Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka (UW) Ćwiczenia 4

Rozkład dwumianowy i Poissona

Zadanie 1 (Kształt rozkładu dwumianowego)

Rozważmy zmienną $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Binom</mrow>}(n,p)$. Niech $K=\lfloor (n+1)p\rfloor$. Pokazać, że $P(X=k)$ jest funkcją niemalejącą dla $k\le K$, oraz malejącą dla $k\ge K$.

Zadanie 2 (Kształt rozkładu Poissona)

Rozważmy zmienną $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Pois</mrow>}(\lambda )$. Niech $K=\lfloor \lambda \rfloor$. Pokazać, że $P(X=k)$ jest funkcją rosnącą dla $k\le K$, oraz malejącą dla $k\ge K$.

Zadanie 3 (Rozkład Poissona jako granica rozkładów dwumianowych)

Pokazać, że jeśli $n_i\to \mathrm{\infty }$ oraz $n_i{p}_i\to \lambda$ (a zatem $p_i\to 0$ ) to rozkłady $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Binom</mrow>}(n_i,p_i)$ zbiegają do rozkładu $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Pois</mrow>}(\lambda )$.

Uwaga: Chodzi tu o zbieżność punktową, tzn. zbieżność prawdopodobieństw przyjęcia każdej konkretnej wartości.

Zadanie 4

Idziemy na przyjęcie na którym jest 500 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładnie dwie osoby będą miały tę samą datę urodzin (tj. miesiąc/dzień) co my? Rozwiązać na dwa sposoby:

1. użyć rozkładu dwumianowego,
2. przybliżyć rozkładem Poissona.

Zadanie 5 (trudne)

Gramy serię gier (mecz) z przeciwnikiem od którego jesteśmy słabsi, tzn. nasze prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej gry jest równe $p<0.5$. Mecz składa się z parzystej liczby gier, wygrywamy jeśli wygramy więcej niż połowę gier. Możemy wybrać liczbę gier w meczu: 0, 2,4,6, itd. Jaką liczbę powinniśmy wybrać, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zwycięstwa?

Wskazówka: Łatwo uzasadnić, że jeśli zagramy bardzo dużo gier to nasze prawdopodobieństwo wygrania zbiega do 0. Podobnie jeśli zagramy 0 gier (musimy wygrać więcej niż połowę!). Co więcej, dość łatwo się przekonać, że zagranie czterech gier może być bardziej opłacalne niż dwóch. A zatem optymalną liczbą gier jest taka liczba

$n$

, że zagranie

$n$

gier daje większe prawdopodobieństwo zwycięstwa, niż zagranie

$n-2$

lub

$n+2$

gier. Sformułuj i znajdź rozwiązanie odpowiednich nierówności.

===Zadanie 6 (Zapałki Banacha) === Palący matematyk nosi po jednym pudełku zapałek w lewej i prawej kieszeni spodni. Za każdym razem, gdy chce zapalić, wyciąga pudełko z losowej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że gdy wyciągnie w końcu puste pudełko, w drugim jest dokładnie $k$ zapałek? Zakładamy, że zabawa zaczyna się z dwoma pudełkami po $n$ zapałek każde. Uwaga: Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa nazywa się ujemnym rozkładem dwumianowym. Czy widzisz dlaczego?

Rozkład geometryczny

Zadanie 1 (Własność braku pamięci)

Pokazać, że zmienna o rozkładzie geometrycznym "nie ma pamięci", tzn. dla dowolnych $0\le m<n$ zachodzi $P(X=n|X>m)=P(X=n-m)$. Nieco mniej formalnie: jeśli czekamy na orła i wypadło już $m$ kolejnych reszek, to prawdopodobieństwo tego, że pierwszy orzeł wypadnie za $n-m$ rzutów jest takie samo jak gdyby całej przeszłości (t.j. $m$ reszek) nie było. Wiele osób sądzi, że $P(X=n|X>m)>P(X=n-m)$ - orzeł niejako "należy się".

Zadanie 2 (Brak pamięci definiuje rozkład geometryczny)

Pokaż, że każda zmienna przyjmująca wartości $1,2,\dots$ i nie mająca pamięci (zobacz poprzednie zadanie) ma rozkład geometryczny. Jest to więc własność definiująca rozkład geometryczny.

Zadanie 3

Rzucamy monetą do momentu, kiedy wypadnie drugi orzeł. Pokazać, że jeśli ten drugi orzeł wypada w $n$-tym rzucie, prawdopodobieństwo wypadnięcia pierwszego orła w $i$-tym rzucie ($i=1,\dots ,n-1$)jest takie samo dla każdego $i$.

Niezależność zmiennych losowych

Zadanie 1 (Stabilność rozkładu dwumianowego i Poissona)

Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z tym samym $p$? Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona?

Zadanie 2

Pokazać, że jeśli $X$ i $Y$ są niezależne i $f,g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$, to $f(X)$ i $g(Y)$ są niezależne.

Zadanie 3 ("Dwumianowe przerzedzanie" rozkładu Poissona)

Jaki jest rozkład liczności potomstwa owada, u którego liczba złożonych jaj ma rozkład Poissona, i z każdego z jaj niezależnie wykluwa się młode z prawdopodobieństwem p?

Zadanie 4

W sytuacji jak w poprzednim zadaniu pokazać, że zmienne losowe opisujące wyklute i niewyklute jaja są niezależne.

Zadanie 5

Niech $X,Y$ będą niezależne o rozkładzie Poissona. Pokazać, że rozkład $X|X+Y=n$ jest dwumianowy, t.j. $P(X=k|X+Y=n)=P(Z=k)$ dla pewnej zmiennej $Z$ o rozkładzie dwumianowym.

Zadanie 6

Pokazać, że jeśli $X,Y$ są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie geometrycznym, to $\min (X,Y)$ też ma rozkład geometryczny.