PS Moduł 7

Metody cyfrowego przetwarzania sygnałów (CPS) coraz bardziej wypierają tradycyjne metody analogowe. Zamianę sygnału analogowego na sygnał binarny reprezentowany słowami binarnymi o ustalonej długości słowa dokonuje przetwornik analogowo-cyfrowy A/C. Sygnał cyfrowy z jego wyjścia jest następnie przetwarzany przez filtr cyfrowy, który przekształca go w inny sygnał cyfrowy o pożądanej postaci. Sygnał cyfrowy z wyjścia filtru cyfrowego jest z kolei przekształcany na sygnał analogowy przez przetwornik cyfrowo-analogowy C/A. Filtr cyfrowy może być realizowany sprzętowo lub programowo. W przetworniku A/C realizowane są trzy podstawowe operacje: próbkowanie sygnału analogowego (konwersja na sygnał dyskretny), kwantowanie sygnału spróbkowanego (konwersja sygnału dyskretnego na sygnał cyfrowy), kodowanie sygnału skwantowanego (konwersja na sygnał binarny).

---

W wyniku operacji próbkowania sygnał analogowy zostaje zamieniony na sygnał dyskretny w czasie. Operacja próbkowania stanowi „pomost” między dziedziną sygnałów analogowych a dziedziną sygnałów dyskretnych. Sygnał spróbkowany jest w ogólnym przypadku nadal ciągły w amplitudzie. Dyskretną strukturę sygnału w amplitudzie uzyskujemy po jego skwantowaniu. Operacja kwantowania jest operacją nieliniową. W jej wyniku zakres zmian sygnału $[-X_{m},X_{m}]\$, (zakładamy, że jest on symetryczny) jest dzielony na $M\$, przedziałów kwantyzacji z reguły o jednakowej szerokości $q\$,, nazywanej kwantem lub krokiem kwantyzacji. Każda próbka $x(nT_{s})\$, jest przybliżana – według pewnej reguły $Q(\cdot )\$, – jedną z $M\$, skwantowanych wartości ${\tilde {x}}(nT_{s})\$, odpowiadających poszczególnym przedziałom kwantyzacji. Liczbę $M\$, wybiera się z reguły równą potędze 2. Operacja kodowania przyporządkowuje skwantowanym próbkom ${\tilde {x}}(nT_{s})\$, binarne słowa kodowe, zwykle o stałej długości $b=log_{2}M\$,.

---

W ogólnym przypadku odpowiedź na postawione pytanie jest negatywna. W przypadku sygnałów o ograniczonym paśmie możliwe jest jednoznaczne odtworzenie sygnału na podstawie próbek, jeśli próbki te są pobierane dostatecznie często. Sygnałami o ograniczonym paśmie mogą być zarówno sygnały o ograniczonej energii, jak i o ograniczonej mocy. Twierdzenie o próbkowaniu nosi nazwę twierdzenia Kotielnikowa-Shannona. Biorąc pod uwagę, że $f_{s}=1/T_{s}$ oraz $\omega _{m}=2\pi f_{m}$ , warunek Nyquista można zapisać w najczęściej cytowanej postaci $f_{s}\geq 2f_{m}$. Oznacza on, że aby możliwe było jednoznaczne odtworzenie sygnału na podstawie próbek, próbki te muszą być pobierane z częstotliwością co najmniej dwa razy większą od maksymalnej częstotliwości widma sygnału.

---

Stosując symbole specjalne, dowód twierdzenia o próbkowaniu można przeprowadzić w stosunkowo prosty sposób. Zauważmy, że jeśli widmo $X(\omega )\$, sygnału $x(t)\$, o paśmie ograniczonym pulsacją $\omega _{m}\$, (rys. b) powielimy okresowo z okresem $2\omega _{m}\$, (rys. f), a następnie powielone kopie odfiltrujemy za pomocą idealnego filtru dolnoprzepustowego o pulsacji granicznej $\omega _{g}=\omega _{m}$ , to otrzymamy ponownie widmo pierwotne $X(\omega )\$,. Operacje powielenia okresowego widma i filtracji dolnoprzepustowej są zatem względem siebie odwrotne, co opisuje wzór (7.1). Obliczając teraz odwrotne transformaty Fouriera obu stron równości (7.1) i uwzględniając przy tym kolejno: twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu, twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości oraz właściwości splotu dystrybucji Diraca, otrzymamy równość (7.2). Równość (7.2) jest szeregiem Kotielnikowa-Shannona, którego współczynnikami są próbki sygnału. Ich znajomość wystarcza zatem do obliczenia wartości sygnału $x(t)\$, w dowolnej chwili $t\$,.

---

Twierdzenie o próbkowaniu pozostaje słuszne dla częstotliwości próbkowania $f_{s}\geq 2f_{m}$. Przypadek ten ilustruje rysunek. Zmniejszenie okresu ciągu próbkujących impulsów Diraca (rys. c) pociąga za sobą zwiększenie okresu odpowiadającego mu ciągu widmowych dystrybucji Diraca (rys. d). Oznacza to, że powielone okresowo kopie widma sygnału będą teraz od siebie odseparowane pewnymi pasmami pustymi (rys. f). Jak widać, stosując filtr dolnopasmowy (rys. h), można odzyskać niezniekształcone widmo $X(\omega )\$, , a tym samym niezniekształcony sygnał $x(t)\$,. Wymagania na filtr dolnoprzepustowy są w tym przypadku tym łagodniejsze, im odstępy między powielonymi kopiami widma są większe.

---

W przypadku, $f_{s}<2f_{m}$ , tj. gdy częstotliwość próbkowania jest mniejsza od częstotliwości Nyquista, powielone okresowo widma nakładają się na siebie (rys. f) i nie jest możliwe odtworzenie niezniekształconego widma sygnału $x(t)\$,. Błąd aliasingu jest tym większy, im mniejsza jest częstotliwość próbkowania.

---

Jak wynika z szeregu Kotielnikowa-Shannona znajomość próbek sygnału wystarcza do odtworzenia dokładnych wartości sygnału $x(t)\$, w chwilach między chwilami próbkowania. Wartości te można odtworzyć numerycznie posługując się tablicą funkcji $Sa\$,. Z uwagi na nieskończoną sumę szeregu Kotielnikowa-Shannona można je obliczyć jedynie z pewnym przybliżeniem. Najczęściej stosowaną w praktyce metodą odtworzenia sygnału z próbek (implementowaną w przetwornikach C/A) jest metoda schodkowa. Polega ona na utworzeniu odcinkami stałego sygnału analogowego ${\tilde {x}}(t)\$, przybliżającego odtwarzany sygnał $x(t)\$, . Aby przybliżenie to było dostatecznie dokładne, częstotliwość próbkowania powinna być dużo większa od częstotliwości Nyquista (powinien być stosowany tzw. oversampling).

---

Sygnał analogowy ${\tilde {x}}(t)\$, tworzony w metodzie schodkowej jest sumą impulsów prostokątnych o czasie trwania równym okresowi próbkowania $T_{s}\$, i amplitudach równych wartościom $x(nT_{s})\$, kolejnych próbek sygnału $x(t)\$,. Można pokazać, że widmo ${\tilde {X}}(\omega )\$, tak utworzonego sygnału jest w porównaniu z widmem oryginalnym zniekształcone obwiednią typu $Sa\$,. Zniekształcenia widma mogą być korygowane przez zastosowanie filtru korekcyjnego o charakterystyce filtracji w paśmie sygnału $[-\omega _{m},\omega _{m}]$ będącej odwrotnością funkcji $Sa\$,. W dziedzinie czasu filtr ten wygładza schodki sygnału ${\tilde {x}}(t)\$, , dlatego nazywany jest filtrem wygładzającym.

---

Twierdzenie Paleya-Wienera orzeka, że każdy sygnał o skończonym czasie trwania ma pasmo nieograniczone. Tym samym sygnały impulsowe nie spełniają, dokładnie rzecz biorąc, warunków twierdzenia o próbkowaniu. Występujące w praktyce sygnały mają jednak „ogony widmowe” o pomijalnie małej gęstości i zawsze można ustalić arbitralnie próg $\omega _{m}\$, , powyżej którego widmo sygnału można uznać za zerowe. Często sygnały trwające długo w czasie są obserwowane jedynie w krótkich odcinkach czasu. Ciąg impulsów Diraca jest modelem teoretycznym impulsów próbkujących, a więc nierealizowalnym fizycznie. Próbkowanie sygnału w wyniku mnożenia go przez ten ciąg nosi nazwę próbkowania idealnego. W praktyce ciąg impulsów Diraca zastępuje się realizowalnymi fizycznie ciągami impulsów próbkujących. W praktyce stosowany jest realizowalny fizycznie filtr dolnopasmowy o możliwie ostrych zboczach charakterystyki filtracji. Szum kwantowania jest zakłóceniem zawsze wprowadzanym w procesie przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnału. Jitterem (drżeniem chwil próbkowania) nazywamy losowy rozrzut faktycznych chwil próbkowania wokół chwil nominalnych.

---

Niezależnie od dowodu ogólnego twierdzenia Paleya-Wienera, fakt, że sygnały o ograniczonym paśmie mają nieskończony czas trwania można uzasadnić, przeprowadzając następujące proste rozumowanie. Jeśli pasmo sygnału $x(t)\$, jest ograniczone pulsacją $\omega _{m}\$,, to jego widmo spełnia dla każdego $\omega \$, tożsamościową równość: $X(\omega )\equiv X(\omega )\Pi (\omega /2\omega _{m})$ . Z twierdzenia o splocie w dziedzinie czasu wynika zatem, że $x(t)\equiv x(t)*(\omega _{m}/{\pi })Sa\omega _{m}t$ . Ponieważ sygnał $Sa\$, jest niezerowy na całej osi czasu, zatem jego splot z sygnałem impulsowym (prawa strona ostatniej równości) przybiera również wartości niezerowe na całej osi czasu. Dochodzimy tym samym do sprzeczności. Ustalając arbitralnie próg $f_{m}\$, pasma sygnału popełniamy zawsze większy lub mniejszy błąd aliasingu. Błąd ten można zmniejszyć, stosując dolnoprzepustowy filtr ochronny odcinający pasmo sygnału powyżej progu $f_{m}\$, . Sygnał z wyjścia takiego filtru możemy już próbkować bez aliasingu z częstotliwością $f_{s}=2f_{m}$ .

---

Efekt stroboskopowy występuje wówczas, gdy sygnał okresowy próbkujemy z częstotliwością mniejszą od częstotliwości Nyquista, ale odpowiednio dobraną. Na rysunku efekt stroboskopowy zilustrowano dla przypadku sygnału sinusoidalnego. Zauważmy, że próbki wolnej sinusoidy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1(t)\ } , pobierane z częstotliwością znacznie większą od jego częstotliwości Nyquista są identyczne jak próbki szybkiej sinusoidy $x_{2}(t)\$, pobierane z tą samą częstotliwością próbkowania (która w tym przypadku jest mniejsza od częstotliwości Nyquista). Na podstawie tych próbek możemy odtworzyć kopię szybkiego sygnału o tym samym kształcie, ale rozciągniętą w czasie. Efekt stroboskopowy można także zilustrować w dziedzinie częstotliwości. Widmo szybkiej sinusoidy o częstotliwości $f_{0}+f_{s}$ (dwa prążki widmowe na rys. a) w wyniku jej próbkowania z częstotliwością $f_{s}\$, zostaje powielone okresowo z okresem $f_{s}\$, . W wyniku otrzymujemy widmo okresowe identyczne jak w przypadku próbkowania wolnej sinusoidy z tą samą częstotliwością $f_{s}\$,.

---

W przypadku próbkowania idealnego sygnał próbkowany $x(t)\$, jest mnożony przez nierealizowalny fizycznie ciąg próbkujących impulsów Diraca, który w praktyce można zastąpić okresowym ciągiem wąskich impulsów prostokątnych (falą prostokątną unipolarną). Na lewym rysunku zilustrowany został system próbkowania naturalnego, w którym sygnał próbkowany $x(t)\$, jest mnożony przez falę unipolarną (rys. a-c). Widmo tej fali jest dystrybucyjne, ale dystrybucje widmowe nie mają jednakowych wysokości, lecz układają się na obwiedni typu $Sa\$, (rys. d). Nadal jednak widmo $X(\omega )\$, sygnału próbkowanego jest splatane przez dystrybucje widmowe i powielone kopie są niezniekształcone w stosunku do widma $X(\omega )\$, , choć ich wysokości maleją. W tym przypadku możliwe jest zatem odzyskanie niezniekształconego sygnału $x(t)\$,. Na prawym rysunku zilustrowany jest system próbkowania chwilowego. W tym przypadku próbki są reprezentowane impulsami prostokątnymi o wysokościach równych poszczególnym próbkom (rys. e). Powielone kopie widmowe są jednak zniekształcone obwiednią $Sa\$,.

---

Idealny filtr dolnopasmowy ma prostokątną charakterystykę filtracji $H(j\omega )\$, (charakterystykę amplitudowo-fazową). Obliczając jej odwrotną transformatę Fouriera widzimy, że odpowiedź impulsowa $h(t)\$, tego filtru (odpowiedź na pobudzenie impulsem Diraca podanym na jego wejście w chwili $t=0$) jest sygnałem typu $Sa\$,, a więc niezerowym dla $t<0$. Oznacza to, że filtr taki jest nieprzyczynowy, a więc nierealizowalny fizycznie. Filtr idealny zastępuje się w praktyce filtrem rzeczywistym o tak ukształtowanej charakterystyce filtracji, aby była ona możliwie płaska w przedziale pulsacji $[-\omega _{m},\omega _{m}]\$, i aby jej zbocza szybko opadały do zera poza tym przedziałem. Na skutek nieidealnych właściwości układów próbkujących faktyczne chwile pobierania próbek różnią się od chwil założonych. Zjawisko „drżenia” chwil próbkowania nosi nazwę jitteru. Zjawisko to, jak i towarzyszący mu błąd zostało zilustrowane na rysunku. Błąd jitteru jest tym większy, im szybciej zmienia się sygnał.

---

Szum kwantowania powstaje w wyniku przybliżania w przetwornikach A/C dokładnych wartości próbek wartościami skwantowanymi. Wywołane tym błędy przetwarzania są nieuniknione, ale można je kontrolować, dobierając odpowiednio długość słowa przetwornika A/C. Miara decybelowa jest powszechnie stosowaną miarą stosunku dwóch liczb w naukach fizycznych i technicznych. W przypadku wzoru (7.4) mnożnik przed logarytmem jest równy 10, bowiem odnosimy do siebie moce (w przypadku stosunku amplitud stosowany jest mnożnik równy 20). W przypadku $b\$,-bitowego przetwornika A/C liczba poziomów kwantowania, na które dzielony jest zakres wejściowy przetwornika $[-X_{m},X_{m}]\$, , wynosi $2^{b}\$,. Wielkość kwantu jest wówczas równa: $q={\frac {2X_{m}}{2^{b}}}={\frac {X_{m}}{2^{b-1}}}$

---

Wartości próbek szumu kwantowania należą do przedziału $[-q/2,q/2]\$,. W przypadku przetwarzania sygnałów o dostatecznie nieregularnym przebiegu (np. sygnału fonii i czy wizji) można z dobrym przybliżeniem przyjąć, że wartości te mają w tym przedziale rozkład równomierny (rys. a). W przypadku sygnałów losowych (a takim jest szum kwantowania) ich charakterystyką widmową jest widmo mocy. Widmo mocy szumu białego ma stałą gęstość w całym zakresie częstotliwości (rys. b). Stąd przyjęła się nazwa szumu białego na podobieństwo światła białego, które w zakresie widzialnym ma również stałą gęstość widmową. W przypadku przetwarzania sygnału mowy w telefonii cyfrowej powszechnego użytku dostatecznie niski poziom szumu kwantowania zapewnia przetwarzanie 8-bitowe sygnału. Można łatwo pokazać, że wydłużenie długości słowa przetwornika o 1 bit daje poprawę stosunku sygnał-szum o 6 dB. Wydłużenie długości słowa przetwornika o 5 bitów daje poprawę stosunku sygnał-szum o 30 dB, a więc aż 1000-krotną.

---