TC Zadania do ćwiczeń

Układy logiczne

Zadanie 1.

Zminimalizować metodą tablic Karnaugha następujące funkcje boolowskie:

a) $f=\sum (0,1,2,9,11,12,13,27,28,29)\,$ ,

b) $f=\sum [4,5,10,11,15,18,20,24,26,30,31,(9,12,14,16,19,21,25)]\,$.

---

Zadanie 2.

Uprościć następujące wyrażenie:

$Y=({\overline {A}}+{\overline {B}}+C+D)(A+{\overline {B}}+{\overline {C}}+D)+(A+{\overline {B}}+C+D)({\overline {A}}+B)(A+{\overline {D}})$

---

Zadanie 3.

Funkcję boolowską opisaną zbiorami F i R zminimalizować metodą ekspansji.

F:

00000

11000

11010

01110

11100

01011

R:

11101

00010

00110

10001

01100

---

Zadanie 4.

Dla funkcji $F\,$ opisanej podziałami $P_{1}\,$ do $P_{8}\,$ oraz $P_{F}\,$ zmienne niezbędne są $x_{6}\,$ oraz $x_{8}\,$. Należy wyznaczyć wszystkie realizacje minimalno argumentowe tej funkcji.

$P_{1}=({\overline {1,6,11,12}};{\overline {2,3,4,5,7,8,9,10,}})\,$

$P_{2}=({\overline {1,11,12}};{\overline {2,3,4,5,6,7,8,9,10,}})\,$

$P_{3}=({\overline {2,5,7,10}};{\overline {1,3,4,6,8,9,11,12}})\,$

$P_{4}=({\overline {2,4,7,8,9,10}};{\overline {1,3,5,6,11,12}})\,$

$P_{5}=({\overline {2,3,5,6,7,10,12}};{\overline {1,4,8,9,11}})\,$

$P_{6}=({\overline {1,3,5,7,8,10,11,12}};{\overline {2,4,6,9}})\,$

$P_{7}=({\overline {1,2,4,6,7,8,9,11,12}};{\overline {3,5,8,10}})\,$

$P_{8}=({\overline {1,4,6,8,10}};{\overline {2,3,5,7,9,11,12}})\,$

$P_{F}=({\overline {1,2,3,5,6,8,9,11,12}};{\overline {4,7,10}})\,$

---

Zadanie 5.

Dla funkcji opisanej w tablicy należy wyznaczyć dekompozycje:

a) $H(G(x_{1},x_{5}),\,x_{2},x_{3},x_{4})\,$ ,

b) $H(G(x_{1},x_{5}),\,G(x_{3},x_{4}),\,x_{2})\,$ ,

	$x_{1}\,$	$x_{2}\,$	$x_{3}\,$	$x_{4}\,$	$x_{5}\,$	$f\,$
1	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	1	1	0
3	0	1	0	1	0	0
4	0	1	1	1	1	0
5	0	1	1	0	0	0
6	0	0	0	1	1	1
7	0	1	0	0	0	1
8	0	1	1	0	1	1
9	1	1	0	1	0	1
10	1	0	0	1	1	1
11	1	0	0	1	0	1

---

Zadanie 6.

Dla funkcji $F\,$ opisanej tablicą zmienne niezbędne są $x_{4}\,$ oraz $x_{6}\,$. Należy wyznaczyć wszystkie minimalne zbiory argumentów, od których zależy ta funkcja oraz jej minimalne wyrażenie boolowskie z najmniejszą liczbą argumentów.

	$x_{1}\,$	$x_{2}\,$	$x_{3}\,$	$x_{4}\,$	$x_{5}\,$	$x_{6}\,$	$x_{7}\,$	$F\,$
1	0	1	1	0	1	0	0	1
2	1	1	1	0	0	1	1	1
3	1	0	0	1	0	1	0	1
4	1	1	0	1	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0	1	1	1
6	0	1	1	1	0	0	0	1
7	1	0	0	0	0	1	0	0
8	1	1	0	0	1	0	1	1
9	1	1	0	1	1	1	0	1
10	1	0	0	0	0	0	1	0
11	0	1	1	0	1	1	0	1
12	0	1	1	0	0	1	0	1

---

Zadanie 7.

Zminimalizować i zrealizować na przerzutnikach typu D oraz JK automaty podane w tablicach a) oraz b).

Tablica a)

$S\,\smallsetminus ^{X}$	$a\,$	$b\,$	$c\,$	$d\,$	$a\,$	$b\,$	$c\,$	$d\,$
1	-	3	4	2	-	1	1	1
2	4	-	-	-	0	-	-	-
3	6	6	-	-	0	1	-	-
4	-	6	1	5	-	0	0	1
5	-	-	2	-	-	-	1	-
6	3	-	2	3	0	-	0	1

Tablica b)

$S\,\smallsetminus ^{X}$	$0\,$	$1\,$	$0\,$	$1\,$
1	1	7	0	0
2	4	3	1	1
3	-	5	-	0
4	-	2	-	0
5	4	-	1	-
6	8	-	1	-
7	-	6	-	0
8	-	-	-	1

---

Zadanie 8.

Zaprojektować układ synchroniczny o wejściach x, s oraz wyjściu y, sygnalizujący jedynką na wyjściu y fakt, że na wejściu x pojawia się sekwencja 0111, gdy s = 0, natomiast sekwencja 1000, gdy s = 1. Założyć, że zmiana sygnału s może nastąpić tylko w stanie początkowym $s_{0}\,$.

---

Zadanie 9.

Zaprojektować synchroniczny układ do sprawdzania poprawności transmisji informacji przesyłanej w kodzie „2 z 5”, tzn. sprawdzający, czy na wejściu w czasie pięciu kolejnych taktów zegarowych pojawiły się dokładnie dwie jedynki.

---

Zadanie 10.

Zaprojektować asynchroniczny układ o wejściach $x_{1}\,$ i $x_{2}\,$ oraz wyjściach $z_{1}\,$ i $z_{2}\,$ taki, że wyjściowa kombinacja w dowolnej chwili jest równa poprzedniej kombinacji wejściowej.

---

Zadanie 11.

Zaprojektować asynchroniczny układ o dwóch wejściach i dwóch wyjściach. Działanie układu ma być następujące: wyjście $y_{i}\,$ powinno przyjmować wartość 1, jeśli wejście $x_{i}\,$ zmieniło swój stan. Zmiana odpowiedniego wyjścia na 0 następuje, jeśli odpowiadające mu wejście (o tym samym indeksie) nie zmienia swego stanu, a zmienia się stan drugiego wejścia.

---

Układy cyfrowe

Zadanie 12.

Zaprojektować licznik mod 8 z wejściem zezwalającym E(nable). Przerzutniki do realizacji dobrać tak, aby uzyskać najprostszy schemat logiczny licznika. Schemat ten należy narysować.

---

Zadanie 13.

Zaprojektować układ sterowania (tzw. dekoder mikrorozkazu DMZ) pracą urządzeń $y_{1},...y_{8}\,$ , spośród których w poszczególnych taktach pracują wyłącznie następujące (wg indeksów):

$Z_{1}=1,5,7$

$Z_{2}=1,5,8$

$Z_{3}=2,3,4$

$Z_{4}=2,3,6$

Urządzenia są inicjowane do pracy sygnałem „1” na wyjściach $y_{i}\,$. Odpowiedni DMZ należy zaprojektować (patrz rysunek) jako układ o minimalnej liczbie wejść (wejściami DMZ są wyjścia pamięci). DMZ może być zbudowany wyłącznie z dekoderów 1 z $2^{n}\,$.

---

Zadanie 14.

Wiedząc, że pamięć ROM jest wypełniona wyłącznie słowami z poniższej tabelki zaprojektować układ zbudowany z dekoderów (jak na rysunku) umożliwiający generację tych słów za pomocą pamięci z możliwie minimalną liczbą wyprowadzeń. Podać schemat układu (dokładne oznaczenia wyjść dekoderów) i sposób wypełnienia pamięci.

Tablica:

$y_{1}\,$	$y_{2}\,$	$y_{3}\,$	$y_{4}\,$	$y_{5}\,$	$y_{6}\,$	$y_{7}\,$	$y_{8}\,$
0	0	0	1	1	0	1	0
0	1	1	0	0	1	0	0
0	0	0	1	0	0	1	1
1	0	1	0	0	1	0	0

---

Zaawansowane metody syntezy logicznej

Zadanie 15.

W tablicy dana jest funkcja f(a,b,c,d,e):

$abc\,\smallsetminus ^{de}$	$00\,$	$01\,$	$11\,$	$10\,$
000	1	2	-	3
001	4	5	6	-
011	-	7	8	9
010	10	-	11	12
110	-	13	14	-
111	15	-	-	16
101	17	-	-	18
100	-	19	20	-

$P_{F}=({\overline {1,10,17}};{\overline {5,7,19}};{\overline {6,8,14}};{\overline {3,12,16}};{\overline {2,13}};{\overline {4,15}};{\overline {9,18}};{\overline {11,20}})$

Należy obliczyć dekompozycję nierozłączną dla U = {d, e}. W rozwiązaniu podać tablice funkcji G oraz H. Kodowanie bloków PF przyjąć dowolne wg NKB.

---

Zadanie 16.

Dla funkcji F podanej w tablicy znaleźć dekompozycję o strukturze jak na rysunku. W rozwiązaniu podać tablice prawdy funkcji $G_{1},\,G_{0}\,$ oraz H.

Wskazówki:

a) najpierw obliczyć dekompozycję $H(x_{1},x_{2},x_{3},G_{0}(x_{1},x_{4},x_{5}))$ ;

b) podział $\Pi _{G}\,$ przy obliczaniu bloku $G_{0}\,$ należy dobrać stosownie do dalszej dekompozycji.

Tablica:

	$x_{1}\$	$x_{2}\$	$x_{3}\$	$x_{4}\$	$x_{5}\$	$y_{1}\$	$y_{2}\$	$y_{3}\$
1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	1	1	0	1	0
3	0	1	0	1	0	1	0	0
4	0	1	1	1	1	0	0	0
5	0	1	1	0	1	0	0	1
6	0	1	0	0	0	0	0	1
7	1	1	0	1	0	0	0	0
8	1	0	0	1	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0	0	0	1
10	1	0	1	1	1	0	0	0

Rysunek:

---

Zadanie 17.

Obliczyć dla jakich $U=\{x_{i},x_{j},x_{k}\}$ spośród $\{x_{1},x_{2},x_{4}\}\,$, $\{x_{1},x_{4},x_{5}\}\,$, $\{x_{2},x_{3},x_{4}\}\,$, $\{x_{3},x_{4},x_{5}\}\,$ funkcja $F\,$ z tablicy ma dekompozycję $F=H(x_{i},x_{j},x_{k},G_{0})$. Obliczyć te dekompozycje oraz wykazać, że dla żadnej z nich nie istnieje dekompozycja $F=H(G_{1}(x_{i},x_{j},x_{k}),G_{0})$.

	$x_{1}\$	$x_{2}\$	$x_{3}\$	$x_{4}\$	$x_{5}\$	$y_{1}\$	$y_{2}\$	$y_{3}\$
1	0	0	0	1	1	1	0	0
2	0	0	0	1	0	1	0	1
3	0	1	1	0	0	0	1	1
4	0	1	1	0	1	0	1	0
5	1	1	0	0	0	0	0	1
6	1	1	0	1	0	0	0	0
7	1	1	1	0	0	1	0	1
8	1	1	1	1	0	0	1	0
9	1	0	0	0	1	1	1	1
10	1	0	0	1	1	1	0	0

---

Zadanie 18.

Dla funkcji $F\,$ podanej w tablicy obliczyć wszystkie minimalne zbiory argumentów, od których ta funkcja zależy. Zmienne niezbędne tej funkcji to: $x_{2},x_{3},x_{7}\,$ .

Tablica

	$x_{1}\$	$x_{2}\$	$x_{3}\$	$x_{4}\$	$x_{5}\$	$x_{6}\$	$x_{7}\$	$x_{8}\$	$x_{9}\$	$y_{1}\$	$y_{2}\$
1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0
2	1	0	0	0	0	1	1	0	1	0	0
3	0	0	1	0	1	1	1	0	0	0	1
4	1	0	1	0	0	0	1	1	0	0	0
5	1	0	1	0	1	1	0	1	1	1	1
6	0	0	0	1	0	0	1	0	1	1	1
7	1	1	1	0	0	0	1	1	0	1	0
8	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0
9	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1
10	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0	1

---

Zadanie 19.

Funkcje z tablicy zrealizować na minimalnej liczbie komórek FPGA o wymiarach 3 wejścia, 1 wyjście każda. Wskazówka: najlepsze rozwiązanie istnieje, gdy do bloku H dołączona jest para zmiennych wybranych spośród $x_{1},x_{3},x_{5}\,$.

Tablica

	$x_{1}\$	$x_{2}\$	$x_{3}\$	$x_{4}\$	$x_{5}\$	$y_{1}\$	$y_{2}\$	$y_{3}\$
1	0	0	0	0	0	0	1	0
2	0	0	0	1	0	0	1	1
3	1	0	0	1	0	1	0	0
4	1	0	1	1	0	1	1	1
5	0	1	0	0	0	0	1	1
6	1	0	1	1	1	1	1	0
7	0	1	0	0	1	1	0	0
8	0	1	1	0	1	1	1	1
9	1	1	1	0	1	1	1	0
10	1	1	1	1	1	1	0	1

---