PS Moduł 6

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
PS M6 Slajd1.png
  • W zastosowaniach teorii sygnałów często porównujemy analizowanego sygnału z innym sygnałem, w szczególności ¬z swoją własną przesuniętą w czasie kopią. Podobieństwo sygnałów można charakteryzować za pomocą funkcji korelacyjnych.
  • Przypomnijmy, że na podstawie iloczynu skalarnego możemy wyznaczyć zarówno odległość dwóch sygnałów, jak i kąt między nimi w danej przestrzeni Hilberta.
  • Jeśli , to także .
  • Dla różnych wartości przesunięcia całka definicyjna (6.1) przybiera różne wartości. W ten sposób otrzymujemy zależność funkcyjną od zmiennej . Dla ustalonego wartość funkcji autokorelacji jest polem pod wykresem iloczynu sygnału nieprzesuniętego i przesuniętego.
  • Definicja (6.1) została podana od razu dla sygnałów zespolonych. Przedrostek „auto” oznacza, że funkcja korelacyjna (6.1) opisuje korelację czasową między danym sygnałem a wersją przesuniętą tego samego sygnału. Podkreślamy to dodając do symbolu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "\varphi"\,} funkcji autokorelacji indeks sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "x"\,} .

PS M6 Slajd2.png
  • Parzystość funkcji autokorelacji w przypadku sygnałów rzeczywistych oznacza, że możemy ją wówczas wyznaczać jedynie dla dodatnich wartości zmiennej (opóźnień sygnału).
  • Wzór (6.2) wynika z podstawienia we wzorze definiującym funkcję autokorelacji.
  • Funkcja autokorelacji przybiera maksymalną co do modułu wartość dla .
  • Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
  • Funkcja autokorelacji sygnału jest - transformowalna w zwykłym sensie.
  • Funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. dla dowolnego , gdzie .



PS M6 Slajd3.png
  • Przedstawione na rysunku funkcje autokorelacji można wyznaczyć wprost z definicji. Wszystkie funkcje mają jedyne maksimum w punkcie .
  • Funkcja autokorelacji impulsu prostokątnego jest trójkątna. Sposób jej konstrukcji jest pokazany na rys. e.
  • Trójkątny kształt funkcji autokorelacji występuje również w przypadku ciągu impulsów prostokątnych i prostokątnego impulsu radiowego.



PS M6 Slajd4.png
  • Słuszność pary transformat (6.3) można wykazać na podstawie twierdzenia Rayleigha dla klasy sygnałów i twierdzenia o przesunięciu. Ponieważ , zatem:

  • Energię sygnału można obliczyć:
    • w dziedzinie czasu, jako całkę z kwadratu modułu sygnału,
    • w dziedzinie korelacyjnej, jako ,
    • w dziedzinie częstotliwości, jako całkę z widma energii podzieloną przez .

PS M6 Slajd5.png
  • Widmo energii jest zawsze funkcją rzeczywistą parzystą i opisuje rozkład energii wzdłuż osi częstotliwości. Energię sygnału zawartą w przedziale pulsacji można wyznaczyć, obliczając całkę

(por. rys. a).

  • Funkcja autokorelacji idealnego sygnału dolnopasmowego ma również kształt funkcji . Wynika to z faktu, że zarówno widmo amplitudowe tego sygnału, jak i jego widmo energii są prostokątne.

PS M6 Slajd6.png
  • Związki między sygnałem i jego charakterystykami w dziedzinie częstotliwości i dziedzinie korelacyjnej ilustruje prosty diagram. Strzałki podwójne oznaczają na nim związki wzajemnie jednoznaczne, tj. jednoznaczne przejścia od jednej do drugiej wielkości , natomiast strzałki pojedyncze oznaczają przejście tylko w jedną stronę.
  • Funkcja autokorelacji sygnału stanowi jedynie częściowy opis sygnału. Znając te funkcję możemy odtworzyć widmo amplitudowe sygnału, tracimy jednak informację o widmie fazowym.
  • Podana definicja efektywnego czasu korelacji ma sens dla przypadku sygnałów, których funkcja autokorelacji maleje monotonicznie. Dla sygnałów o funkcji autokorelacji dążącej do zera oscylacyjnie można wprowadzić inne miary czasu korelacji.
  • Zasada nieoznaczoności pozostaje w mocy bez względu na sposób definiowania efektywnego czasu korelacji i efektywnej szerokości widma.



PS M6 Slajd7.png
  • Funkcje korelacji wzajemnej są określone dla dwóch różnych sygnałów (np. dla sygnału na wejściu i na wyjściu pewnego układu). Tak jak w przypadku funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej można traktować jako miary wzajemnego położenia sygnałów w odpowiedniej przestrzeni Hilberta dla różnych wartości przesunięcia jednego sygnału względem drugiego.
  • Pojęcie energii wzajemnej ma interesującą interpretację fizyczną. Jeśli i są sygnałami napięcia i odpowiednio prądu na zaciskach dwójnika elektrycznego, to wielkość jest energią pobraną przez ten dwójnik.
  • Dla ustalonego wartość funkcji korelacji wzajemnej jest polem pod wykresem iloczynu sygnałów (por. rys. c i d).
  • W przeciwieństwie do funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej sygnałów rzeczywistych nie muszą być parzyste (por. rys. e).

PS M6 Slajd8.png
  • Dla sygnałów rzeczywistych związek (6.4) przybiera postać , co oznacza, że taką samą wartość iloczynu skalarnego otrzymujemy przy przesunięciu sygnału w kierunku opóźnienia o czas , co przy przesunięciu sygnału o ten sam czas w kierunku przyspieszenia.
  • Funkcje korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii są -transformowalne w zwykłym sensie.
  • Funkcje korelacji wzajemnej i widma energii wzajemnej tworzą pary transformat Fouriera.

PS M6 Slajd9.png
  • Dla sygnałów o ograniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości graniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą psi) .
  • Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów o ograniczonej mocy są podobne jak w przypadku sygnałów o ograniczonej energii.
  • Wartość funkcji autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy w punkcie jest rzeczywista i równa jego mocy.
  • Funkcja autokorelacji przybiera maksymalną co do modułu wartość dla .
  • Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
  • Funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy jest -transformowalna w sensie granicznym.
  • Funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. dla dowolnego .



PS M6 Slajd10.png
  • Funkcja autokorelacji skoku jednostkowego jest stała i równa .
  • Jeśli współczynnik wypełnienia unipolarnej fali prostokątnej jest mniejszy bądź równy , jej funkcja autokorelacji jest ciągiem trójkątów o szerokości powtarzanych z okresowym (rys a). Jeśli , trójkąty te nakładają się na siebie i funkcja autokorelacji ma postać jak na rys b.
  • Funkcja autokorelacji sygnału harmonicznego jest funkcją kosinusoidalną o tym samym okresie co okres sygnału harmonicznego i nie zależy od jego fazy początkowej . Przykład ten świadczy dobitnie o tym, że funkcja autokorelacji nie zawiera informacji o fazie sygnału.

PS M6 Slajd11.png
  • Definicja widma mocy sygnału o ograniczonej mocy ma sens graniczny. Widmo to jest określone jako granica ciągu widm energii sygnałów impulsowych będących centralnymi segmentami sygnału o długości przy .
  • Funkcja autokorelacji i widmo mocy sygnału o ograniczonej mocy tworzą parę transformat Fouriera w sensie granicznym.
  • Moc sygnału można obliczyć w dziedzinie częstotliwości jako całkę z widma mocy podzieloną przez . Widmo mocy opisuje zatem rozkład mocy sygnału wzdłuż osi pulsacji (częstotliwości).
  • W przypadku sygnałów okresowych funkcja autokorelacji jest również okresowa, a więc rozwijalna w zespolony szereg Fouriera. Współczynnikami tego szeregu są kwadraty modułów współczynników zespolonego szeregu Fouriera sygnału . Widmo mocy sygnału okresowego jest zatem dystrybucyjne.

PS M6 Slajd12.png
  • Definicje funkcji korelacji wzajemnej i mocy wzajemnej, a także widm mocy wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy są analogiczne do odpowiednich definicji funkcji korelacji wzajemnej, energii wzajemnej i widm energii wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii. Podobne są też ich właściwości.
  • Jeśli sygnały i są rzeczywistymi sygnałami okresowymi prądu i napięcia na zaciskach pewnego dwójnika elektrycznego, to moc wzajemna ma sens mocy czynnej pobranej przez ten dwójnik.
  • Funkcje korelacji wzajemnej i widma mocy wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy tworzą pary transformat Fouriera w sensie granicznym.

PS M6 Slajd13.png
  • Funkcje korelacyjne sygnałów dyskretnych o ograniczonej mocy są określone odpowiednimi iloczynami skalarnymi w przestrzeni , a więc w ich definicjach zamiast całek występują sumy. Tak jak w przypadku sygnałów analogowych funkcje te są oznaczane literą , natomiast ich argument – literą .
  • Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii są wiernymi odpowiednikami właściwości funkcji autokorelacji sygnałów analogowych o ograniczonej energii. W szczególności wartość funkcji autokorelacji w zerze jest równa energii sygnału.
  • Funkcje korelacyjne sygnałów należących do przestrzeni są także elementami tej przestrzeni, a więc są -transformowalne.

PS M6 Slajd14.png
  • W przykładzie 6.7 zilustrowany został typowy sposób postępowania przy wyznaczaniu funkcji autokorelacji sygnału dyskretnego o skończonym czasie trwania.
  • W przypadku tej klasy sygnałów dla przesunięć większych co do modułu od pewnej wartości korelacja czasowa znika i funkcja korelacja przybiera wartości zerowe.



PS M6 Slajd15.png
  • W przykładzie 6.8 funkcję autokorelacji można wyznaczyć w postaci zamkniętej. W obliczeniach korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.
  • Im parametr jest mniejszy, tym szybciej zanika korelacja między próbkami sygnału. Jeśli , sygnał dąży do dyskretnego skoku jednostkowego , a funkcja autokorelacji dąży do funkcji stałej równej dla każdego . Aby to pokazać, trzeba jednak dokonać odpowiedniego przejścia granicznego.



PS M6 Slajd16.png
  • Widmo energii sygnału dyskretnego jest zdefiniowane jako kwadrat jego widma amplitudowego. Widmo energii jest oczywiście funkcją okresową zmiennej . Ponadto dla sygnałów rzeczywistych widmo energii jest rzeczywiste i parzyste.
  • Widmo energii sygnału dyskretnego jest transformatą Fouriera jego funkcji autokorelacji.
  • Energię sygnału można obliczyć jako pole pod wykresem widma energii za okres podzielone przez (lub pole w przedziale podzielone przez ).

PS M6 Slajd17.png
  • W przypadku dwóch różnych sygnałów dyskretnych ich właściwości korelacyjne charakteryzują funkcje korelacji wzajemnej. Definicje i właściwości tych funkcji są analogiczne jak w przypadku sygnałów analogowych.
  • Analogicznie do przypadku sygnałów analogowych definiuje się również widma energii wzajemnej sygnałów dyskretnych.

PS M6 Slajd18.png
  • Funkcja autokorelacji sygnału dyskretnego o ograniczonej mocy jest definiowana w sensie granicznym. Funkcję tę oznaczamy taką samą literą jak w przypadku sygnałów analogowych o ograniczonej mocy.
  • Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów dyskretnych o ograniczonej mocy są analogiczne jak w przypadku sygnałów analogowych. W szczególności wartość funkcji autokorelacji w zerze jest równa mocy sygnału.
  • Funkcja autokorelacji dyskretnego sygnału harmonicznego jest dyskretną kosinusoidą i nie zależy od fazy początkowej sygnału. Jej wartość w punkcie jest równa mocy sygnału .

PS M6 Slajd19.png
  • Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych, widmo mocy sygnału dyskretnego o ograniczonej mocy jest zdefiniowane jako granica ciągu widm energii środkowych segmentów tego sygnału o czasie trwania odniesionych do szerokości tych segmentów przy .
  • W przypadku sygnałów -okresowych ich funkcje autokorelacji są również -okresowe. Współczynnikami rozwinięcia funkcji autokorelacji sygnału -okresowego w dyskretny szereg Fouriera są kwadraty modułów współczynników rozwinięcia w dyskretny szereg Fouriera sygnału .
  • Moc sygnału -okresowego jest sumą za okres wartości jego widma mocy.