PS Moduł 3

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
PS M3 Slajd1.png
  • Metody analizy sygnałów w dziedzinie częstotliwości noszą nazwę metod częstotliwościowych lub metod widmowych.
  • W „języku” częstotliwościowym można w wielu przypadkach w sposób prostszy opisać podstawowe cechy sygnału. Łatwiej jest też rozpatrywać i interpretować niektóre operacje na sygnałach, a zwłaszcza operację filtracji.
  • Widmo sygnału jest jego równoważną reprezentacją w dziedzinie częstotliwości. Ponieważ widmo jest w ogólnym przypadku funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej (por. przykład 3.1), reprezentacja ta ma charakter formalny, niefizyczny.

PS M3 Slajd2.png
  • Zwróćmy uwagę, że w przykładzie 3.2 otrzymaliśmy widmo rzeczywiste. Jest to konsekwencją parzystości sygnału . Widmo to ma kształt funkcji Sa w dziedzinie częstotliwości.
  • Dla sygnałów o ograniczonej energii (należących do przestrzeni ) przekształcenie Fouriera jest wzajemnie jednoznaczne, jeśli całkę (3.1) rozumie się w sensie Lebesgue’a.
  • Wzory (3.1) i (3.2) określają proste i odwrotne przekształcenie Fouriera w sensie zwykłym.

PS M3 Slajd3.png
  • Chcąc wyprowadzić parę transformat w sensie granicznym należy w każdym indywidualnym przypadku skonstruować odpowiedni ciąg sygnałów o ograniczonej energii aproksymujący sygnał o ograniczonej mocy i dokonać przejścia granicznego. Bardzo często w wyniku przejścia granicznego otrzymujemy w granicy widma dystrybucyjne.
  • Ciąg aproksymujący sygnał o ograniczonej mocy konstruuje się zwykle mnożąc go przez funkcje dążące dostatecznie szybko do zera dla typu: , jeśli , oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{-\alpha |t|}\} lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{-\alpha t^2}\} , jeśli .

PS M3 Slajd4.png
  • Widmo amplitudowe i widmo fazowe są funkcjami rzeczywistymi zmiennej i mają wyraźną interpretację fizyczną.
  • Widma amplitudowe sygnału z przykładu 3.3 dąży do zera, gdy . Jego gęstość widmowa jest skoncentrowana głównie w zakresie małych wartości pulsacji. Sygnały takie nazywamy dolnopasmowymi.

PS M3 Slajd5.png
  • Widmo amplitudowe impulsu prostokątnego z przykładu 3.4 ma charakterystyczną strukturę „listkową”. Środkowy przedział pulsacji obejmuje tzw. listek główny, a po obu jego stronach występują listki boczne.
  • Impuls prostokątny jest również sygnałem dolnopasmowym.

PS M3 Slajd6.png
  • Widmo amplitudowe sygnałów rzeczywistych jest funkcją parzystą, a widmo fazowe funkcją nieparzystą zmiennej . Widmo tych sygnałów jest zatem funkcją hermitowską, tj. .
  • Operacje zwierciadlanego odbicia sygnału względem osi rzędnych i jego sprzężenia odpowiadają podobnym operacjom na jego widmie.
  • Przekształcenie Fouriera jest liniowe, tzn. widmo kombinacji liniowej sygnałów jest taką samą kombinacją liniową ich widm.
  • Przy przekształceniu Fouriera kształt sygnału i jego widma jest cechą wymienną.
  • Rozciągnięciu skali czasu sygnału odpowiada zawężenie skali częstotliwości jego widma i odwrotnie. Jednocześnie zmianie ulega skala wartości widma.
  • Przesunięciu sygnału wzdłuż osi czasu o czas odpowiada mnożenie jego widma przez czynnik . Widmo amplitudowe nie zmienia się przy tym, a fazowe ulega zmianie o składnik .
  • Mnożenie sygnału przez zespolony sygnał harmoniczny o pulsacji powoduje przesunięcie jego widma wzdłuż osi pulsacji o wartość .
  • Mnożenie sygnału przez rzeczywisty sygnał harmoniczny o pulsacji (jego modulacja) powoduje rozczepienie widma na dwie części przesunięte wzdłuż osi pulsacji do punktów . Jednocześnie gęstość widmowa maleje dwukrotnie

PS M3 Slajd7.png
  • Różniczkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie jego widma przez w dziedzinie częstotliwości.
  • Całkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada dzielenie jego widma przez w dziedzinie częstotliwości.
  • Splotowi sygnałów odpowiada mnożenie ich widm i odwrotnie, mnożeniu sygnałów odpowiada splatanie ich widm.
  • Twierdzenie Rayleigha orzeka, że (z dokładnością do czynnika ) w przestrzeniach sygnałów i widm jest zachowany iloczyn skalarny. Wynikające z niego twierdzenie Parsevala orzeka, że z dokładnością do czynnika zachowana jest norma w obu przestrzeniach (lub równoważnie energia).
  • Widmo gęstości energii opisuje rozkład całkowitej energii sygnału wzdłuż osi pulsacji.

PS M3 Slajd8.png
  • Ponieważ sygnał wykładniczy obustronny jest parzysty jego widmo jest rzeczywiste i parzyste. Jak widać, jest to sygnał dolnopasmowy. Parę tę można bez trudu wyprowadzić wprost z definicji przekształcenia Fouriera.
  • Obliczenie widma sygnału wprost z definicji jest bardzo złożone. Korzystając natomiast z twierdzenia o symetrii względem wcześniej wyprowadzonej pary transformat dla impulsu prostokątnego, widmo to można wyznaczyć bez trudu. Ponieważ widmo sygnału Sa jest prostokątne, sygnał ten nazywamy idealnym sygnałem dolnopasmowym.
  • Widmo impulsu trójkątnego można wyznaczyć z twierdzenia o splocie w dziedzinie czasu przyjmując .
  • Widmo sygnału wynika z twierdzenia o symetrii i ostatniej pary transformat.

PS M3 Slajd9.png
  • Widmo sygnału Gaussa ma również kształt krzywej Gaussa. Jest to jedna z nielicznych par transformat Fouriera o tej właściwości
  • Widmo prostokątnego impulsu radiowego można wyznaczyć z twierdzenia o modulacji zastosowanego do widma impulsu prostokątnego.

PS M3 Slajd10.png
  • Widmo impulsu Diraca jest stałe w całym przedziale pulsacji. Widmo takie nazywamy białym.
  • Widmo sygnału stałego jest dystrybucją Diraca w dziedzinie częstotliwości o polu w punkcie .
  • Sygnał jest nieparzysty, dlatego jego widmo jest urojone.
  • Para jest dualna względem pary i wynika z twierdzenia o symetrii.

PS M3 Slajd11.png
  • Widmo skoku jednostkowego można wyznaczyć, przedstawiając go w postaci i korzystając z poprzednio omówionych par.
  • Widmo sygnału harmonicznego wynika z twierdzenia o modulacji zastosowanego do pary . Widmo to składa się z dwóch dystrybucji Diraca (prążków) występujących w punktach .
  • Widmo zespolonego sygnału harmonicznego o pulsacji jest dystrybucją Diraca w punkcie o polu .

PS M3 Slajd12.png
  • Ogólna postać widma sygnału okresowego o okresie wynika z jego rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera , twierdzenia o liniowości oraz pary . Widmo to jest ciągiem dystrybucji Diraca występujących w punktach , , co oddaje jego dyskretny charakter.
  • Widmo amplitudowe jest ciągiem dystrybucji Diraca w punktach i polach , zaś widmo fazowe jest ciągiem zwykłych liczb .
  • Widmo unipolarnej fali prostokątnej z przykładu 3.5 jest ciągiem dystrybucji Diraca, których obwiednią jest funkcja .

PS M3 Slajd13.png
  • Widmo unipolarnej fali prostokątnej wykreślono dla dwóch różnych wartości okresu fali i stałej szerokości impulsu . W miarę zwiększania okresu prążki zagęszczają się i ich wysokości maleją. Nie zmieniają się natomiast miejsca zerowe obwiedni, które zależą tylko od szerokości impulsu .

PS M3 Slajd14.png
  • Widmo w sensie granicznym dystrybucji grzebieniowej o okresie jest również dystrybucją grzebieniową o okresie i jednakowych polach impulsów widmowych równych . Wynika to z faktu, co można łatwo pokazać wykonując odpowiednie obliczenie, że współczynniki rozwinięcia dystrybucji w zespolony szereg Fouriera są identyczne dla każdego i równe .
  • Widmo impulsowego sygnału spróbkowanego z okresem wyznaczamy na podstawie twierdzenia o splocie w dziedzinie częstotliwości i właściwości powielenia okresowego dystrybucji Diraca. Widmo to jest okresowym powieleniem z okresem widma sygnału próbkowanego . Jeśli sygnał jest sygnałem o paśmie ograniczonym pulsacją , to widmo powielone jest ciągiem niezniekształconych kopii widma skalowanych przez współczynnik .

PS M3 Slajd15.png
  • Szereg Fouriera można traktować jako szczególny przypadek przekształcenia Fouriera sygnałów okresowych w sensie granicznym.
  • Współczynniki rozwinięcia sygnału okresowego o okresie w zespolony szereg Fouriera są określone przez wartości widma centralnego segmentu tego sygnału w punktach , , podzielone przez .

PS M3 Slajd16.png
  • W teorii obwodów obowiązuje zasada, że im czas trwania sygnału jest krótszy (im impuls jest węższy), tym jego widmo jest szersze.
Zasada nieoznaczoności w teorii sygnałów stanowi, że iloczyn miary czasu trwania sygnału i miary szerokości widma nie może być mniejszy od pewnego progu.
  • Zasada nieoznaczoności znajduje odbicie w wielu zastosowaniach praktycznych. Np. w projektowaniu cyfrowych systemów telekomunikacyjnych dąży się do przesyłania informacji za pomocą jak najkrótszych impulsów, co skraca czas transmisji, i jednocześnie do przesyłania informacji w jak najkrótszym paśmie, co zwiększa pojemność systemu. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności wymagania te są sprzeczne i wyboru czasu trwania impulsu i szerokości jego widma dokonuje się na drodze kompromisu.