PS Moduł 12

• Stosowane obecnie cyfrowe systemy modulacji sygnałów mogą być wąskopasmowe, szerokopasmowe lub ultraszerokopasmowe. W przypadku omawianych modulacji cyfrowych wąskopasmowy charakter transmitowanych sygnałów wynika z samej istoty zastosowanego sposobu modulacji. • W cyfrowych systemach modulacji informacja o sygnale jest zakodowana w sekwencji znaków binarnych „1” i „0” lub w sekwencji grup tych znaków (słów binarnych) o zadanej długości. • Informacja ta jest kodowane w zmianach amplitudy, fazy lub częstotliwości harmonicznej fali nośnej. W bardziej złożonych systemach modulacji cyfrowych uzmienniane mogą być jednocześnie dwa parametry fali nośnej.

---

• Przyporządkowanie symbolom $m_{i}$ wektorów liczbowych $y_{i}$ odpowiada odwzorowaniu tych symboli w pewne punkty -wymiarowej przestrzeni wektorowej. Odwzorowaniem tego typu posługujemy się w geometrycznych metodach reprezentacji sygnałów. • Postać impulsu $y_{i}(t)$ odpowiadającego symbolowi $m$ transmitowanemu w aktualnym przedziale symbolowym zależy od zastosowanego rodzaju modulacji cyfrowej.

---

• Kanał, w którym na transmitowany sygnał oddziałuje addytywnie gaussowski szum biały nazywamy kanałem AWGN (ang. Additive White Gaussian Noise). Poziom (moc) szumu może nawet znacznie przewyższać poziom (moc) sygnału użytecznego. • Odbiornik sygnałów transmitowanych w systemach modulacji cyfrowej stanowi w istocie rzeczy detektor sygnałów $y_{i}(t)$ faktycznie transmitowanych w kolejnych przedziałach symbolowych, a tym samym detektor odpowiadających im symboli $m_{i}$ W kategoriach teorii optymalnego podejmowania decyzji oznacza to, że w każdym przedziale symbolowym musi być wyznaczona optymalna estymata ${\hat {m}}$ transmitowanego symbolu .

---

• W systemach PSK i FSK amplituda transmitowanych sygnałów jest jednakowa w każdym przedziale symbolowym, a zatem ich moc jest stała i są one mniej narażone na zniekształcenia nieliniowe w odbiorniku. Z tego względu systemy te są częściej stosowane w praktyce, niż system ASK. • Istnieje wiele różnych wariantów systemów ASK, PSK i FSK. Omawiać będziemy tylko ich wersje podstawowe. • W systemach QAM amplituda i faza poszczególnych impulsów harmonicznych mogą przybierać skokowo klika różnych wartości. Np. w standardzie modulacji QAM stosowanym w transmisji modemowej amplituda może przybrać 4, a faza 8 różnych wartości

---

• W przypadku skończonej N-elementowej bazy każdy sygnał $y_{i}(t)$ można przedstawić jako kombinację liniową, o współczynnikach Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle y_{i}_{j},i=1,\ldots ,M,j=1,\ldots ,N} sygnałów bazowych ${\varpi _{1}(t),\ldots ,\varpi _{N}(t)}$ (wzór 12.1). Wektor Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle y_{i}=[y_{i}_{1},\ldots ,y_{i}_{N}]^{T}} tych współczynników stanowi reprezentację sygnału $y_{i}(t)$ w przestrzeni sygnałów rozpiętej na bazie ${\varpi _{1}(t),\ldots ,\varpi _{N}(t)}$ . • Przestrzeń P jest podprzestrzenią przestrzeni $l^{2}(0,T)$, a więc iloczyny skalarne we wzorach (12.2) i (12.3) są określone tak jak w przestrzeni $l^{2}(0,T)$, .

---

• Przypomnijmy, że w przypadku 4-wartościowej modulacji fazy QPSK baza jest dwuelementowa. Konstelację sygnałów QPSK można zatem przedstawić na płaszczyźnie. Tworzą ją cztery punkty przedstawione na rysunku.

---

• Odwzorowanie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P\rigtarrow\Box^N} zachowuje normę, tzn. normy w przestrzeniach P i $\Box ^{N}$ są sobie równe. Oznacza to, że przestrzenie te są izometryczne. Ponadto odwzorowanie to zachowuje iloczyn skalarny. Wynika stąd, że analizę sygnałów w przestrzeni można przenieść do przestrzeni $\Box ^{N}$. • Wektor $x=[x_{1},\ldots ,x_{N}]^{T}$ stanowi zatem reprezentację sygnału $x(t)$ zarówno w przestrzeni P , jak i w przestrzeni$\Box ^{N}$ . • Konsekwencją izometryczności przestrzeni P i $\Box ^{N}$ jest równość miar odległości w obu przestrzeniach. Tak więc, za miarę odległości między sygnałami $x(t)$ i $y(t)$ w przestrzeni P można przyjąć zwykłą miarę euklidesowską odległości między odpowiadającymi im wektorami w przestrzeni $\Box ^{N}$ . Jest to bardzo ważna właściwość z punktu widzenia opracowania odpowiedniej metody detekcji sygnałów w odbiorniku.

---

• Sygnałowi odebranemu $v(t)=y_{i}(t)+w(t)$ odpowiada wektor $v=y_{i}+w$ . Ponieważ szum $w(t)$ jest losowy, zatem długość i kierunek wektora są też losowe. Przyjmiemy upraszczające założenie, że w przedziale T szum $w(t)\in P$ . Przy tym założeniu także sygnał odebrany $v(t)\in P$ . • Przy tych założeniach reguła decyzyjna polega na detekcji wektora $y_{i}$ , którego odległość $p(v,y_{i})$ jest najmniejsza. Reguła ta dzieli przestrzeń sygnałów na obszary decyzyjne, których interpretacja dla przypadku M=2 i N=2 jest przedstawiona na rysunku. • Zakładamy, że oba transmitowane sygnały $y_{1}(t)$ i $y_{2}(t)$ mają te same amplitudy, a więc odpowiadające im wektory $y_{1}$ i $y_{2}$ mają jednakowe długości. Przestrzeń (w omawianym przykładzie płaszczyzna) sygnałów jest dzielona na dwa obszary $Z_{1}$ i $Z_{2}$ prostą decyzyjną, która w tym przypadku jest przekątną kąta między wektorami $y_{1}$ i $y_{2}$ . Jeśli punkt v odpowiadający odebranemu zakłóconemu sygnałowi należy do obszaru $Z_{1}$ (leży po prawej stronie przekątnej) podejmujemy decyzję, że nadany był sygnał . W przeciwnym przypadku podejmujemy decyzję, że nadany został sygnał $y_{2}(t)$ . Odbiornik powinien być oczywiście wyposażony w odpowiedni układ decyzyjny rozstrzygający, do którego z obszarów $Z_{1}$ czy $Z_{2}$ należy punkt v .

---

• W modulacjach binarnych przedział symbolowy T jest równy przedziałowi bitowemu $T_{b}$ (czasowi transmisji jednego bitu). Zakłada się, że przedział ten obejmuje całkowitą liczbę okresów fali nośnej, tj. $T_{b}=k/F$ , gdzie k jest dużą liczbą całkowitą. • W zapisie sygnałów zmodulowanych cyfrowo wygodnie jest posługiwać się energią impulsu $E_{b}$, a nie jego amplitudą. Energia $E_{b}$ jest związana z amplitudą $Y_{0}$ i czasem $T_{b}$ transmisji impulsu zależnością $E_{b}=Y_{0}T_{b}/2$ . • Oba impulsy $y_{1}(t)$ i $y_{2}(t)$ transmitowane w systemie 2PSK są odcinkami fali harmonicznej o przeciwnych fazach. Informacja binarna jest zatem zakodowana w fazie. Faza zerowa odpowiada znakowi binarnemu „1”, a faza $180_{o}$– znakowi binarnemu „0”.

---

• Ponieważ baza przestrzeń sygnałów 2PSK jest jednoelementowa, przestrzeń ta jest linią prostą. Oba sygnały odpowiadają punktom tej prostej o współrzędnych $y_{11}={\sqrt {E_{b}}}$ i $y_{21}=-{\sqrt {E_{b}}}$ . • W przypadku przestrzeni sygnałów 2PSK prostą decyzyjną jest prosta prostopadła do prostej przestrzeni przechodząca przez punkt zerowy. Dzieli ona tę prostą na dwa obszary $Z_{1}$ i $Z_{2}$ , w tym przypadku półproste: Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 0<v<\inft} oraz $-\infty <v<0$ . • Jeśli punkt v , odpowiadający odebranemu sygnałowi $v(t)$ w przestrzeni 2PSK, leży po prawej stronie prostej decyzyjnej , tzn. jeśli jego współrzędna $v_{1}$ należy do półprostej $Z_{1}$ , w odbiorniku zostaje podjęta decyzja, że przesłany został sygnał $y_{1}(t)$ (znak binarny ”1”). W przeciwnym przypadku zostaje podjęta decyzja o nadaniu sygnału $y_{2}(t)$ (znaku binarnego „0”).

---

• W modulatorze 2PSK dane binarne (ciąg znaków „1” i „0”) są doprowadzone do układu kodującego je kodem sygnałowym NRZ. Na wyjściu kodera otrzymujemy sygnał prostokątny bipolarny przybierający w poszczególnych przedziałach bitowych wartość ${\sqrt {E_{b}}}$, gdy transmitowane są znaki „1”, oraz $-{\sqrt {E_{b}}}$ , gdy transmitowane są znaki „0”. • W celu wytworzenia sygnału 2PSK wystarczy tak uformowany sygnał prostokątny podać na układ mnożący, na którego drugie wejście jest podawany sygnał bazowy $\omega _{1}(t)={\sqrt {2/T_{b}}}cos\Omega t$ , pełniący zarazem funkcję fali nośnej. • W układzie demodulatora sygnału 2PSK odebrany sygnał $\nu (t)=y_{i}(t)+w(t)$ jest mnożony w każdym przedziale bitowym przez koherentny sygnał nośny $\omega _{1}(t)$ wytwarzany przez lokalny generator. Sygnał iloczynowy jest następnie podawany na integrator na którego wyjściu pobierana jest w chwili $T_{b}$ próbka $\nu _{1}=(\nu ,\omega )_{L^{2}(0,T_{b})}=\int _{0}^{T_{b}}\nu (t)\omega _{1}(t)dt$ . Generator lokalny, układ mnożący, integrator i układ próbkujący tworzą detektor korelacyjny. • Liczba jest porównywana z progiem równym zeru. Gdy $\nu _{1}>0$ , zostaje podjęta decyzja o przesłaniu znaku „1”, a gdy $\nu _{1}<0$ – decyzja o przesłaniu znaku „0”.

---

• W przypadku modulacji 2FSK informacja jest przesyłana w częstotliwości fali nośnej. Częstotliwość $F_{1}$ reprezentuje znak binarny „1”, a częstotliwość $F_{2}>F_{1}$ – znak binarny „0”. • Rozstaw częstotliwości w modulacji Sunde’a, równy $1/T_{b}$ , zapewnia ciągłość fazy sygnału 2FSK w chwilach kluczowania, a ponadto ortogonalność obu impulsów FSK $y_{1}(t)$ i $y_{2}(t)$ .

---

• Przy założeniu tej samej energii impulsów $E_{b}$ odległość między sygnałami $y_{1}(t)$ i $y_{2}(t)$ w systemie 2FSK jest ${\sqrt {2}}$ razy mniejsza niż w systemie 2PSK i wynosi ${\sqrt {2E_{b}}}$ . • Prosta decyzyjna jest symetralną odcinka łączącego punkty $y_{1}$ i $y_{2}$ reprezentujące na płaszczyźnie sygnałowej oba sygnały FSK. Dzieli ona tę płaszczyznę na dwa obszary (półpłaszczyzny) decyzyjne $Z_{1}$ i $Z_{2}$ . Jeśli punkt $\nu$ odpowiadający odebranemu sygnałowi $\nu (t)$ leży poniżej prostej decyzyjnej zostaje podjęta decyzja o przesłaniu znaku „1”. W przeciwnym przypadku jest podejmowana decyzja o przesłaniu znaku „0”.

---

• Unipolarny sygnał prostokątny generowany w modulatorze sygnału 2FSK przebiera stałą wartość dodatnią ${\sqrt {E_{b}}}$ w tych przedziałach bitowych, w których jest transmitowany znak „1” i wartość równą zeru, gdy transmitowany jest znak „0”. W górnym torze sygnał unipolarny jest mnożony przez falę nośną o częstotliwości $F_{1}$ . Tym samym w torze górnym są generowane impulsy harmoniczne o częstotliwości $F_{1}$ tylko wtedy, gdy transmitowany jest znak „1”. • W dolnym torze powinny być transmitowane impulsy harmoniczne o częstotliwości $F_{2}$ w tych przedziałach bitowych, w których transmitowane są znaki „0”. W tym celu unipolarny sygnał prostokątny podawany jest w tym torze na układ inwertera, który zamienia jego poziomy, tzn. wytwarza sygnał unipolarny przybierający poziom zero, gdy na wyjściu kodera występuje poziom ${\sqrt {(}}E_{b})$ , i odwrotnie. Sygnał z wyjścia inwertera jest mnożony przez falę nośną o częstotliwości $F_{2}$ . Tym samym w torze dolnym są generowane impulsy harmoniczne o częstotliwości $F_{2}$ tylko wtedy, gdy transmitowany jest znak „0”. Wypadkowy sygnał 2FSK otrzymujemy po zsumowaniu sygnałów w obu torach. • Innym sposobem generacji sygnału 2FSK jest zastosowanie oscylatora VCO kluczowanego unipolarnym sygnałem prostokątnym z wyjścia kodera.

---

• W koherentnym demodulatorze dwa korelatory obliczają w każdym przedziale bitowym $T_{b}$ współrzędne $\nu _{1}$ i $\nu _{2}$ punktu $\nu$ odpowiadającego na płaszczyźnie sygnałowej odebranemu sygnałowi . • Jeśli $\Delta \nu =\nu _{1}-\nu _{2}>0$ (punkt leży poniżej prostej decyzyjnej), podejmowana jest decyzja o przesłaniu znaku „1”. Jeśli natomiast $\Delta \nu =\nu _{1}-\nu _{2}<0$ (punkt leży powyżej prostej decyzyjnej) zapada decyzja o przesłaniu znaku „0”. • W demodulatorze koherentnym sygnału 2FSK wymagane są po stronie odbiorczej lokalne generatory fal harmonicznych o częstotliwościach nośnych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \F_1} i $F_{2}$ , które muszą być bardzo precyzyjnie zsynchronizowane z generatorami tych fal w nadajniku, a także między sobą. Stanowi to wadę odbioru koherentnego sygnałów 2FSK.

---

• W niekoherentnym demodulatorze sygnału 2FSK sygnał odebrany $\nu (t)$ jest podawany na dwa tory, w których występują filtry dopasowane do sygnałów bazowych oraz detektory obwiedni. Sygnały na wyjściach detektorów obwiedni są próbkowane na końcu przedziału bitowego i spróbkowane wartości są porównywane w układzie komparatora. • Filtrem dopasowanym do sygnału $x(t)$, $t\geq 0$ , nazywamy filtr o odpowiedzi impulsowej $h(t)=x(T-t)$ , gdzie $T$ jest czasem obserwacji sygnału. Filtr dopasowany zapewnia maksymalny stosunek sygnał-szum SNR na swoim wyjściu w chwili $T$. Odpowiedzi impulsowe filtrów w obu torach demodulatora niekoherentnego sygnału 2FSK mają zatem postać: $h_{i}={\sqrt {2/T_{b}\omega (T_{b}-t)}}$ . • Jeśli wartość próbki $l_{1}$ w chwili $t+T_{b}$ na wyjściu górnego toru jest większa od wartości próbki $l_{2}$ w tej chwili na wyjściu dolnego toru, podejmowana jest decyzja o przesłaniu znaku „1”. W przeciwnym przypadku podejmowana jest decyzja o przesłaniu znaku „0”.

---