SW wykład 9 - Slajd4
Dziedziny podstawowe Suma i produkt Suma spłaszczona i produkt spłaszczony Przestrzeń funkcji ciągłych Izomorfizm dziedzin Konstruowanie funkcji ciągłych Złożenie funkcji i indeksowanie Inne konstrukcje Operator punktu stałego Równania stałopunktowe Równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Problemy Dziedziny refleksywne Rozwiązanie naiwne dziedziny Scotta
W końcu, ostatnia tu rozważana operacja budowania zbioru łańcuchowo zupełnego z dwóch zbiorów łańcuchowo zupełnych tworzy zbiór łańcuchowo zupełny funkcji ciągłych z jednego zbioru w drugi. Określony na funkcjach porządek to uogólnienie porządku "po współrzędnych": dwie funkcje są w (właśnie definiowanej) relacji porządku, gdy dla każdego argumentu (ze wspólnej dla nich dziedziny) ich wyniki są w relacji porządku (relacji porządku w zbiorze łańcuchowo zupełnym, który jest ich wspólną przeciwdziedziną).
Łatwo widać, że elementem najmniejszym w tym porządku jest funkcja stała, która każdemu argumentowi przyporządkowuje element najmniejszy. Kresy łańcuchów funkcji są budowane znów po współrzędnych: dla dowolnego argumentu, wartość kresu górnego łańcucha funkcji na tym argumencie jest kresem górnym łańcucha wartości tych funkcji na tymże argumencie. Jest tu ukryty prosty fakt: tak określony kres górny łańcucha funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Zatem: zbiór funkcji ciągłych z jednego zbioru łańcuchowo zupełnego w drugi, z tak zdefiniowanym porządkiem, tworzy zbiór łańcuchowo zupełny.
Warto zauważyć, że tak zdefiniowany porządek na zbiorze funkcji ciągłych nie zależy od porządku na dziedzinie tych funkcji. Możemy więc nieco uogólnić tę konstrukcję zbioru łańcuchowow zupełnego funkcji do funkcji z dowolnego zbioru w zbiór łańcuchowo zupełny (wymaganie ciągłości funkcji nie ma wtedy sensu).
