PS Moduł 3

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
PS M3 Slajd1.png
  • Metody analizy sygnałów w dziedzinie częstotliwości noszą nazwę metod częstotliwościowych lub metod widmowych.
  • W „języku” częstotliwościowym można w wielu przypadkach w sposób prostszy opisać podstawowe cechy sygnału. Łatwiej jest też rozpatrywać i interpretować niektóre operacje na sygnałach, a zwłaszcza operację filtracji.
  • Widmo , sygnału , jest jego równoważną reprezentacją w dziedzinie częstotliwości. Ponieważ widmo jest w ogólnym przypadku funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej , (por. przykład 3.1), reprezentacja ta ma charakter formalny, niefizyczny.

PS M3 Slajd2.png
  • Zwróćmy uwagę, że w przykładzie 3.2 otrzymaliśmy widmo rzeczywiste. Jest to konsekwencją parzystości sygnału . Widmo to ma kształt funkcji Sa w dziedzinie częstotliwości.
  • Dla sygnałów o ograniczonej energii (należących do przestrzeni , ) przekształcenie Fouriera jest wzajemnie jednoznaczne, jeśli całkę (3.1) rozumie się w sensie Lebesgue’a.
  • Wzory (3.1) i (3.2) określają proste i odwrotne przekształcenie Fouriera w sensie zwykłym.

PS M3 Slajd3.png
  • Chcąc wyprowadzić parę transformat w sensie granicznym należy w każdym indywidualnym przypadku skonstruować odpowiedni ciąg sygnałów o ograniczonej energii aproksymujący sygnał o ograniczonej mocy i dokonać przejścia granicznego. Bardzo często w wyniku przejścia granicznego otrzymujemy w granicy widma dystrybucyjne.
  • Ciąg aproksymujący sygnał , o ograniczonej mocy konstruuje się zwykle mnożąc go przez funkcje dążące dostatecznie szybko do zera dla , typu: , , jeśli , , oraz lub , jeśli , .

PS M3 Slajd4.png
  • Widmo amplitudowe i widmo fazowe są funkcjami rzeczywistymi zmiennej , i mają wyraźną interpretację fizyczną.
  • Widma amplitudowe sygnału z przykładu 3.3 dąży do zera, gdy , . Jego gęstość widmowa jest skoncentrowana głównie w zakresie małych wartości pulsacji. Sygnały takie nazywamy dolnopasmowymi.

PS M3 Slajd5.png
  • Widmo amplitudowe impulsu prostokątnego z przykładu 3.4 ma charakterystyczną strukturę „listkową”. Środkowy przedział pulsacji obejmuje tzw. listek główny, a po obu jego stronach występują listki boczne.
  • Impuls prostokątny jest również sygnałem dolnopasmowym.

PS M3 Slajd6.png
  • Widmo amplitudowe sygnałów rzeczywistych jest funkcją parzystą, a widmo fazowe funkcją nieparzystą zmiennej , . Widmo tych sygnałów jest zatem funkcją hermitowską, tj. .
  • Operacje zwierciadlanego odbicia sygnału względem osi rzędnych i jego sprzężenia odpowiadają podobnym operacjom na jego widmie.
  • Przekształcenie Fouriera jest liniowe, tzn. widmo kombinacji liniowej sygnałów jest taką samą kombinacją liniową ich widm.
  • Przy przekształceniu Fouriera kształt sygnału i jego widma jest cechą wymienną.
  • Rozciągnięciu skali czasu sygnału odpowiada zawężenie skali częstotliwości jego widma i odwrotnie. Jednocześnie zmianie ulega skala wartości widma.
  • Przesunięciu sygnału wzdłuż osi czasu o czas , odpowiada mnożenie jego widma przez czynnik , . Widmo amplitudowe nie zmienia się przy tym, a fazowe ulega zmianie o składnik , .
  • Mnożenie sygnału przez zespolony sygnał harmoniczny o pulsacji , powoduje przesunięcie jego widma wzdłuż osi pulsacji o wartość , .
  • Mnożenie sygnału przez rzeczywisty sygnał harmoniczny o pulsacji , (jego modulacja) powoduje rozczepienie widma na dwie części przesunięte wzdłuż osi pulsacji do punktów , . Jednocześnie gęstość widmowa maleje dwukrotnie

PS M3 Slajd7.png
  • Różniczkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie jego widma przez , w dziedzinie częstotliwości.
  • Całkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada dzielenie jego widma przez , w dziedzinie częstotliwości.
  • Splotowi sygnałów odpowiada mnożenie ich widm i odwrotnie, mnożeniu sygnałów odpowiada splatanie ich widm.
  • Twierdzenie Rayleigha orzeka, że (z dokładnością do czynnika , ) w przestrzeniach sygnałów , i widm , jest zachowany iloczyn skalarny. Wynikające z niego twierdzenie Parsevala orzeka, że z dokładnością do czynnika , zachowana jest norma w obu przestrzeniach (lub równoważnie energia).
  • Widmo gęstości energii opisuje rozkład całkowitej energii sygnału wzdłuż osi pulsacji.

PS M3 Slajd8.png
  • Ponieważ sygnał wykładniczy obustronny jest parzysty jego widmo jest rzeczywiste i parzyste. Jak widać, jest to sygnał dolnopasmowy. Parę tę można bez trudu wyprowadzić wprost z definicji przekształcenia Fouriera.
  • Obliczenie widma sygnału , wprost z definicji jest bardzo złożone. Korzystając natomiast z twierdzenia o symetrii względem wcześniej wyprowadzonej pary transformat dla impulsu prostokątnego, widmo to można wyznaczyć bez trudu. Ponieważ widmo sygnału Sa jest prostokątne, sygnał ten nazywamy idealnym sygnałem dolnopasmowym.
  • Widmo impulsu trójkątnego można wyznaczyć z twierdzenia o splocie w dziedzinie czasu przyjmując .
  • Widmo sygnału , wynika z twierdzenia o symetrii i ostatniej pary transformat.

PS M3 Slajd9.png
  • Widmo sygnału Gaussa ma również kształt krzywej Gaussa. Jest to jedna z nielicznych par transformat Fouriera o tej właściwości
  • Widmo prostokątnego impulsu radiowego można wyznaczyć z twierdzenia o modulacji zastosowanego do widma impulsu prostokątnego.

PS M3 Slajd10.png
  • Widmo impulsu Diraca jest stałe w całym przedziale pulsacji. Widmo takie nazywamy białym.
  • Widmo sygnału stałego jest dystrybucją Diraca w dziedzinie częstotliwości o polu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 2\pi\ } , w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \omega=0\ } , .
  • Sygnał Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle sgn\, t\ } , jest nieparzysty, dlatego jego widmo jest urojone.
  • Para Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 1/{\pi} t\leftrightarrow -jsgn\, \omega} jest dualna względem pary Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle sgn\, t\leftrightarrow 2/j\omega} i wynika z twierdzenia o symetrii.

PS M3 Slajd11.png
  • Widmo skoku jednostkowego można wyznaczyć, przedstawiając go w postaci Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 1(t)=1/2+(sgn\, t)/2} i korzystając z poprzednio omówionych par.
  • Widmo sygnału harmonicznego wynika z twierdzenia o modulacji zastosowanego do pary Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega)} . Widmo to składa się z dwóch dystrybucji Diraca (prążków) występujących w punktach Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \pm \omega_0\ } , .
  • Widmo zespolonego sygnału harmonicznego o pulsacji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \omega_0\ } , jest dystrybucją Diraca w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \omega_0\ } , o polu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 2\pi\ } , .

PS M3 Slajd12.png
  • Ogólna postać widma sygnału okresowego o okresie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle T_0=2\pi/{omega_0}} wynika z jego rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} X_k e^{jk\omega_0 t}} , twierdzenia o liniowości oraz pary Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle e^{jk\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi \delta(\omega-k\omega_0)} . Widmo to jest ciągiem dystrybucji Diraca występujących w punktach Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle k\omega_0\ } , , Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle k=0,\pm\ 1,...\ } , , co oddaje jego dyskretny charakter.
  • Widmo amplitudowe jest ciągiem dystrybucji Diraca w punktach Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle k\omega_0\ } , i polach , , zaś widmo fazowe jest ciągiem zwykłych liczb , .
  • Widmo unipolarnej fali prostokątnej z przykładu 3.5 jest ciągiem dystrybucji Diraca, których obwiednią jest funkcja ,.

PS M3 Slajd13.png
  • Widmo unipolarnej fali prostokątnej wykreślono dla dwóch różnych wartości okresu fali , i stałej szerokości impulsu , . W miarę zwiększania okresu prążki zagęszczają się i ich wysokości maleją. Nie zmieniają się natomiast miejsca zerowe obwiedni, które zależą tylko od szerokości impulsu , .

PS M3 Slajd14.png
  • Widmo w sensie granicznym dystrybucji grzebieniowej o okresie , jest również dystrybucją grzebieniową , o okresie i jednakowych polach impulsów widmowych równych , . Wynika to z faktu, co można łatwo pokazać wykonując odpowiednie obliczenie, że współczynniki rozwinięcia dystrybucji w zespolony szereg Fouriera są identyczne dla każdego , i równe .
  • Widmo impulsowego sygnału spróbkowanego z okresem , wyznaczamy na podstawie twierdzenia o splocie w dziedzinie częstotliwości i właściwości powielenia okresowego dystrybucji Diraca. Widmo to jest okresowym powieleniem z okresem , widma , sygnału próbkowanego , . Jeśli sygnał , jest sygnałem o paśmie ograniczonym pulsacją , to widmo powielone jest ciągiem niezniekształconych kopii widma , skalowanych przez współczynnik , .

PS M3 Slajd15.png
  • Szereg Fouriera można traktować jako szczególny przypadek przekształcenia Fouriera sygnałów okresowych w sensie granicznym.
  • Współczynniki rozwinięcia sygnału okresowego o okresie , w zespolony szereg Fouriera są określone przez wartości widma centralnego segmentu tego sygnału w punktach , , , podzielone przez , .

PS M3 Slajd16.png
  • W teorii obwodów obowiązuje zasada, że im czas trwania sygnału jest krótszy (im impuls jest węższy), tym jego widmo jest szersze.
Zasada nieoznaczoności w teorii sygnałów stanowi, że iloczyn miary czasu trwania sygnału i miary szerokości widma nie może być mniejszy od pewnego progu.
  • Zasada nieoznaczoności znajduje odbicie w wielu zastosowaniach praktycznych. Np. w projektowaniu cyfrowych systemów telekomunikacyjnych dąży się do przesyłania informacji za pomocą jak najkrótszych impulsów, co skraca czas transmisji, i jednocześnie do przesyłania informacji w jak najkrótszym paśmie, co zwiększa pojemność systemu. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności wymagania te są sprzeczne i wyboru czasu trwania impulsu i szerokości jego widma dokonuje się na drodze kompromisu.