PS Moduł 8

W języku potocznym pojęcie układu jest kojarzone zwykle z urządzeniem fizycznym, złożonym z pewnych elementów i realizującym założoną funkcję. W analizie teoretycznej operuje się modelami takich urządzeń. Ujęcie transmisyjne jest powszechnie stosowane w analizie obwodów elektrycznych, układów elektronicznych i systemów. Układ traktuje się wówczas jako „czarną skrzynkę” o pewnej liczbie wejść i wyjść. W naszych rozważaniach ograniczamy się do przypadku jednego wejścia i jednego wyjścia, na których występują sygnały skalarne. W przypadku innego rodzaju opisu układu, niż opis czasowy, symbole $x$ i $y$ na rysunku mogą oznaczać inne wielkości, np. transformaty Laplace’a lub transformaty Fouriera sygnałów.

---

Pojęcia liniowości i stacjonarności są dobrze znane z teorii obwodów, gdzie były wprowadzone w odniesieniu do obwodów elektrycznych. Z definicji stacjonarności wynika, że dla klasy układów stacjonarnych kolejność wykonywania operacji $T$ i operacji przesunięcia jest dowolna. Wynika z niej także, że: $T[x(t)]=y(t)\Rightarrow T[x(t-t_{0})]=y(t-t_{0})$ oraz $T{x[n]}=y[n]\Rightarrow T{x[n-n_{0}]}=y[n-n_{0}]$ Dla klasy układów LS można wprowadzić stosunkowo prosty i jednolity opis formalny. Układy LS są nazywane często filtrami LS.

---

Układami liniowymi są np. obwody RLC zawierające jedynie opory, indukcyjności i pojemności. Układy nieliniowe zawierają zwykle elementy nieliniowe, takie jak opory nieliniowe, diody czy tranzystory. Nie istnieje ogólna teoria układów nieliniowych. Ich analiza jest znacznie bardziej złożona niż układów liniowych.

---

Impuls Diraca i skok jednostkowy można traktować jako ustalone testowe pobudzenia, na które układ reaguje w charakterystyczny dla siebie sposób. Przy założeniu zerowych warunków początkowych opisują one jednoznacznie działanie układu z punktu widzenia relacji „wejście-wyjście”. Znajomość charakterystyki $h(t)$ , bądź $r(t)$ , wystarcza, aby obliczyć odpowiedź układu na dowolne pobudzenie. Związki między odpowiedzią impulsową i skokową należy w ogólnym przypadku traktować jako dystrybucyjne. Mówiąc ogólnie, przyczynowość oznacza, że skutek nie może wyprzedzać przyczyny. W kontekście układów oznacza to, że odpowiedź układu nie może pojawić się wcześniej niż pobudzenie. Ponieważ każdy rzeczywisty układ jest układem przyczynowym, podane warunki przyczynowości są niekiedy nazywane podstawowymi warunkami realizowalności układu. Dokładnie rzecz biorąc, podane warunki są warunkami koniecznymi przyczynowości. Jednak dla interesujących nas w praktyce sygnałów pobudzających są one zarazem warunkami dostatecznymi.

---

W ogólnym przypadku odpowiedź impulsowa układu LS może zawierać ponadto składniki typu $a_{k}\delta ^{(k)}$, gdzie $\delta ^{(k)}$ jest pochodną (dystrybucyjną) impulsu Diraca $\delta (t)$ . Układy takie nie mają jednak odpowiedników wśród układów realnych. Zależność splotowa (oznaczana tradycyjnie gwiazdką) została tu podana dla przypadku układów przyczynowych. Dlatego całki definiujące splot są określone w granicach od $0$ do $t$ . Dla układów przyczynowych całki są określone w szerszych granicach. Splot jest operacją przemienną, dlatego cytowane są dwie postacie zależności splotowej.

---

Odpowiedź impulsowa zawiera w tym przypadku składnik dystrybucyjny. W obliczeniach korzystamy zatem z właściwości splotu dystrybucji Diraca: $\delta (t)*x(t)=x(t)$ . Mimo że zarówno odpowiedź impulsowa, jak i sygnał pobudzający mają w rozpatrywanym przykładzie bardzo proste postacie, obliczenie całki splotowej nie jest proste i wymaga bardzo starannego określenia granic całkowania w odpowiednich przedziałach. Obliczanie splotu ułatwia często wykonanie odpowiedniej konstrukcji graficznej.

---

Opis układów w dziedzinie zespolonej jest oparty na formalizmie całkowego przekształcenia Laplace’a, znanego z podstawowego kursu teorii obwodów. Transmitancja jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej . Odpowiedź impulsowa i transmitancja układu stanowią parę transformat Laplace’a. Obie charakterystyki są zatem sobie równoważne i w pełni opisują układ w sensie relacji „wejście-wyjście”. Związek między transformatami Laplace’a sygnału wejściowego i wyjściowego jest związkiem iloczynowym, znacznie dogodniejszym do obliczeń, niż zależność splotowa. Z równania transmisyjnego wynika bowiem, że sygnał wyjściowy można wyznaczyć ze wzoru: $y(t)=L^{-1}[H(s)X(s)]$ W celu obliczenia odwrotnej transformaty można korzystać z tablic transformat Laplace’a.

---

Układy, dla których $l-m>0$ , nie mają odpowiedników w układach realnych, a więc rozważania możemy ograniczyć do przypadku $l-m\leq 0$ . Wówczas: $H(s)={\frac {L(s)}{M(s)}}=a_{0}+{\frac {L_{0}(s)}{M(s)}}=a_{0}+H_{0}(s)$ co odpowiada przyjętej wcześniej postaci odpowiedzi impulsowej $\$h(t)=a_{0}\delta (t)+h_{0}(t)\$$. Ponieważ współczynniki $b_{i},c_{j}$ transmitancji (8.5) są rzeczywiste, zera i bieguny transmitancji są albo rzeczywiste, albo tworzą pary liczb zespolonych sprzężonych Z dokładnością do współczynnika $H_{0}$ zera i bieguny transmitancji jednoznacznie charakteryzują układ. W „języku” zer i biegunów jest często znacznie wygodniej analizować właściwości układu.

---

W przypadku układów przyczynowych całka (8.7) jest określona w granicach $[0,\infty ]$ . Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $\omega$ Oznaczenie argumentu tej funkcji przez $j\omega$ , a nie przez $\omega$ , jest zwyczajowe. Wszystkie trzy rodzaje opisu układu: w dziedzinie czasu, dziedzinie zespolonej i w dziedzinie częstotliwości są sobie równoważne. Znając jeden z nich, można wyznaczyć oba pozostałe. Z równania transmisyjnego w dziedzinie częstotliwości wynika sposób obliczania odpowiedzi $y(t)$ układu na dowolne pobudzenie $x(t)$ mające $F$ -transformatę $X(\omega ):\quad y(t)=F^{-1}[H({\mbox{j}}\omega )X(\omega )]$ : .

---

Charakterystyka amplitudowa i charakterystyka fazowa układu są funkcjami rzeczywistymi zmiennej $\omega$. Stanowią one zatem fizyczny sposób opisu właściwości transmisyjnych układu. Charakterystyka amplitudowa jest funkcją parzystą, a charakterystyka fazowa – funkcją nieparzystą zmiennej $\omega$. Zwyczajowo charakterystyki amplitudową i fazową wykreślamy w przedziale Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle -\inty<\omega <\infty} . Z uwagi na właściwości parzystości i nieparzystości tych funkcji, wystarczy jednak podać ich wykresy jedynie dla dodatnich wartości pulsacji. Rozpatrywany w przykładzie 8.6 układ ma cechy filtru górnoprzepustowego

---

Wyznaczanie sygnału na wyjściu układu LS w dziedzinie czasu wymaga obliczenia kłopotliwej całki splotowej. Znacznie wygodniej jest przenieść obliczenia do dziedziny zespolonej lub dziedziny częstotliwości. Uzyskane przy tym uproszczenie obliczeń dobrze ilustruje przykład 8.7, mimo że obliczenie splotu w tym przypadku nie jest zbyt złożone. W przypadku bardziej skomplikowanego układu i bardziej złożonego sygnału wejściowego uproszczenie obliczeń jest wręcz radykalne

---

O tym, czy obliczenia wykonujemy w dziedzinie zespolonej, czy w dziedzinie częstotliwości decyduje rodzaj sygnału pobudzającego. W przypadku pobudzeń określonych dla $t\geq 0$ istnieje transformata Laplace’a, a więc najwygodniej jest przeprowadzić obliczenia w dziedzinie zespolonej. Dla sygnałów określonych na całej osi czasu, w tym sygnałów okresowych, obliczenia wykonujemy w dziedzinie częstotliwości. W szczególnym przypadku harmonicznego sygnału pobudzającego o pulsacji $\omega _{0}$ odpowiedź będzie również harmoniczna o tej samej pulsacji. Jest to konsekwencją liniowości i stacjonarności układu. Do wyznaczenia odpowiedzi w tym przypadku wystarczy znajomość wartości $H(j\omega _{0})$ charakterystyki amplitudowo-fazowej (współczynnika przenoszenia układu) w punkcie $\omega _{0}$ . W podobny sposób można wyznaczać odpowiedź układu na pobudzenie okresowe. Wystarczy rozwinąć sygnał wejściowy w zespolony szereg Fouriera i skorzystać z zależności $Y_{k}=H(jk\omega _{0})X_{k}$ , gdzie $X_{k}$ i $Y_{k}$ są współczynnikami Fouriera sygnału wejściowego i wyjściowego, a następnie zastosować zasadę superpozycji.

---

Przy wyznaczaniu odpowiedzi $y(t)$ idealnego układu opóźniającego na sygnał wejściowy $x(t)$ korzystamy z właściwości splotu przesuniętej dystrybucji Diraca. Sygnał $y(t)$ jest opóźnioną o $t_{0}$ kopią sygnału wejściowego. W obliczaniu transmitancji idealnego układu opóźniającego korzystamy z transformaty dystrybucji Diraca $\$L[\delta (t)]=1\$$ oraz z twierdzenia o przesunięciu w czasie dla całkowego przekształcenia Laplace'a: jeśli $$L[x(t)]=X(s)\$,to\$L[x(t-t_{0})]=X(s)\,{\mbox{e}}^{-st_{0}}\$$. Charakterystyka amplitudowa idealnego układu opóźniającego jest stałą funkcją pulsacji. Układy o tej właściwości nazywamy filtrami wszechprzepustowymi.

---

Funkcję idealnego układu różniczkującego spełnia np. indukcyjność $L$ . Element ten jest opisany w dziedzinie czasu równaniem $u(t)=Ldi(t)/dt$ . Sygnał napięcia na indukcyjności jest więc proporcjonalny do pochodnej pobudzającego ją sygnału prądu. Transmitancja prądowo-napięciowa indukcyjności ma postać $H(s)=u(s)/i(s)=sL$ . Idealny układ różniczkujący nie jest realizowalny fizycznie (cewka indukcyjna ma zawsze pewne straty). Czwórnik RC z rys. a) tym lepiej przybliża idealny układ różniczkujący, im lepiej jest spełniona nierówność Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \omega \tau _{R}_{C}} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \tau _{R}_{C}=RC} jest stałą czasu. Oznacza to, że czwórnik ten dobrze przybliża idealny układ różniczkujący w zakresie małych częstotliwości. Zakres ten jest tym szerszy, im mniejsza jest stała czasu Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \tau _{R}_{C}} .

---

Przykładem idealnego układu całkującego jest pojemność $C$ . Jest ona opisana równaniem: $u(t)={\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}{i({t}')\,{\mbox{d}}{t}'}$ Sygnał napięcia na pojemności jest proporcjonalny do całki pobudzającego go prądu. Transmitancja prądowo-napięciowa pojemności ma postać math>H(s)=u(s)/i(s)=sC</math> . Podobnie jak idealny układ różniczkujący, idealny układ całkujący nie jest realizowalny fizycznie (kondensator ma zawsze pewną upływność). Czwórnik RC z rys. a) tym lepiej przybliża idealny układ całkujący, im lepiej jest spełniona nierówność Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \omega \tau _{R}_{C}} . Oznacza to, że czwórnik ten dobrze przybliża idealny układ całkujący w zakresie wielkich częstotliwości. Zakres ten jest tym szerszy, im większa jest stała czasu Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \tau _{R}_{C}} .

---

Nazwy filtrów pochodzą od określeń angielskich: LP – low pass oraz HP – high pass. Odpowiedzi impulsowe filtrów idealnych przybierają wartości niezerowe dla $t<0$ , filtry te są zatem nieprzyczynowe, a więc nierealizowalne fizycznie. W praktyce filtry idealne zastępuje się filtrami rzeczywistymi, których charakterystyki aproksymują charakterystyki filtrów idealnych. W przypadku filtrów LP i BP aproksymujące filtry rzeczywiste mogą być filtrami rzędu pierwszego (których transmitancja ma jeden biegun rzeczywisty).

---

Nazwy filtrów pochodzą od określeń angielskich: BP – band pass oraz SB – stop band. Filtr środkowozaporowy jest również nazywany filtrem wycinającym lub filtrem typu notch. W przypadku filtrów BP i SB filtry rzeczywiste, aproksymujące filtry idealne, muszą być filtrami co najmniej drugiego rzędu.

---

Idealny filtr opóźniający jest filtrem wszechprzepustowym, nie jest to jednak układ o stałych rozłożonych. Idealny przesuwnik fazy ma stałą charakterystykę amplitudową i liniowo zmieniającą się charakterystykę fazową w całym zakresie zmian pulsacji. Czwórnik z rys. a) jest rzeczywistym przesuwnikiem fazy, którego charakterystyka fazowa zmienia się w przybliżeniu liniowo jedynie w zakresie małych pulsacji. Zakres tych zmian można regulować doborem stałej czasu .

---