Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka (UW) Ćwiczenia 4

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Rozkład dwumianowy i Poissona

Zadanie 1 (Kształt rozkładu dwumianowego)

Rozważmy zmienną . Niech . Pokazać, że jest funkcją niemalejącą dla , oraz malejącą dla .

Zadanie 2 (Kształt rozkładu Poissona)

Rozważmy zmienną . Niech . Pokazać, że jest funkcją rosnącą dla , oraz malejącą dla .

Zadanie 3 (Rozkład Poissona jako granica rozkładów dwumianowych)

Pokazać, że jeśli oraz (a zatem ) to rozkłady zbiegają do rozkładu .

Uwaga: Chodzi tu o zbieżność punktową, tzn. zbieżność prawdopodobieństw przyjęcia każdej konkretnej wartości.

Zadanie 4

Idziemy na przyjęcie na którym jest 500 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładnie dwie osoby będą miały tę samą datę urodzin (tj. miesiąc/dzień) co my? Rozwiązać na dwa sposoby:

  1. użyć rozkładu dwumianowego,
  2. przybliżyć rozkładem Poissona.


Zadanie 5 (trudne)

Gramy serię gier (mecz) z przeciwnikiem od którego jesteśmy słabsi, tzn. nasze prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej gry jest równe . Mecz składa się z parzystej liczby gier, wygrywamy jeśli wygramy więcej niż połowę gier. Możemy wybrać liczbę gier w meczu: 0, 2,4,6, itd. Jaką liczbę powinniśmy wybrać, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zwycięstwa?

Wskazówka: Łatwo uzasadnić, że jeśli zagramy bardzo dużo gier to nasze prawdopodobieństwo wygrania zbiega do 0. Podobnie jeśli zagramy 0 gier (musimy wygrać więcej niż połowę!). Co więcej, dość łatwo się przekonać, że zagranie czterech gier może być bardziej opłacalne niż dwóch. A zatem optymalną liczbą gier jest taka liczba , że zagranie gier daje większe prawdopodobieństwo zwycięstwa, niż zagranie lub gier. Sformułuj i znajdź rozwiązanie odpowiednich nierówności.


===Zadanie 6 (Zapałki Banacha) === Palący matematyk nosi po jednym pudełku zapałek w lewej i prawej kieszeni spodni. Za każdym razem, gdy chce zapalić, wyciąga pudełko z losowej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że gdy wyciągnie w końcu puste pudełko, w drugim jest dokładnie zapałek? Zakładamy, że zabawa zaczyna się z dwoma pudełkami po zapałek każde. Uwaga: Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa nazywa się ujemnym rozkładem dwumianowym. Czy widzisz dlaczego?

Rozkład geometryczny

Zadanie 1 (Własność braku pamięci)

Pokazać, że zmienna o rozkładzie geometrycznym "nie ma pamięci", tzn. dla dowolnych zachodzi . Nieco mniej formalnie: jeśli czekamy na orła i wypadło już kolejnych reszek, to prawdopodobieństwo tego, że pierwszy orzeł wypadnie za rzutów jest takie samo jak gdyby całej przeszłości (t.j. reszek) nie było. Wiele osób sądzi, że - orzeł niejako "należy się".

Zadanie 2 (Brak pamięci definiuje rozkład geometryczny)

Pokaż, że każda zmienna przyjmująca wartości i nie mająca pamięci (zobacz poprzednie zadanie) ma rozkład geometryczny. Jest to więc własność definiująca rozkład geometryczny.

Zadanie 3

Rzucamy monetą do momentu, kiedy wypadnie drugi orzeł. Pokazać, że jeśli ten drugi orzeł wypada w -tym rzucie, prawdopodobieństwo wypadnięcia pierwszego orła w -tym rzucie ()jest takie samo dla każdego .

Niezależność zmiennych losowych

Zadanie 1 (Stabilność rozkładu dwumianowego i Poissona)

Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z tym samym ? Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona?

Zadanie 2

Pokazać, że jeśli i są niezależne i , to i są niezależne.

Zadanie 3 ("Dwumianowe przerzedzanie" rozkładu Poissona)

Jaki jest rozkład liczności potomstwa owada, u którego liczba złożonych jaj ma rozkład Poissona, i z każdego z jaj niezależnie wykluwa się młode z prawdopodobieństwem p?

Zadanie 4

W sytuacji jak w poprzednim zadaniu pokazać, że zmienne losowe opisujące wyklute i niewyklute jaja są niezależne.

Zadanie 5

Niech będą niezależne o rozkładzie Poissona. Pokazać, że rozkład jest dwumianowy, t.j. dla pewnej zmiennej o rozkładzie dwumianowym.

Zadanie 6

Pokazać, że jeśli są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie geometrycznym, to też ma rozkład geometryczny.