Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 4: Przestrzeń probabilistyczna II

Ćwiczenia

Ćwiczenie 4.1

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na roku liczącym 100 studentów znajdziemy dwie osoby obchodzące urodziny tego samego dnia?

Tutaj zdarzeniem elementarnym jest 100-elementowy ciąg o elementach będących kolejnymi dniami roku. Przyjmując upraszczające założenia, że rok ma 365 dni i że we wszystkich dniach roku rodzi się mniej więcej tyle samo ludzi mamy do czynienia z zagadnieniem równoważnym losowaniu ze zwracaniem - 100 razy losujemy datę. Mamy więc $\mathrm{\#}\mathrm{\Omega }=365^{100}$ (jest to naprawdę duża liczba). W tym zadaniu wygodniej będzie wyznaczyć zdarzenie przeciwne do interesującego nas zdarzenia, oznaczmy je przez $A$, a następnie skorzystać z własności 4 z twierdzenia 3.2. Zdarzenie $A$ składa się ze zdarzeń elementarnych odpowiadających ciągom, których wszystkie wyrazy są różne. Ponieważ mając wybrany $100$-elementowy zbiór, możemy z niego utworzyć $100!$ różnych ciągów, a z $365$ elementów możemy utworzyć $\left({}^{365}{}_{100}\right)$ różnych zbiorów, więc $\mathrm{\#}A$ jest równa iloczynowi tych dwóch liczb. W takim razie:

$P(A)=\frac{100!\left({}^{365}{}_{100}\right)}{365^{100}}$,

natomiast interesujące nas prawdopodobieństwo wynosi $1-P(A)$. Używając programu Maple, wyliczamy:

$P(A)\approx .3072489279\cdot 10^{-6}$ oraz $1-P(A)\approx .9999996928$.

Warto także przyjrzeć się wynikom otrzymanym dla innych liczebności grupy. Bardzo pomocny okazuje się tu arkusz kalkulacyjny wbudowany w Maple:

Ćwiczenie 4.2

Niech doświadczenie polega na rzucie kostką (symetryczną) - rzucamy nią tak długo, aż wypadnie "6". Niech ${\omega }_i$ oznacza zdarzenie, że za $i$-tym razem po raz pierwszy wypadła "6". Policzmy prawdopodobieństwo $p_i$ tego zdarzenia. Mamy tu następny przykład losowania ze zwracaniem - $i$ losowań ze zbioru $6$-elementowego. Łatwo wyliczyć, że $p_i=(\frac{5}{6}{)}^{i-1}\cdot \frac{1}{6}$ dla dowolnego $i=1,2,3\dots$. Przyjmijmy zatem $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots \}$ oraz $\mathrm{\Sigma }={𝒫}(\mathrm{\Omega })$. Dla dowolnego $A\in \mathrm{\Sigma }$ definiujemy:

$P(A)=\sum _{i:{\omega }_i\in A}{p}_i$.

Korzystając z tego, że $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_i=1$, można sprawdzić, że $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ stanowi przestrzeń probabilistyczną.

Aby lepiej sobie wyobrazić opisaną powyżej sytuację, przeprowadźmy dziesięć doświadczeń polegających na rzucaniu kostką do momentu wypadnięcia "6". Oto wyniki:

$2,2,4,3,3,1,5,3,1,4,6;$ $2,4,1,1,1,6;$ $6;$ $3,3,1,1,3,1,2,1,2,5,1,4,4,3,1,6;$ $5,2,1,6;$ $1,2,5,6;$ $3,1,5,2,5,4,6;$ $2,6;$ $2,3,4,6;$ $2,1,1,1,1,4,1,1,6$

Load video

Local File

Local File might collect personal data.

Continue Dismiss

Ćwiczenie 4.3

Spośród 5 kul niebieskich, 3 kul czerwonych oraz 2 kul zielonych, wybrano bez zwracania 6 kul. Podaj kilka możliwych wyników tego losowania.

Następujące wyniki zostały wygenerowane przez program Maple:

$[n,n,c,c,z,z]$,

$[n,n,n,n,c,z]$,

$[n,n,n,c,c,z]$,

$[n,n,n,n,c,z]$,

$[n,n,c,c,z,z]$,

$[n,n,n,n,c,z]$,

$[n,n,n,c,c,z]$

Load video

Local File

Local File might collect personal data.

Continue Dismiss

Ćwiczenie 4.4

W nawiązaniu do poprzedniego zadania: jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul: (1) są dokładnie 3 kule niebieskie? (2) są 3 kule niebieskie, 2 kule czerwone (a więc 1 kula zielona)?

Oto odpowiedź na pierwsze pytanie: Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}5\\3\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}5\\3\end{array} \right)}{ \left(\begin{array} {@{}c@{}}10\\6\end{array} \right)} = \frac{10}{21}} .

A oto odpowiedź na drugie pytanie: Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}5\\3\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}3\\2\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}2\\1\end{array} \right)}{\left(\begin{array} {@{}c@{}}10\\6\end{array} \right)} = \frac {2}{7}}

Ćwiczenie 4.5

Rozwiąż zadanie poprzednie, zakładając, że losujemy kule ze zwracaniem.

Odpowiedź na pierwsze pytanie: Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}6\\3\end{array} \right)\cdot 5^3 \cdot 5^3}{10^6} = \frac {5}{16}} .

Odpowiedź na drugie pytanie: Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}6\\3\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}3\\2\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array} {@{}c@{}}1\\1\end{array} \right)\cdot 5^3 \cdot 3^2\cdot 2^1}{10^6} = \frac {27}{200}} .

Load video

Local File

Local File might collect personal data.

Continue Dismiss

---

Zadanie 4.1

W stawie pływa nieznana liczba ryb, w tym 20 ryb jest oznaczonych. Podczas odłowu $30$ ryb znaleziono $5$ znaczonych. Oszacuj liczbę ryb w stawie, zakładając, że jest to taka liczba $N$, dla której nasz wynik jest najbardziej prawdopodobny.

Komentarz. Otrzymana wielkość $N$ służy jako przybliżenie prawdziwej liczby ryb w stawie. Obliczanie przybliżonych wielkości w powyższy sposób nazywa się estymacją metodą największej wiarygodności, a uzyskana wielkość - estymatorem największej wiarygodności.

Zadanie 4.2
Skonstruować przestrzeń probabilistyczną, opisującą następujący eksperyment. Z urny zawierającej $n$ czarnych i $m$ niebieskich kul losujemy kolejno $k$ kul: (a) bez zwracania, (b) ze zwracaniem; interesuje nas liczba wyciągniętych niebieskich kul.

Zadanie 4.3
Wylosowano dwie liczby $a$ i $b$ z odcinka $(0,1)$. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że odcinek o końcach $a$, $b$ jest dłuższy: (a) od odcinka $(0,\frac{1}{2})$, (b) od odcinka o lewym końcu równym zeru.

Zadanie 4.4
Wylosowano liczby $a$, $b$ i $c$ z odcinka $(0,1)$. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: (a) od $a+b+c<1$, (b) z odcinków o długościach $a$, $b$ i $c$ można zbudować trójkąt.

Zadanie 4.5
Z urny zawierającej 5 kul niebieskich, 3 kule czarne oraz 2 kule zielone losujemy 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: (a) otrzymamy 2 kule niebieskie, 1 kulę czarną i 1 kulę zieloną, (b) otrzymane kule nie będą czerwone, (c) otrzymamy kule tylko dwóch kolorów, (d) otrzymamy kule w trzech kolorach.

W każdym przypadku rozważ zarówno losowanie ze zwracaniem, jak i losowanie bez zwracania.