Użytkownik:Opozda

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie do geometrii analitycznej w R^n.

Sylabus

Autorzy

• Barbara Opozda
• Małgorzata Downarowicz
• Dominik Kwietniak

Wymagania wstępne

• Podstawy logiki i teorii mnogości
• Wiadomości ze szkoły.

Zawartość

• Ciała i przestrzenie wektorowe:
  • grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała,
  • przykłady ciał, ciało liczb zespolonych,
  • definicja przestrzeni wektorowej,
  • podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach,
  • kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni,
  • przestrzeń dualna, baza dualna.
• Odwzorowania liniowe:
  • definicja odwzorowania liniowego,
  • jądro i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego,
  • monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm,
  • odwzorowanie dualne.
• Macierze:
  • podstawowe pojęcia,
  • działania na macierzach,
  • macierz odwzorowania liniowego,
  • mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych,
  • macierz dualna a odwzorowanie dualne,
  • rząd macierzy,
  • macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy,
  • ślad macierzy i endomorfizmu.
• Układy równań liniowych:
  • twierdzenie Kroneckera-Capellego,
  • zbiór rozwiązań układu równań liniowych,
  • badanie układu równań.
• Algebra wieloliniowa, wyznacznik:
  • formy wieloliniowe antysymetryczne, przestrzeń wektorowa r-form,
  • mnożenie zewnętrzne form,
  • wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika,
  • minory i rząd macierzy,
  • wzory Cramera,
  • wzory na wyrazy macierzy odwrotnej.
• Endomorfizmy:
  • wartość własna i wektor własny,
  • wielomian charakterystyczny,
  • bazy i macierze Jordana.
• Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
  • iloczyn skalarny,
  • norma wyznaczona przez iloczyn skalarny,
  • nierówność Schwarza,
  • baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta,
  • macierz i wyznacznik Grama,
  • izometrie liniowe, macierz ortogonalna.
• Geometria analityczna:
  • przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna R^n,
  • układ bazowy,ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych,
  • podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych,
  • równoległość podprzestrzeni afinicznych,
  • podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych,
  • opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych,
  • odległość punktów i niektórych figur,
  • zbiory wypukłe,
  • odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa,

Literatura

1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN,Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
3. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
4. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, PWN, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979, Warszawa 2006.

Moduły

• Ciała i przestrzenie wektorowe I (Ćwiczenia)
• Ciała i przestrzenie wektorowe II (Ćwiczenia)
• Ciała i przestrzenie wektorowe III (Ćwiczenia)
• Odwzorowania liniowe (Ćwiczenia)
• Macierze I (Ćwiczenia)
• Macierze II (Ćwiczenia)
• Układy równań liniowych (Ćwiczenia)
• Algebra wieloliniowa I (Ćwiczenia)
• Wyznaczniki (Ćwiczenia)
• Endomorfizmy (Ćwiczenia)
• Przestrzenie euklidesowe (Ćwiczenia)
• Geomeria analityczna I (Ćwiczenia)
• Geometria analityczna II (Ćwiczenia)
• Geometria analityczna III (Ćwiczenia)
• Geometria analityczna IV (Ćwiczenia)

Literatura uzupełniająca

opcjonalnie