PS Moduł 10

Większa odporność na szumy i zakłócenia systemów modulacji kąta jest konsekwencją ogólnego prawa telekomunikacji, zgodnie z którym im szersze jest pasmo transmitowanego sygnału w systemie, tym bardziej jest on odporny na szumy i zakłócenia przy założonej mocy nadajnika. W systemach modulacji kąta możliwa jest regulacja szerokości pasma transmitowanego sygnału przez odpowiedni dobór parametrów modulacji, a tym samym regulacji ich odporności na zakłócenia. W systemach modulacji amplitudy nie ma takiej możliwości. Wzór ogólny (10.1) opisuje dowolne sygnały zmodulowane kątowo, nie tylko omawiane dalej sygnały PM i FM. W systemie PM kąt chwilowy sygnału zmodulowanego zmienia się na tle liniowego wzrostu tego kąta (składnik $\Omega t$ ) proporcjonalnie do sygnału informacyjnego, natomiast w systemie modulacji częstotliwości FM – proporcjonalnie do całki sygnału informacyjnego. Współczynniki proporcjonalności $k_{p}$ i $k_{f}$ są parametrami projektowymi systemu modulacji.

---

Modulator sygnału PM może być zrealizowany za pomocą modulatora FM i układu różniczkującego. Modulator sygnału FM może być zrealizowany za pomocą modulatora PM i układu całkującego. Definicje (10.2) mają charakter ogólny i dotyczą dowolnych sygnałów zmodulowanych kątowo (nie tylko sygnałów PM i FM). Pulsacja (częstotliwość) chwilowa sygnału PM zmienia się wokół pulsacji nośnej $\Omega$ (częstotliwości nośnej $F$ ) proporcjonalnie do sygnału informacyjnego. Pulsacja (częstotliwość) chwilowa sygnału FM zmienia się wokół pulsacji nośnej $\Omega$ (częstotliwości nośnej $F$ ) proporcjonalnie do sygnału informacyjnego.

---

Dewiacja fazy i dewiacja częstotliwości określone wzorami (10.3) i (10.4) są podstawowymi parametrami dowolnych sygnałów zmodulowanych kątowo. W przypadku sygnału PM dewiacja fazy jest proporcjonalna do maksymalnej wartości bezwzględnej sygnału informacyjnego, zaś w przypadku sygnału FM – do maksymalnej wartości bezwzględnej całki sygnału informacyjnego. W przypadku sygnału PM dewiacja częstotliwości jest proporcjonalna do maksymalnej wartości bezwzględnej pochodnej sygnału informacyjnego, zaś w przypadku sygnału FM – do maksymalnej wartości bezwzględnej sygnału informacyjnego.

---

W systemach modulacji kąta częstotliwość chwilowa zmienia się wokół częstotliwości nośnej i odchyla się niewiele od tej częstotliwości. Zakres tych odchyleń ma jednak istotny wpływ na charakter sygnału zmodulowanego. Dla małych wartości wskaźnika modulacji (dewiacji fazy) $\beta$ sygnał PM ma strukturę sygnału AM. Jego szerokość pasma $B_{PM}\approx 2f_{m}$. W porównaniu z modulacją AM nie następuje zatem poszerzenie pasma sygnału zmodulowanego. Podobnie jest w przypadku modulacji wąskopasmowej FM. Mimo wyraźnych podobieństw, modulacje wąskopasmowe PM i FM różnią się w istotny sposób od modulacji AM (należą do tzw. modulacji kwadraturowych). Modulacje wąskopasmowe kąta są zatem mało interesujące w praktyce, bowiem nie uzyskuje się w nich zwiększenia odporności na szumy i zakłócenia. W istniejących systemach PM i FM stosowane są modulacje szerokopasmowe.

---

Wystarczający obraz struktury czasowej i częstotliwościowej sygnału szerokopasmowego PM daje rozpatrzenie najprostszego przypadku modulacji jednym tonem. Przy ustalonych wartościach parametru $k_{p}$ i amplitudy sygnału modulującego $X_{0}$ wskaźnik modulacji $\beta _{PM}$ sygnału PM zmodulowanego jednym tonem jest wielkością stałą, niezależną od częstotliwości $f_{0}$ sygnału modulującego, natomiast jego dewiacja częstotliwości $\triangle f_{PM}$ wzrasta proporcjonalnie ze wzrostem częstotliwości $f_{0}$ . Jak pokażemy później, stanowi to poważną wadę systemu PM w porównaniu z systemem FM.

---

Przedstawienie sygnału PM zmodulowanego jednym tonem w postaci analitycznej znakomicie ułatwia jego analizę. Współczynnikami Fouriera szeregu (10.7) są wartości funkcji Bessela $J_{k}(x)$ pierwszego rodzaju i k-tego rzędu w punkcie $x=\beta$ .

---

Amplituda fali nośnej jest określona przez wartość Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \J_0(\beta)} funkcji Bessela zerowego rzędu w punkcie $\beta$ . Amplitudy każdej k-tej pary fal bocznych są jednakowe i określone przez wartość $J_{k}(\beta )$ funkcji Bessela k-tego rzędu w punkcie $\beta$ , przy czym dla parzystych fazy fal bocznych są zgodne, a dla nieparzystych k- przeciwne

---

W widmie amplitudowym (prawostronnym) sygnału PM zmodulowanego jednym tonem występuje prążek nośny w punkcie $\Omega$ i teoretycznie nieskończona liczba par prążków bocznych w punktach $\Omega \pm k\omega _{0}$ . Jak wynika z rysunku, struktura prążków widmowych i liczba istotnych prążków w widmie silnie zależy od wartości wskaźnika modulacji $\beta$ . Im większa jest wartość $\beta$ , tym więcej prążków o amplitudach istotnie różnych od zera występuje w widmie, a zarazem tym szersze jest pasmo sygnału. Struktura widma amplitudowego sygnału PM wynika wprost z właściwości funkcji Bessela. Są one przedstawione na rysunku dla kilku pierwszych rzędów $k$ . Jedynie funkcja rzędu zerowego przybiera dla $\beta =0$ wartość niezerową. Pozostałe funkcje mają coraz to dłuższy odcinek w zakresie małych wartości $\beta$ , w którym ich wartości są małe. Dla $\beta <0,1$ tylko funkcje rzędu zerowego i pierwszego są istotnie różne od zera. Odpowiada to przypadkowi modulacji wąskopasmowej PM.

---

Do pasma szerokopasmowego sygnału PM zmodulowanego jednym tonem nie wliczamy tych prążków bocznych, których udział w całkowitej mocy sygnału jest pomijalny. Granica pasma jest określona przez najmniejszą liczbę $K$ par prążków spełniającą nierówność (10.8). Dla pośrednich wartości Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle 0,7<\beta _{p}_{m}<10} szerokość pasma sygnału PM zmodulowanego jednym tonem szacujemy według wzoru (10.9). Dla Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \beta _{P}_{m}\geq 10} można korzystać z oszacowania (10.10). Szerokość pasma szerokopasmowego sygnału PM zależy zatem od częstotliwości $f_{0}$ sygnału modulującego i wzrasta liniowo wraz ze wzrostem tej częstotliwości. W porównaniu z modulacjami dwuwstęgowymi amplitudy AM-SC i AM szerokość pasma sygnału PM jest w przybliżeniu Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \beta _{P}_{M}} razy większa. Ponieważ w praktyce Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \beta _{P}_{M}\geq 10} , sygnał PM ma pasmo istotnie szersze, niż sygnały zmodulowane amplitudowo.

---

Systemy modulacji kata charakteryzują się wysoką sprawnością energetyczną. Przy odpowiednim doborze wartości wskaźnika modulacji $\beta$ (gdy $J_{0}(\beta )=0$ ), fala nośna nie występuje w sygnale zmodulowanym, zatem sprawność energetyczna systemu jest wówczas równa 100%. W przypadku modulacji dwoma tonami sygnał PM jest nadal nieskończoną sumą sygnałów harmonicznych, ale ma bardziej złożoną strukturę. Oprócz fali nośnej i fal bocznych o pulsacjach: $\Omega ,\omega \pm k\omega$ , i $\Omega \pm l\omega _{2}$ zawiera on fale o pulsacjach skrośnych $\Omega \pm k\omega _{1}\pm l\omega _{2}$ . Jednak zawsze amplitudy składowych o pulsacjach leżących dostatecznie daleko od pulsacji $\Omega$ są pomijalnie małe, a więc pasmo sygnału PM jest praktycznie skończone. Jeśli sygnał jest zmodulowany dowolnym sygnałem nieokresowym o widmie ciągłym, jego widmo jest ciągłe, skupione wokół pulsacji nośnej i ma bardzo złożoną strukturę. W dostatecznym oddaleniu od pulsacji nośnej widmo to zanika i jest pomijalnie małe. Efektywną szerokość pasma można szacować ze wzoru (10.11) lub dla dużych wartości Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \beta _{P}_{M}\geq 10} – ze wzoru (10.12). Przy ustalonym wskaźniku modulacji Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \beta _{P}_{M}} szerokość pasma sygnału PM zależy od maksymalnej częstotliwości widma sygnału modulującego i rośnie liniowo wraz z jej wzrostem.

---

Koncepcja Armstronga polega na wytworzeniu szerokopasmowego sygnału PM z wąskopasmowego sygnału PM przez odpowiednie przesunięcie widma sygnału wąskopasmowego w zakres wysokich częstotliwości. Generacja wąskopasmowego sygnału PM nie nastręcza trudności i można ją zrealizować, stosując np. modulator zrównoważony. Przemianę częstotliwości uzyskuje się natomiast za pomocą elementu nieliniowego o charakterystyce Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle y_{w}_{y}=y_{w}_{e}^{n}} , na którego wyjściu – po usunięciu zbędnych składowych – możemy wydzielić sygnał PM o -krotnie szerszym paśmie i n -krotnie większym wskaźniku modulacji. Oscylator VCO (ang. Voltage Controlled Oscillator) jest generatorem drgań harmonicznych, których pulsacja chwilowa jest zmienna w czasie w zależności od bieżących wartości sygnału modulującego. Oscylator taki może być zbudowany np. w układzie generatora Hartleya i zawierać zmienną w czasie pojemność $C(t)$ . Pulsację chwilową drgań oscylatora opisuje wzór (10.13), przy czym zakłada się, że pojemność $C(t)$ zmienia się wokół ustalonej wartości $C_{0}$ i jej odchylenia od tej wartości są niewielkie. Można wówczas przyjąć przybliżenie (10.14).

---

Jeżeli oscylator VCO ma generować sygnał PM, jego pulsacja chwilowa drgań musi zmieniać się zgodnie z ogólną zależnością opisującą pulsację chwilową sygnału PM, tj. musi zachodzić równość (10.15). Wynika z niej, że wartość pojemności $C_{0}$ należy wybrać tak, aby dla tej wartości pulsacja drgań oscylatora VCO była równa pulsacji nośnej sygnału $\Omega$ oraz aby zmiany pojemności wokół punktu $C_{0}$ były proporcjonalne do ujemnej pochodnej sygnału modulującego $x(t)$ . Pożądane zmiany pojemności $C(t)$ można uzyskać wykorzystując diodę spolaryzowaną zaporowo (diodę pojemnościową) o charakterystyce napięciowo-pojemnościowej $C(u)$ . W pewnym zakresie zmian napięcia podanego na tę diodę jej pojemność zmienia się liniowo w funkcji tego napięcia (rys a). Wystarczy wówczas diodę tę sterować napięciem zmieniającym się w czasie według zależności $u(t)=U_{0}+\alpha [-dx(t)/dt],\alpha >0$, (rys. b), które transformuje się liniowo na założone zmiany w czasie pojemności$C(t)=C_{0}+\gamma [-dx(t)/dt]$ , przy czym $C(U_{0})$ oraz $\gamma =2k_{p}C_{0}/\Omega$ (rys. c). Napięcie $u(t)$ można wytworzyć podając ze zmienionym znakiem sygnał informacyjny na układ różniczkujący, a następnie dobierając odpowiednio współczynnik $\alpha$ i dodając składową stałą $U_{0}$ .

---

W sygnale PM informacja o sygnale modulującym jest zapamiętana w zmianach jego pulsacji chwilowej. W układzie demodulacji zmiany te są konwertowane na zmiany amplitudy chwilowej sygnału AM. W tym celu wymagany jest element o charakterystyce „pulsacja-amplituda napięcia”, która jest liniowa w pewnym otoczeniu pulsacji nośnej $\Omega$ . Konwersja „pulsacja-amplituda napięcia” może być dokonana na lewym zboczu charakterystyki amplitudowej obwodu rezonansowego, którego pulsacja $\omega _{r}$ jest położona powyżej pulsacji nośnej $\Omega$ (rys. b). Punkt pracy A przy braku modulacji powinien leżeć na najbardziej liniowym odcinku charakterystyki. Warunkiem zachowania liniowości tego przekształcenia są niewielkie odchyłki pulsacji chwilowej sygnału PM od pulsacji nośnej, co w praktyce – jak podkreślaliśmy – jest spełnione. Obwiednia $U(t)$ sygnału na pojemności obwodu rezonansowego jest proporcjonalna do kąta chwilowego sygnału PM

---

Diodowy jednoobwodowy dyskryminator częstotliwości ma małą czułość, tj. małe nachylenie zbocza charakterystyki i niewielki zakres liniowości. Znacznie lepsze właściwości ma dwuobwodowy dyskryminator częstotliwości. Zawiera on dwa obwody rezonansowe pracujące w przeciwfazie o odstrojonych względem siebie pulsacjach rezonansowych Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \omega _{r}_{1}>\Omega } i Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \omega _{r}_{2}<\Omega } . Wypadkowa charakterystyka amplitudowa jest w otoczeniu pulsacji nośnej $\Omega$ znacznie bardzie stroma i ma szerszy odcinek liniowości. Zrównoważony dyskryminator częstotliwości eliminuje składową stałą i ewentualne zniekształcenia przetwarzania. Wymaga natomiast bardzo dokładnego zestrojenia obu obwodów. Wadą dyskryminatorów częstotliwości jest konieczność stosowania elementów indukcyjnych. Ostatnio do demodulacji sygnałów PM są stosowane demodulatory z pętlą fazową PLL (ang. Phase-Locked Loop) realizowane w technologii scalonej.

---

Aby pokazać zasadniczą różnicę między systemami PM i FM, wystarczy rozpatrzyć przypadek modulacji jednym tonem. Dewiacja fazy sygnału FM zmodulowanego jednym tonem jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości $f_{0}$ sygnału informacyjnego. W przypadku sygnału PM dewiacja fazy jest stała w funkcji częstotliwości $f_{0}$ . Dewiacja częstotliwości sygnału FM zmodulowanego jednym tonem jest stałą funkcją częstotliwości $f_{0}$ sygnału informacyjnego. W przypadku sygnału PM dewiacja częstotliwości jest liniowo rosnącą funkcją częstotliwości $f_{0}$.

---

Dla Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \beta _{F}_{M}} szerokość pasma sygnału FM zmodulowanego jednym tonem jest równa podwojonej dewiacji częstotliwości i nie zależy od częstotliwości sygnału modulującego. Podobny wniosek jest słuszny w przypadku sygnału FM zmodulowanego dowolnym sygnałem. Dla Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. connect ECONNREFUSED 127.0.0.1:10042”): {\displaystyle \beta _{F}_{M}>10} szerokość pasma sygnału FM zmodulowanego dowolnym sygnałem jest równa podwojonej dewiacji częstotliwości i nie zależy od pasma sygnału modulującego. Niezależność szerokości pasma zajętego w kanale transmisyjnym przez sygnał FM od pasma sygnału modulującego (rodzaju audycji) przesądziła, że w praktyce w systemach radiofonicznych powszechnego użytku w zakresie fal UKF jest stosowana wyłącznie modulacja FM. W tym formacie jest również transmitowany sygnał fonii w systemach telewizyjnych. Modulację FM stosuje się także w radiotelefonii oraz mikrofalowych liniach radiowych naziemnych i satelitarnych.

---

Wąskie pasmo sygnałów zmodulowanych amplitudowo jest z jednej strony ich zaletą (możliwość transmisji większej liczby sygnałów w zadanym paśmie), z drugiej zaś ¬– wadą (mniejsza odporność na zakłócenia). Z uwagi na znacznie szersze pasmo systemy FM są stosowane w zakresie fal UKF i VHF. Wielodrogowość propagacji fal radiowych spowodowana odbiciami od budynków, kompleksów leśnych itd. jest przyczyną dokuczliwych zakłóceń sygnału (odczuwalnych np. podczas jazdy samochodem.

---