PS Moduł 2

Ujęcie sygnałów w kategoriach przestrzeni funkcyjnych ma wiele zalet, m.in. umożliwia: przeniesienie na grunt teorii sygnałów dobrze rozwiniętych metod analizy matematycznej, formalne określenie miary odległości sygnałów w danej przestrzeni (analogicznej do odległości euklidesowskiej w zwykłej $n\$, -wymiarowej przestrzeni wektorowej $\Box ^{n}\$, ), wyodrębnienie w danej przestrzeni zbioru pewnych standardowych sygnałów spełniających funkcję sygnałów bazowych (analogiczną do tej jaką pełnią wersory osi w przestrzeni $\Box ^{n}\$, ), reprezentację sygnału w danej przestrzeni zbiorem współczynników (nieskończonym w przypadku przestrzeni nieskończenie wymiarowych i skończonym w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych) rozkładu tego sygnału na sygnały bazowe (analogiczną do reprezentacji każdego wektora w przestrzeni $\Box ^{n}\$, jako kombinacji liniowej wersorów), określenie kąta między sygnałami, w szczególności rozstrzyganie ich ortogonalności (analogicznie jak na podstawie iloczynu skalarnego można wnioskować o prostopadłości wektorów w przestrzeni $\Box ^{n}\$, ). Korzystanie z analogii między dobrze znaną zwykłą przestrzenią wektorową $\Box ^{n}\$, (aczkolwiek jest to skończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta) a przestrzeniami sygnałowymi Hilberta (które najczęściej, choć nie zawsze, są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi) znakomicie ułatwia zrozumienie pojęć tej części wykładu. Z uwagi na tę analogię metody analizy i syntezy sygnałów oparte na ich reprezentacjach w przestrzeniach Hilberta noszą nazwę metod geometrycznych.

---

Ponieważ baza przestrzeni (2.1) zawiera tylko dwa elementy, zatem przestrzeń ta jest dwuwymiarowa. W przypadku przestrzeni ${L^{2}}_{T_{0}}\$, baza składa się z nieskończonej (przeliczalnej) liczby elementów. Jest to zatem przestrzeń nieskończenie wymiarowa.

---

W systemie czterowartościowej modulacji cyfrowej QPSK informacja jest transmitowana w postaci ciągu prostokątnych impulsów radiowych o jednakowym czasie trwania $T\$, , jednakowej częstotliwości $f_{0}=1/T\$, i amplitudzie $A\$, oraz różnych losowych fazach. W każdym przedziale czasu o długości $T\$, transmitowany jest jeden z impulsów $s_{1}(t),\,s_{2}(t),\,s_{3}(t),\$, lub $s_{4}(t)\$, . Informacja jest zakodowana w fazie, przy czym cztery możliwe wartości fazy odpowiadają transmitowanym dwubitom: „10”, „00”, „01” oraz „11”. Z reguły $T_{0}\,\Box \,T\$, , a ponadto $T/T_{0}\$, jest liczbą całkowitą, tzn. na przedział $T\$, przypada całkowita liczba okresów fali harmonicznej.

---

Korzystając z elementarnych tożsamości trygonometrycznych sygnały QPSK można doprowadzić do postaci (2.1). Otrzymane współczynniki $a\$, i $b\$, przy składowych bazowych $cos\,2\pi f_{0}t\$, i $sin\,2\pi f_{0}t\$, są zarazem współrzędnymi wektorów reprezentujących sygnały QPSK.

---

Pojęcie przestrzeni metrycznej jest podstawowym pojęciem analizy funkcjonalnej. W danym zbiorze można określić więcej niż jedną metrykę. Ten sam zbiór z dwiema różnymi metrykami stanowi dwie różne przestrzenie metryczne. Dla prostoty zapisu w definicjach metryk przestrzeni $L^{2}(0,\,T)\$, i ${L^{2}}_{T_{0}}\$, opuszczony został argument $t\$, w zapisach sygnałów. Analogicznie można zdefiniować przestrzenie metryczne $L^{2}(0,\,\infty )\$, oraz $L^{2}(-\infty ,\,\infty )\$, sygnałów o ograniczonej energii określonych w przedziale $[0,\,\infty )\$, i odpowiednio $(-\infty ,\,\infty )\$, , zmieniając w definicji metryki granice całkowania.

---

Metryka opisuje właściwości geometryczne zbioru $X\$, . W przestrzeni liniowej są natomiast określone dodatkowo operacje na jej elementach, a przez to konkretna struktura algebraiczna. W zastosowaniach teorii sygnałów ciałem $F\$, jest zwykle albo zbiór liczb rzeczywistych $\Box \$, albo zespolonych $\Box \$, (zakładamy tu, że pojęcie ciała jest znane). W zapisie aksjomatów 1-6 pomijany jest dla prostoty znak operacji mnożenia Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle "\cdot"\ } ,. Z aksjomatów przestrzeni liniowej wynikają następujące oczywiste właściwości: $x+\varnothing =x$ , istnieje jedyny element $-x\epsilon X$ , taki że $x+(-x)=\varnothing$ , jeśli $\alpha x=\varnothing$ i $x\neq \varnothing$ , to $\alpha =0$ .

---

W przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \Box^n\ } , norma Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ||x||\ } , wektora Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x\ } , jest zarazem jego długością. Z tego względu w odniesieniu do przestrzeni sygnałowych norma sygnału jest nazywana niekiedy jego „długością”. Dwa elementy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x,\, y\ } , przestrzeni liniowej unormowanej są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ||x-y)||=0} , tj. kiedy element różnicowy jest elementem zerowym. Mówimy wówczas o równości elementów sensie normy. Przestrzeń metryczną Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (X,\, \rho)\ } , nazywamy przestrzenią zupełną, jeśli każdy ciąg Cauchy’ego (por. [1], def. 2.12) jej elementów jest zbieżny w sensie metryki do pewnej granicy i granica ta jest elementem przestrzeni.

---

Definiując iloczyn skalarny przyjęliśmy od razu, że przestrzeń liniowa może być zespolona. Dlatego w aksjomacie 1 występuje symbol sprzężenia Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle "\, *\,"\ } ,. W przestrzeni Banacha określona jest odległość między jej elementami. W przestrzeni Hilberta jest natomiast określony dodatkowo „kąt” między nimi. Określenie iloczynu skalarnego w danej przestrzeni umożliwia wprowadzenie bardzo ważnego pojęcia ortogonalności sygnałów (odpowiednika prostopadłości wektorów w przestrzeni ). Dla ortogonalnych sygnałów spełniona jest (uogólniona) równość Pitagorasa: Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ||x+y)||^2=||x||^2+||y||^2}

---

Przestrzeniami Hilberta są także przestrzenie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle L^2(0,\, \infty)\ } , oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle L^2(-\infty,\, \infty)\ } , . W przestrzeni sygnałów nieokresowych o ograniczonej mocy nie można w ogólnym przypadku wprowadzić iloczynu skalarnego. Dla przestrzeni tej można natomiast zdefiniować pseudoiloczyn skalarny o zbliżonych właściwościach formalnych. Przestrzeniami Hilberta są oczywiście również zbiory wszystkich sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii określonych dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n\epsilon\Box\ } , oraz dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n\epsilon [n_1,\, n_2]\ } , . W tym ostatnim przypadku przestrzeń jest tożsama ze zwykłą przestrzenią wektorową o wymiarze $n_{2}-n_{1}+1\$, .

---

Baza $\left\{x_{k}:\,k\epsilon K\right\}$ danej przestrzeni może być skończona, gdy zbiór indeksów $K\$, jest skończony, lub nieskończona, gdy zbiór $K\$, jest przeliczalny (z reguły równy $\Box \cup \left\{0\right\}$ lub $\Box \$, ) Przestrzeń rozpięta na bazie danej przestrzeni może być identyczna z tą przestrzenią lub być jej podprzestrzenią. Nie w każdej przestrzeni Hilberta istnieje baza ortogonalna. Przestrzeń Hilberta, w której można wyróżnić taką bazę nosi nazwę ośrodkowej przestrzeni Hilberta. W ogólnym przypadku w danej przestrzeni Hilberta może istnieć więcej niż jedna baza ortogonalna. Sygnały ortonormalne są wiernym odpowiednikiem wersorów w zwykłej przestrzeni wektorowej. Każdą bazę przestrzeni Hilberta (a więc zbiór elementów liniowo niezależnych) można zortogonalizować i unormować stosując znaną w literaturze procedurę ortonormalizacji Grama-Schmidta.

---

Wzór (2.9) opisuje rozwinięcie sygnału $x\$, w uogólniony szereg Fouriera określony w danej ośrodkowej przestrzeni Hilberta względem bazy ortonormalnej $\left\{x_{k}:\,k\epsilon K\right\}$ , zaś zbiór $\left\{a_{k}:\,k\epsilon K\right\}$ współczynników tego rozwinięcia stanowi jednoznaczną reprezentację tego sygnału określoną względem tej bazy. Wzór (2.10) na współczynniki szeregu (2.9) można otrzymać obliczając iloczyny skalarne tego szeregu z sygnałami bazowymi $x_{k}\$, i uwzględniając przy tym ich ortogonalność: $(x,x_{k})=\left(\sum _{l\epsilon K}\alpha _{l}x_{l},x_{k}\right)=\sum _{l\epsilon K}\alpha _{l}(x_{l},x_{k})={\begin{cases}0&dla\,l\neq k\\\alpha _{k}&dla\,l=k\end{cases}}$ Podkreślmy, że dobrze znane trygonometryczne szeregi Fouriera: rzeczywisty i zespolony są przypadkami szczególnymi szeregu uogólnionego (2.9). Na zakończenie tego wykładu zostaną podane przykłady innych uogólnionych szeregów Fouriera.

---

W niektórych przypadkach rozwinięcie (2.11) w uogólniony szereg Fouriera względem bazy ortogonalnej ma prostszą postać niż rozwinięcie (2.9) względem odpowiadającej jej bazy ortonormalnej. Odwzorowanie $\chi :\,X\to l^{2}\$, jest liniowe, a ponadto zachowuje normę, tzn. odpowiednie normy w przestrzeniach $X\$, i $l^{2}\$, są sobie równe. O odwzorowaniu takim mówimy , że jest izometryczne. Odwzorowanie to zachowuje także iloczyn skalarny.

---

W praktyce zachodzi konieczność ograniczenia reprezentacji danego sygnału do skończonej sumy $N\$, początkowych wyrazów uogólnionego szeregu Fouriera. Suma (2.12) przybliża wówczas sygnał jedynie z pewną dokładnością. Błąd przybliżenia jest różnicą sygnału $x\$, i szeregu aproksy¬mującego (2.12), zaś za miarę tego błędu przyjmujemy normę sygnału błędu w danej przestrzeni. Miara ta jest najmniejsza ze względu na dobór współczynników sumy (2.12). Oznacza to, że wybór jakichkolwiek innych współczynników $\beta _{k}\$, różnych od współczynników Fouriera $\alpha _{k}\$, określonych wzorem (2.10) prowadzi do zwiększenia miary błędu. Można pokazać, że miarę tę da się wyrazić przez normę sygnału i pierwsze $N\$, współczynniki Fouriera. Twierdzenie Parsevala (2.14) orzeka, że normę sygnału można wyrazić przez współczynniki jego rozwinięcia w uogólniony szereg Fouriera. Z połączenia wzorów (2.13) i (2.14) wynika, że miara błędu aproksymacji jest określona przez współczynniki Fouriera nie uwzględnione w szeregu aproksymującym.

---

Na wyjściach integratorów układu z rys. 2.1 otrzymujemy w chwili $T\$, sygnały o wartościach równych współczynnikom Fouriera $\alpha _{k}\$, . W praktyce możemy oczywiście zastosować skończoną liczbę generatorów sygnałów bazowych, zatem układ realizuje w istocie rzeczy optymalną aproksymację sygnału $x(t)\$, skończonym ortonormalnym szeregiem Fouriera.

---

Układowe wyznaczanie iloczynów skalarnych sygnału $x(t)\$, z funkcjami Haara jest szczególnie proste. Mnożenie można zrealizować za pomocą układów kluczujących, zmieniając polaryzację sygnałów w odpowiednich chwilach.

---

Zwróćmy uwagę, że poszczególne funkcje Haara są wykreślone w tej samej skali czasu, ale w różnych skalach amplitudy. Dokonując odpowiedniej transformacji skali czasu i skali amplitud, możemy określić bazę ortonormalną funkcji Haara w dowolnym skończonym przedziale czasu.

---

Funkcje Walsha są funkcjami binarnymi przybierającymi dwie wartości $+1\$, lub $-1\$, .

---

Definicja funkcji Walsha jest dość skomplikowana. Jednak sposób ich tworzenia będzie dobrze widoczny na wykresach tych funkcji.

---

Podobnie jak funkcje Haara funkcje Walsha można uporządkować według jednego wskaźnika $k\$, , definiując: $W_{0}(t)=x_{0}(t)$ , $W_{1}(t)=x_{1}(t)$ , $W_{k}(t)={x^{i}}_{m}(t)$ dla $k=2,3,...\$, , gdzie $k=2^{m-1}+i-1\$, oraz $i=1,\ldots ,2^{m-1}\$, . Przy takiej numeracji numer $k\$, funkcji Walsha $W_{k}(t)\$, jest równy liczbie jej przejść przez zero. Funkcje o numerach $2^{k}-1\$, , $k=1,2,...\$, są odcinkami zwykłych okresowych bipolarnych fal prostokątnych.

---

Widzimy, że w miarę zwiększania liczby znaczących wyrazów szeregu Walsha sygnał aproksymujący coraz bardziej zbliża się kształtem do impulsu trójkątnego. Dodanie następnych wyrazów niezerowych jeszcze bardziej zwiększy dokładność aproksymacji. Gdyby jako miarę błędu przyjąć nie normę sygnału błędu, lecz jego energię (kwadrat normy), błąd względny aproksymacji dla $k=6\$, wyniósłby $1,56\%\$,.

---

Rozwinięcie sygnału $x(t)\epsilon {L^{2}}_{T_{0}}$ w trygonometryczny rzeczywisty lub zespolony szereg Fouriera względem baz ortogonalnych prowadzi do nieco prostszych zapisów tych szeregów, niż w przypadku ich rozwijania względem baz ortonormalnych. Dlatego z reguły korzysta się z tych drugich postaci szeregów Fouriera. Podkreślmy, że postacie te (przy oznaczeniu $\omega _{0}=2\pi /T_{0}$ ) były już cytowane na wykładzie 1 przy okazji omawiania przykładów różnych rodzajów reprezentacji sygnałów. Miedzy współczynnikami rzeczywistego i zespolonego szeregu Fouriera zachodzą związki: $X_{0}=a_{0}$ , $X_{k}={\frac {a_{k}+jb_{k}}{2}}$ oraz związki odwrotne: $a_{0}=X_{0},\,a_{k}=X_{k}+X_{-k},\,b_{k}=j(X_{k}-X_{-k})$ Umożliwiają one przejście z jednej postaci szeregu na drugą.

---

Podprzestrzeń $\left\{x(t)\epsilon \,L^{2}(-\infty ,\,\infty ):\,X(\omega )\equiv 0\,dla\,|\omega |\leq \omega _{m}\right\}$ , gdzie $X(\omega )\$, oznacza widmo sygnału, nosi nazwę przestrzeni sygnałów o ograniczonym paśmie. Ortonormalną bazę w tej przestrzeni tworzy ciąg kopii sygnału $Sa\$, o jednostkowej energii, poprzesuwanych w czasie o odcinek $T_{s}=\pi /{\omega _{m}}\$, . Z szeregu Kotielnikowa-Shannona wynika, że reprezentację sygnału analogowego $x(t)\$, o ograniczonym paśmie stanowi zbiór jego próbek pobieranych z okresem $T_{s}=\pi /{\omega _{m}}$ . Szereg ten odgrywa zasadniczą rolę w zagadnieniu próbkowania sygnałów.

---