaystyle B=\frac{1}{2}.</math> Wstawiając obliczone <math>B</math> do powyższej równości,
+<math>B=\frac{1}{2}</math>. Wstawiając obliczone <math>B</math> do powyższej równości,
 mamy
 <center><math>1-2x
-\ =\
+=
 A(2x+1)
-+2,
++2</math>,</center>
-</math></center>
 skąd
 <center><math>-1-2x
-\ =\
+=
-A(2x+1),
+A(2x+1)
-</math></center>
+</math>,</center>
 dzieląc stronami przez <math>(2x+1)</math>, dostajemy
-<math>\displaystyle A=-\frac{1}{2}.</math>
+<math>A=-\frac{1}{2}</math>.
 Zatem szukanym rozkładem jest
 <center><math>\frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}
-\ =\
+=
 \frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}
 +\frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2}
-+\frac{\frac{3}{8}}{(x+\frac{1}{2})^3}.
++\frac{\frac{3}{8}}{(x+\frac{1}{2})^3}
-</math></center>
+</math>.</center>
 Możemy teraz obliczyć całkę
-<center><math>\aligned
+<center><math>\begin{align}
 \int\frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}\,dx
 & = &
@@ Linia 267: / Linia 266: @@
 -\frac{1}{2}\ln\big|2x+1\big|
 -\frac{1}{2x+1}
--\frac{3}{4(2x+1)^2}+c_1,
+-\frac{3}{4(2x+1)^2}+c_1
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math>,</center>
 W ostatniej równości dla uzyskania bardziej eleganckiego wyniku
 zastąpiliśmy stałą <math>C</math> przez nową stałą
-<math>\displaystyle C_1=C+\frac{1}{2}\ln 2,</math>
+<math>C_1=C+\frac{1}{2}\ln 2</math>,
 gdyż zamiast
-<math>\displaystyle -\frac{1}{2}\ln\bigg|x+\frac{1}{2}\bigg|+c</math>
+<math>-\frac{1}{2}\ln\bigg|x+\frac{1}{2}\bigg|+c</math>
 napisaliśmy
 <center><math>-\frac{1}{2}\ln\bigg|x+\frac{1}{2}\bigg|-\frac{1}{2}\ln 2+
 \underbrace{\frac{1}{2}\ln 2+c}_{=c_1}
-\ =\
+=
--\frac{1}{2}\ln\big|2x+1\big|+c_1.
+-\frac{1}{2}\ln\big|2x+1\big|+c_1
-</math></center>
+</math>.</center>
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+<span id="cwiczenie_13_4">{{cwiczenie|13.4.||
 '''(1)'''
 Wyprowadzić wzór rekurencyjny na obliczanie całki
-<math>\displaystyle I_n=\int\frac{dx}{(x^2+1)^n}</math>
+<math>I_n=\int\frac{dx}{(x^2+1)^n}</math>
-dla <math>n=1,2,\ldots.</math>
+dla <math>n=1,2,\ldots</math>.
-Wypisać wzory na <math>I_1,I_2,I_3.</math><br>
+Wypisać wzory na <math>I_1,I_2,I_3</math>.<br>
 '''(2)'''
 Sprowadzić obliczanie całki z ułamka prostego postaci
-<math>\displaystyle
+<math>
 \frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^k}</math>
 (gdzie <math>B^2-4C<0</math>)
 do całki z punktu (1).
-}}
+}}</span>
-{black}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 308: / Linia 307: @@
 <center><math>I_n
-\ =\
+=
 \int\frac{dx}{(x^2+1)^n}
-\ =\
+=
 \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\,dx}_{=I_{n-1}}
--\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx.
+-\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx</math></center>
-</math></center>
-Ostatni składnik policzyć całkując przez części,
+Ostatni składnik policzyć, całkując przez części,
 traktując funkcję podcałkową jako iloczyn
-<math>\displaystyle x\cdot \frac{x}{(x^2+1)^n}.</math><br>
+<math>x\cdot \frac{x}{(x^2+1)^n}</math>.<br>
 '''(2)'''
 Najpierw rozłożyć ułamek na sumę dwóch ułamków:
@@ Linia 325: / Linia 323: @@
 trójmianu z mianownika <math>x^2+Bx+C</math>
 i drugiego, którego licznik jest stały.
-Do obliczenia całki z pierwszego ułamka wykorzystać Zadanie
+Do obliczenia całki z pierwszego ułamka wykorzystać [[#cw_13_2|ćwiczenie 13.2.]] (a).
-[[##z.am1.c.14.010|Uzupelnic z.am1.c.14.010|]](a).
 Obliczenie całki z
 drugiego z ułamków sprowadzić do punktu (1).
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 336: / Linia 333: @@
 <center><math>\int\frac{dx}{x^2+1}
-\ =\
+=
-\mathrm{arctg}\, x+c.
+\mathrm{arctg}\, x+c</math></center>
-</math></center>
 Dla <math>n\ge 2</math> przekształcamy całkę w następujący sposób
 <center><math>I_n
-\ =\
+=
 \int\frac{dx}{(x^2+1)^n}
-\ =\
+=
 \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\,dx}_{=I_{n-1}}
--\underbrace{\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx}_{=J_n}.
+-\underbrace{\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx}_{=J_n}</math></center>
-</math></center>
 Policzmy osobno ostatni składnik
-<math>\displaystyle J_n=x\cdot \frac{x}{(x^2+1)^n}</math>
+<math>J_n=x\cdot \frac{x}{(x^2+1)^n}</math>
 przez części. W tym celu wyznaczmy najpierw pierwotną
 funkcji
-<math>\displaystyle \frac{x}{(x^2+1)^n}</math> przez podstawienie:
+<math>\frac{x}{(x^2+1)^n}</math> przez podstawienie:
 <center><math>\int\frac{x}{(x^2+1)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \left|
 \begin{array} {rcl}
@@ Linia 366: / Linia 361: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^n}
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\frac{t^{-n+1}}{-n+1}+c
-\ =\
+=
-\frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}+c.
+\frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}+c</math></center>
-</math></center>
 Powróćmy teraz do wyliczenia całki <math>J_n</math>:
-<center><math>\aligned
+<center><math>\begin{align}
-J_n
+J_n & =
-& = &
 \left|
 \begin{array} {rclrcl}
 f(x)  & = & x & f'(x) & = & 1\\
-g'(x) & = & \displaystyle \frac{x}{(x^2+1)^n} & g(x) & = &
+g'(x) & = &\frac{x}{(x^2+1)^n} & g(x) & = &
-\displaystyle \frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}
+\frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}
 \end{array}
 \right|\\
-& = &
+& =
 x\cdot\frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}
 -\int\frac{-dx}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}
-\ =\
+=
 \frac{-x}{(2n-2)(x^2-1)^{n-1}}
 +\frac{1}{2n-2}I_{n-1}.
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-Wstawiając otrzymany wynik do wzoru na <math>I_n</math>
+Wstawiając otrzymany wynik do wzoru na <math>I_n</math>,
 dostajemy
 <center><math>I_n
-\ =\
+=
 I_{n-1}
 +\frac{x}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}
 -\frac{1}{2n-2}I_{n-1}
-\ =\
+=
 \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2-1)^{n-1}}
-+\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}.
++\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}</math></center>
-</math></center>
 <center><math>\begin{array} {rcl}
@@ Linia 412: / Linia 404: @@
 \mathrm{arctg}\, x+c\\
 I_2
-& = &\displaystyle
+& = &
 \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\, x+c\\
 I_3
-& = &\displaystyle
+& = &
 \frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^2}
 +\frac{3}{8}\cdot\frac{x}{x^2+1}
@@ Linia 421: / Linia 413: @@
 & \vdots & \\
 I_n
-& =&\displaystyle
+& =&
 \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2-1)^{n-1}}
-+\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}\quad\textrm{dla}\
++\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}\quad\text{dla} n=2,3,4
-n=2,3,4
+\end{array} </math></center>
-\end{array} .
-</math></center>
 '''(2)'''
@@ Linia 432: / Linia 422: @@
 <center><math>\int\frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{b}{2}\cdot
 \underbrace{\int\frac{2x+B}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx}_{=K_1}
 +\bigg(-\frac{bB}{2}+C\bigg)
-\underbrace{\int\frac{1}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx}_{=K_2}.
+\underbrace{\int\frac{1}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx}_{=K_2}</math></center>
-</math></center>
 Całkę <math>K_1</math>
-znamy już z Zadania [[##z.am1.c.14.010|Uzupelnic z.am1.c.14.010|]],
+znamy już z [[#cw_13_2|ćwiczenia 13.2.]],
 a mianowicie:
 <center><math>K_1
-\ =\
+=
 \int \frac{2x+B}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx
-\ =\
+=
-\left\{
+\left\{ \begin{array} {lll}
-\begin{array} {lll}
-\displaystyle
+\ln\big(x^2+Bx+C)+c_1 & \text{dla} & n=1\\
-\ln\big(x^2+Bx+C)+c_1 & \textrm{dla} & n=1\\
-\displaystyle
+\frac{-1}{n-1}\cdot\frac{1}{(x^2+Bx+C)^{n-1}}+c_1 & \text{dla} & n\ge 1.
-\frac{-1}{n-1}\cdot\frac{1}{(x^2+Bx+C)^{n-1}}+c_1
-& \textrm{dla} & n\ge 1.
 \end{array}
-\right.
+\right . </math></center>
-</math></center>
 Całkę <math>K_2</math> sprowadzimy do całki z punktu (1)
 przez odpowiednie podstawienie
-<center><math>\alignedK_2
+<center><math>\begin{align}K_2
 & = &
 \int\frac{1}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx
-\ =\
+=
-\int\frac{dx}{\displaystyle\bigg[\bigg(x+\frac{B}{2}\bigg)^2+\underbrace{\frac{4C-B^2}{4}}_{=S}\bigg]^n}
+\int\frac{dx}{\bigg[\bigg(x+\frac{B}{2}\bigg)^2+\underbrace{\frac{4C-B^2}{4}}_{=S}\bigg]^n}
-\ =\
+=
 \frac{1}{S^n}
-\int\frac{dx}{\displaystyle\bigg[\bigg(\frac{x+\frac{B}{2}}{\sqrt{S}}\bigg)^2+1\bigg]^n}\\
+\int\frac{dx}{\bigg[\bigg(\frac{x+\frac{B}{2}}{\sqrt{S}}\bigg)^2+1\bigg]^n}\\
 & = &
 \left|
 \begin{array} {rcl}
-\displaystyle
 \frac{x+\frac{B}{2}}{\sqrt{S}} & = & t\\
 dx & = & \sqrt{S}\,dt
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \frac{\sqrt{S}}{S^n}\int\frac{dt}{(1+t)^n}.
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+{{cwiczenie|13.5.|cw_13_5|
 Obliczyć całkę
-<math>\displaystyle
+<math>
-\int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx</math>
+\int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx</math>.
 }}
-{black}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 499: / Linia 485: @@
 stopnia mianownika).
 Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste.
-Scałkować ułamki proste według metod z Zadania
+Scałkować ułamki proste według metod z [[#cw_13_4|ćwiczenie 13.4.]]
-[[##z.am1.c.14.030|Uzupelnic z.am1.c.14.030|]].
+</div></div>
-{}<math>\Box</math></div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 509: / Linia 494: @@
 mianowniku.
 Następnie dokonujemy rozkładu na ułamki proste.
-Było to już zrobione na wykładzie
+Było to już zrobione na wykładzie (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 13: Całka nieoznaczona#przyklad_13_19|przykład 13.19.]]). Mamy
-(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.13.0200|Uzupelnic p.new.am1.w.13.0200|]]).
-Mamy
 <center><math>\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}
-\ =\
+=
 x+
-\frac{x}{x^2+2x+3}+\frac{x-1}{x^2-2x+3}.
+\frac{x}{x^2+2x+3}+\frac{x-1}{x^2-2x+3}</math></center>
-</math></center>
 Zatem nasza całka wynosi
 <center><math>\int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx
-\ =\
+=
 \int x\,dx
 +
@@ Linia 530: / Linia 512: @@
 </math></center>
-Policzmy każdą z całek osobno według metody
+Policzmy każdą z całek osobno według metody opisanej z [[#cw_13_3|ćwiczenie 13.3.]]
-opisanej z Zadaniu [[##z.am1.c.14.030|Uzupelnic z.am1.c.14.030|]].
 <center><math>K_1
-\ =\
+=
 \underbrace{\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_1}
--\underbrace{\int\frac{1}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_2}.
+-\underbrace{\int\frac{1}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_2}</math></center>
-</math></center>
 Teraz z kolei mamy
 <center><math>L_1
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\ln\big(x^2+2x+3\big)+c_1
 </math></center>
@@ Linia 548: / Linia 528: @@
 oraz
-<center><math>\aligned
+<center><math>\begin{align}
 L_2
 & = &
 \int\frac{1}{(x+1)^2+2}\,dx
-\ =\
+=
-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\displaystyle\bigg(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\bigg)^2+1}\,dx
+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\bigg(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\bigg)^2+1}\,dx
-\ =\
+=
 \left|
 \begin{array} {lll}
-\displaystyle
 \frac{x+1}{\sqrt{2}} & = & t\\
 \,dx & = & \sqrt{2}\,dt
@@ Linia 564: / Linia 544: @@
 & = &
 \frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dt}{t^2+1}
-\ =\
+=
 \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c_2,
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
 zatem
 <center><math>K_1
-\ =\
+=
 \ln\big(x^2+2x+3\big)
 +
-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c_3.
+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c_3</math></center>
-</math></center>
 Przechodząc do drugiej z całek, mamy
 <center><math>K_2
-\ =\
+=
 \int\frac{x-1}{x^2-2x+3}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^2-2x+3}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\ln\big(x^2-2x+3\big)+c_4
 </math></center>
@@ Linia 591: / Linia 570: @@
 <center><math>\int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}x^2
 +
@@ Linia 598: / Linia 577: @@
 \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}
 +
-\frac{1}{2}\ln\big(x^2-2x+3\big)+c_5.
+\frac{1}{2}\ln\big(x^2-2x+3\big)+c_5</math></center>
-</math></center>
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+{{cwiczenie|13.6.|cw_13_6|
 Obliczyć całki:<br>
-'''(1)''' <math>\displaystyle\int\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}\,dx</math><br>
+'''(1)''' <math>\int\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}\,dx</math>,<br>
-'''(2)''' <math>\displaystyle\int\sqrt{1+4x^2}\,dx</math>
+'''(2)''' <math>\int\sqrt{1+4x^2}\,dx</math>.
 }}
-{black}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 '''(1)--(2)'''
 Wykorzystać metodę współczynników nieoznaczonych.
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 623: / Linia 601: @@
 <center><math>\int\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}\,dx
-\ =\
+=
 a\sqrt{4x^2+x}
 +k
-\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}}.
+\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}}</math></center>
-</math></center>
-Aby wyznaczyć <math>a</math> i <math>k,</math>
+Aby wyznaczyć <math>a</math> i <math>k</math>,
 różniczkujemy stronami i dostajemy:
 <center><math>\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}
-\ =\
+=
 \frac{a(8x+1)}{2\sqrt{4x^2+x}}
-+\frac{k}{\sqrt{4x^2+x}},
++\frac{k}{\sqrt{4x^2+x}}</math>,</center>
-</math></center>
-a mnożąc stronami przez <math>\displaystyle\sqrt{4x^2+x},</math> dostajemy:
+a mnożąc stronami przez <math>\sqrt{4x^2+x}</math>, dostajemy:
 <center><math>1+4x
-\ =\
+=
-ax+\frac{1}{2}a+k,
+ax+\frac{1}{2}a+k</math>,</center>
-</math></center>
-stąd <math>a=1</math> i <math>k=\frac{1}{2}.</math>
+stąd <math>a=1</math> i <math>k=\frac{1}{2}</math>.
 Ponadto obliczamy całkę
-<center><math>\aligned\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}}
+<center><math>\begin{align}\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}}
 & = &
 \int\frac{dx}{\sqrt{(2x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}}}
-\ =\
+=
 \left|
 \begin{array} {rcl}
@@ Linia 658: / Linia 633: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}}\\
 & = &
 \frac{1}{2}
 \ln\left|t+\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}\right|+c
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}
 \ln\left|2x+\frac{1}{4}+\sqrt{4x^2+x}\right|+c.
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
 '''(2)'''
@@ Linia 672: / Linia 647: @@
 <center><math>\int\sqrt{1+4x^2}\,dx
-\ =\
+=
-\int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx,
+\int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx</math>,</center>
-</math></center>
 więc możemy policzyć ostatnią całkę metodą
@@ Linia 681: / Linia 655: @@
 <center><math>\int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx
-\ =\
+=
 (ax+b)\sqrt{1+4x^2}
 +k
-\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}.
+\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}</math></center>
-</math></center>
-Aby wyznaczyć <math>a,b</math> i <math>k,</math>
+Aby wyznaczyć <math>a,b</math> i <math>k</math>,
 różniczkujemy stronami i dostajemy:
 <center><math>\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}
-\ =\
+=
 a\sqrt{1+4x^2}
 +\frac{(ax+b)\cdot 8x}{2\sqrt{1+4x^2}}
-+\frac{k}{\sqrt{1+4x^2}},
++\frac{k}{\sqrt{1+4x^2}}</math>,</center>
-</math></center>
-a mnożąc stronami przez <math>\displaystyle\sqrt{1+4x^2},</math> dostajemy:
+a mnożąc stronami przez <math>\sqrt{1+4x^2}</math>, dostajemy:
 <center><math>1+4x^2
-\ =\
+=
 a(1+4x^2)
-+4ax^2+4bx+k,
++4ax^2+4bx+k</math>,</center>
-</math></center>
-stąd <math>a=\frac{1}{2},b=0</math> i <math>k=\frac{1}{2}.</math>
+stąd <math>a=\frac{1}{2},b=0</math> i <math>k=\frac{1}{2}</math>.
 Ponadto obliczamy całkę
-<center><math>\aligned\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}
+<center><math>\begin{align}\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}
 & = &
 \left|
@@ Linia 716: / Linia 687: @@
 \end{array}
 \right|
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\\
 & = &
 \frac{1}{2}
 \ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+c
-\ =\
+=
 \frac{1}{2}
 \ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right|+c.
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-{}<math>\Box</math></div></div>
+</div></div>