PS Moduł 4

Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta $l^{2}\$, , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem $(x,y)_{l^{2}}=\sum _{-\infty }^{\infty }{x(nT_{s})y^{*}(nT_{s})}$ . Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu. Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $\omega \$, . W teorii sygnałów dyskretnych argument widma jest oznaczany zwyczajowo przez $e^{j\omega T_{s}}\$, , a nie w sposób naturalny przez $\omega \$, .

---

Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości $f=\omega /2\pi$ , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania $f_{s}\$, . Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej $\theta =\omega /2\pi$ , jego okres jest równy $2\pi \$, . Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej $\nu =\omega /{\omega _{s}}=f/f_{s}=\theta /2\pi$ . Jego okres jest wówczas równy $1\$,.

---

Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale $-\pi \leq \theta \leq \pi \$, , a zarazem na całej osi $\theta \$, . Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.

---

Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla $N=6\$, w przedziale $[-3\pi ,3\pi ]\$, . Jeśli $N\$, rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych. Zwiększając $N\$, do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b) Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla $n\epsilon \Box \$, .

---

Twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych mają swoje ścisłe odpowiedniki w twierdzeniach dotyczących przekształcenia Fouriera sygnałów analogowych. Podobna też jest ich interpretacja.

---

Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni $l^{2}\$, sygnałów dyskretnych i przestrzeni ${L^{2}}_{2\pi }\$, ich okresowych widm. Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.

---

Sygnały $N\$,-okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie $N\$, razy w okresie. W celu podkreślenia $N\$,-okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry. Sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \}} w przestrzeni Hilberta ${l^{2}}_{N}\$, pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \}} w przestrzeni Hilberta ${L^{2}}_{T_{0}}\$, , $T_{0}=2\pi /{\omega _{0}}$ . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni ${l^{2}}_{N}\$, baza jest skończona.

---

W przeciwieństwie do widm nieokresowych sygnałów dyskretnych, które są funkcjami ciągłymi pulsacji unormowanej $\theta \$, , widma sygnałów $N\$, -okresowych są dyskretnymi funkcjami pulsacji unormowanej określonymi w punktach $\theta _{k}=2\pi k/N$ (dlatego ich argument jest oznaczany przez $k\$, ). Zachowują one oczywiście ogólną cechę okresowości widm sygnałów dyskretnych, przy czym widmo sygnału $N\$, -okresowego jest również $N\$, -okresowe. W praktyce liczbę $N\$, wybiera się z reguły jako parzystą. Znając $N\$, wartości widma sygnału $N\$, -okresowego (a dla $N\$, parzystych $N/2+1\$, wartości) można ze wzoru (4.5) obliczyć jego próbki. Problem odwrotny, tj. sposób wyznaczania widma sygnału $N\$, -okresowego na podstawie jego próbek rozpatrzymy później.

---

W praktyce rzadko kiedy sygnał dyskretny jest opisany zwartą formułą analityczną. Jego widma nie można zatem wyznaczyć na podstawie wzoru (4.6) i musimy uciec się do numerycznych metod jego obliczania. Możliwość taką stwarza pojęcie dyskretnego przekształcenia Fouriera (DPF). DPF jest nie tylko punktem wyjścia do opracowania odpowiednich metod numerycznych obliczania widma, ale także silnym narzędziem teoretycznym analizy, syntezy i przetwarzania sygnałów dyskretnych. Milcząco zakładamy tu, że pozostałe próbki sygnału impulsowego są zerowe. Liczbę punktów pulsacji unormowanej $\theta \$, , w których obliczamy dyskretne wartości widma sygnału sensownie jest wybrać równą liczbie $N\$, próbek sygnału.

---

Widmo dyskretne jest oczywiście funkcją okresową zmiennej $k\$, o okresie równym $N\$, . Wykres dyskretnego widma amplitudowego impulsu prostokątnego sporządzono w środkowym jego okresie $(-N/2,N/2]=(-4,4]$ odpowiadającym przedziałowi $(-\pi ,\pi ]\$, na ciągłej skali zmiennej $\theta \$, . Jego próbki są oczywiście położone na krzywej ciągłej $A(e^{j\theta })\$, . Jak widać jednak tylko jedna, centralna próbka jest niezerowa. Tak więc w tym przypadku widmo dyskretne Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \left \{ X(k): k=0,\ldots,N-1}\right \}} bardzo niedokładnie oddaje charakter widma ciągłego $X(e^{j\theta })\$, . Stanowi to wadę DTF związaną z jej małą rozdzielczością.

---

${{\mathfrak {F}}^{-1}}_{D}\$, -transformata wynika w istocie rzeczy z rozwiązania układu równań (4.7) względem niewiadomych $x(n)\$,, $n=0,\ldots ,N-1\$, przy założeniu znajomości próbek widmowych $X(k)\$,, $k=0,\ldots ,N-1\$, . $N\$, -okresowość ${{\mathfrak {F}}^{-1}}_{D}\$, -transformaty wynika z $N\$, -okresowości widma dyskretnego $X[k]\$, . Sytuacja jest tu analogiczna do rozwinięcia nieokresowego impulsowego sygnału analogowego określonego w skończonym przedziale $[0,T]\$, w trygonometryczny szereg Fouriera, który jest zarazem szeregiem Fouriera okresowego przedłużenia tego sygnału z okresem $T\$, .

---

Z formalnego punktu widzenie DPF sygnału $N\$, -okresowego można traktować jako wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie przestrzeni Hilberta ${l^{2}}_{N}\$, ciągów $N\$, -okresowych w dziedzinie czas w przestrzeń Hilberta ${l^{2}}_{N}\$, ciągów $N\$, -okresowych w dziedzinie częstotliwości. Istnieje zasadnicza różnica między DTF sygnału impulsowego $x[n]\$, a DTF jego przedłużenia okresowego ${\overline {x}}[n]\$, , mimo że są one określone tym samym wyrażeniem. Podkreślmy raz jeszcze, że widmo $X(e^{j\theta })\$, sygnału impulsowego jest funkcją zmiennej ciągłej $\theta \$, , a DTF tego sygnału określa jedynie wartości tego widma w dyskretnych punktach $\theta _{k}=2\pi k/N\$, . Natomiast DTF przedłużenia okresowego ${\overline {x}}[n]\$, sygnału $x[n]\$, określa dokładne widmo sygnału okresowego, które z natury rzeczy jest dyskretne. DFT jest symetryczne (ze sprzężeniem) względem punktu $N/2\$, .

---

Jeśli sygnał jest rzeczywisty, to próbka widma $X(0)\$, jest rzeczywista. Jeśli sygnał jest rzeczywisty oraz $N\$, jest parzyste, to próbka $X(n/2)\$, jest rzeczywista. W wyniku przesunięcia sygnału o $m\$, próbek, jego dyskretne widmo amplitudowe nie ulega zmianie, a widmo fazowe zmienia się o wartości $-2\pi km/N\$, . W wyniku mnożenia sygnału przez dyskretny sygnał harmoniczny o pulsacji unormowanej $2\pi m/N\$, jego widmo ulega przesunięciu o $m\$, próbek. Można łatwo sprawdzić, że widmo rozpatrywanego w przykładzie sygnału okresowego spełnia właściwości 2-4 oraz twierdzenie Parsevala.

---

Sygnał odtworzony z $N\$, -punktowej DFT Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \left \{ X(k): k=0,\ldots,N-1}\right \}} danego sygnału $x[n]\$, jest powieleniem okresowym tego sygnału z okresem $N\$, . Jeżeli czas trwania $N_{0}\$, sygnału $x[n]\$, jest większy od $N\$, ( w szczególności nieskończony), to poszczególne powielone kopie sygnału $x[n]\$, nakładają się na siebie i nie jest możliwe dokładnie odtworzenie jego próbek.

---

Zjawisko nakładania się powielonych okresowo kopii sygnału jest nazywane aliasingiem w dziedzinie czasu, a wynikający stąd błąd odtworzenia – błędem aliasingu. W przypadku sygnału o nieskończonym czasie trwania błąd aliasingu jest tym mniejszy, im większe jest $N\$, oraz im szybciej sygnał maleje do zera, gdy $n\to \pm \infty \$, . W przypadku sygnału o skończonym czasie trwania $N_{0}\$, błąd ten jest tym mniejszy, im mniejsza jest różnica $N_{0}-N\$, .

---