PS Moduł 4

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
PS M4 Slajd1.png
  • Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem .
  • Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu.
  • Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej .
  • W teorii sygnałów dyskretnych argument widma jest oznaczany zwyczajowo przez , a nie w sposób naturalny przez .

PS M4 Slajd2.png
  • Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania .
  • Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej , jego okres jest równy .
  • Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej . Jego okres jest wówczas równy .

PS M4 Slajd3.png
  • Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale , a zarazem na całej osi .
  • Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.

PS M4 Slajd4.png
  • Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla w przedziale . Jeśli rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych.
  • Zwiększając do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b)
  • Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla .

PS M4 Slajd5.png
  • Twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych mają swoje ścisłe odpowiedniki w twierdzeniach dotyczących przekształcenia Fouriera sygnałów analogowych. Podobna też jest ich interpretacja.

PS M4 Slajd6.png
  • Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni sygnałów dyskretnych i przestrzeni ich okresowych widm.
  • Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.

PS M4 Slajd7.png
  • Sygnały -okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie razy w okresie.
  • W celu podkreślenia -okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry.
  • Sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \} } w przestrzeni Hilberta pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \} } w przestrzeni Hilberta , . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni baza jest skończona.

PS M4 Slajd8.png
  • W przeciwieństwie do widm nieokresowych sygnałów dyskretnych, które są funkcjami ciągłymi pulsacji unormowanej , widma sygnałów -okresowych są dyskretnymi funkcjami pulsacji unormowanej określonymi w punktach (dlatego ich argument jest oznaczany przez ). Zachowują one oczywiście ogólną cechę okresowości widm sygnałów dyskretnych, przy czym widmo sygnału -okresowego jest również -okresowe.
  • W praktyce liczbę wybiera się z reguły jako parzystą.
  • Znając wartości widma sygnału -okresowego (a dla parzystych wartości) można ze wzoru (4.5) obliczyć jego próbki. Problem odwrotny, tj. sposób wyznaczania widma sygnału -okresowego na podstawie jego próbek rozpatrzymy później.



PS M4 Slajd9.png
  • W praktyce rzadko kiedy sygnał dyskretny jest opisany zwartą formułą analityczną. Jego widma nie można zatem wyznaczyć na podstawie wzoru (4.6) i musimy uciec się do numerycznych metod jego obliczania. Możliwość taką stwarza pojęcie dyskretnego przekształcenia Fouriera (DPF).
  • DPF jest nie tylko punktem wyjścia do opracowania odpowiednich metod numerycznych obliczania widma, ale także silnym narzędziem teoretycznym analizy, syntezy i przetwarzania sygnałów dyskretnych.
  • Milcząco zakładamy tu, że pozostałe próbki sygnału impulsowego są zerowe.
  • Liczbę punktów pulsacji unormowanej , w których obliczamy dyskretne wartości widma sygnału sensownie jest wybrać równą liczbie próbek sygnału.

PS M4 Slajd10.png
  • Widmo dyskretne jest oczywiście funkcją okresową zmiennej o okresie równym .
  • Wykres dyskretnego widma amplitudowego impulsu prostokątnego sporządzono w środkowym jego okresie odpowiadającym przedziałowi na ciągłej skali zmiennej . Jego próbki są oczywiście położone na krzywej ciągłej . Jak widać jednak tylko jedna, centralna próbka jest niezerowa. Tak więc w tym przypadku widmo dyskretne Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} } bardzo niedokładnie oddaje charakter widma ciągłego . Stanowi to wadę DTF związaną z jej małą rozdzielczością.

PS M4 Slajd11.png
  • -transformata wynika w istocie rzeczy z rozwiązania układu równań (4.7) względem niewiadomych , przy założeniu znajomości próbek widmowych , .
  • -okresowość -transformaty wynika z -okresowości widma dyskretnego . Sytuacja jest tu analogiczna do rozwinięcia nieokresowego impulsowego sygnału analogowego określonego w skończonym przedziale w trygonometryczny szereg Fouriera, który jest zarazem szeregiem Fouriera okresowego przedłużenia tego sygnału z okresem .

PS M4 Slajd12.png
  • Z formalnego punktu widzenie DPF sygnału -okresowego można traktować jako wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie przestrzeni Hilberta ciągów -okresowych w dziedzinie czas w przestrzeń Hilberta ciągów -okresowych w dziedzinie częstotliwości.
  • Istnieje zasadnicza różnica między DTF sygnału impulsowego a DTF jego przedłużenia okresowego , mimo że są one określone tym samym wyrażeniem. Podkreślmy raz jeszcze, że widmo sygnału impulsowego jest funkcją zmiennej ciągłej , a DTF tego sygnału określa jedynie wartości tego widma w dyskretnych punktach . Natomiast DTF przedłużenia okresowego sygnału określa dokładne widmo sygnału okresowego, które z natury rzeczy jest dyskretne.
  • DFT jest symetryczne (ze sprzężeniem) względem punktu .

PS M4 Slajd13.png
  • Jeśli sygnał jest rzeczywisty, to próbka widma jest rzeczywista. Jeśli sygnał jest rzeczywisty oraz jest parzyste, to próbka jest rzeczywista.
  • W wyniku przesunięcia sygnału o próbek, jego dyskretne widmo amplitudowe nie ulega zmianie, a widmo fazowe zmienia się o wartości . W wyniku mnożenia sygnału przez dyskretny sygnał harmoniczny o pulsacji unormowanej jego widmo ulega przesunięciu o próbek.
  • Można łatwo sprawdzić, że widmo rozpatrywanego w przykładzie sygnału okresowego spełnia właściwości 2-4 oraz twierdzenie Parsevala.

PS M4 Slajd14.png
  • Sygnał odtworzony z -punktowej DFT Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \} } danego sygnału jest powieleniem okresowym tego sygnału z okresem . Jeżeli czas trwania sygnału jest większy od ( w szczególności nieskończony), to poszczególne powielone kopie sygnału nakładają się na siebie i nie jest możliwe dokładnie odtworzenie jego próbek.

PS M4 Slajd15.png
  • Zjawisko nakładania się powielonych okresowo kopii sygnału jest nazywane aliasingiem w dziedzinie czasu, a wynikający stąd błąd odtworzenia – błędem aliasingu.
  • W przypadku sygnału o nieskończonym czasie trwania błąd aliasingu jest tym mniejszy, im większe jest oraz im szybciej sygnał maleje do zera, gdy . W przypadku sygnału o skończonym czasie trwania błąd ten jest tym mniejszy, im mniejsza jest różnica .