PS Moduł 1

Za pomocą sygnałów przekazywana jest informacja. Często mówi się, że sygnał jest nośnikiem informacji. Modelami matematycznymi posługujemy się w wielu dziedzinach nauki i techniki. Operowanie modelami sygnałów ma szereg zalet, m.in. umożliwia: formalną analizę sygnałów na różnym poziomie dokładności, wprowadzenie jednoznacznych kryteriów podziału sygnałów i na tej podstawie dokonanie ich klasyfikacji, abstrahowanie od natury fizycznej sygnałów (tj. traktowanie sygnałów jako wielkości bezwymiarowych).

---

Rozważania ograniczymy wyłącznie do sygnałów deterministycznych. Omówienie sygnałów losowych wymaga znajomości teorii procesów stochastycznych. Sygnały dzielimy także ze względu na ich przeciwdziedzinę (zbiór wartości). Jeżeli zbiór ten jest ciągły, sygnał nazywamy ciągłym w amplitudzie. Jeżeli jest on dyskretny (w szczególności skończony) sygnał nazywamy dyskretnym w amplitudzie. Łącząc kryteria podziału sygnałów ze względu na rodzaj ich dziedziny i przeciwdziedziny, można wyodrębnić cztery klasy sygnałów: z czasem ciągłym i ciągłe w amplitudzie z czasem ciągłym i dyskretne w amplitudzie z czasem dyskretnym i ciągłe w amplitudzie z czasem dyskretnym i dyskretne w amplitudzie (cyfrowe). W klasie sygnałów dyskretnych wyróżniamy sygnały binarne, które przybierają w każdej chwili tylko dwie wartości binarne (np. 0 i 1 lub 1 i –1 ).

---

Zwróćmy uwagę, że sygnały przedstawione na rys. b) i d) otrzymujemy w wyniku próbkowania sygnałów z rys. a) i odpowiednio c). Z sygnałami powstałymi w wyniku próbkowania sygnałów analogowych mamy w praktyce do czynienia najczęściej. Sygnałami dyskretnymi mogą być jednak także sygnały nie mające pierwowzorów analogowych, np. ciąg notowań dziennych kursu złotówki do dolara. Podkreślmy, że sygnał dyskretny jest w istocie rzeczy ciągiem liczb. Sygnały analogowe będziemy oznaczać $x(t),\,y(t),\,...\$, ,zaś sygnały dyskretne - $x(t_{n}),\,y(t_{n}),\,...\$, ,lub w przypadku próbkowania równomiernego w chwilach $nT_{s}-x(nT_{s}),\,y(nT_{s}),\,...\$, , W odniesieniu do tych ostatnich z reguły operuje się czasem bezwymiarowym, unormowanym względem okresu próbkowania $T_{s}\$, . Oznacza się je wówczas symbolami $x[n],\,y[n],\,...\$, lub $x(n),\,y(n),\,...\$, , gdzie $n\epsilon \Box \$, jest numerem próbki.

---

Podobnie jak w poprzednich przykładach, sygnały z rys. c) i d) są spróbkowanymi sygnałami z rys. a) i b). Terminem impuls określamy zazwyczaj sygnały o krótkim czasie trwania. Zwróćmy uwagę, że w myśl przyjętej definicji sygnał impulsowy niekoniecznie musi trwać w czasie krótko. Istotne jest jedynie, aby jego czas trwania był skończony.

---

Reprezentację sygnału harmonicznego stanowi liczba zespolona $Ae^{j\varphi }\$, , nazywana amplitudą zespoloną, gdzie $A\$, jest amplitudą sygnału, a $\varphi \$, – jego fazą. W przypadku rozwinięcia sygnału okresowego o ustalonym okresie $T_{0}\$, w rzeczywisty trygonometryczny szereg Fouriera (1.1) jego reprezentacja jest zbiór liczb rzeczywistych $\left\{a_{0},a_{k},b_{k}:k\epsilon \Box \right\}$, (zbiór współczynników Fouriera), zaś w przypadku rozwinięcia w zespolony trygonometryczny szereg Fouriera (1.2) – zbiór liczb zespolonych $\left\{X_{k}:k\epsilon \Box \right\}\$, . Znanych jest wiele, czasami bardzo złożonych pod względem formalnym, reprezentacji sygnałów. Do najczęściej stosowanych należą: transformata Fouriera (widmo sygnału) transformata Laplace’a szereg Kotielnikowa-Shannona sygnał analityczny Reprezentacje te będziemy omawiać na dalszych wykładach.

---

Parametry sygnałów są ich globalnymi charakterystykami liczbowymi. Definicje poszczególnych parametrów są zróżnicowane w zależności od klasy sygnału. Wartość średnia sygnału o nieskończonym czasie trwania jest definiowana jako wielkość graniczna. Podobny charakter będą miały definicje innych wielkości charakteryzujących klasę sygnałów o nieskończonym czasie trwania.

---

Energia, moc średnia (krótko moc) i wartość skuteczna, należą do najważniejszych parametrów sygnału. Wielkości te są nazywane parametrami energetycznymi sygnałów. Ponieważ założyliśmy, że sygnały są wielkościami bezwymia¬rowymi, ich energię określoną wzorem (1.6) wyrażamy w sekundach, moc zaś określona wzorami (1.7) lub (1.8) oraz wartość skuteczna są bezwymiarowe. Na podstawie parametrów energetycznych dokonujemy jeszcze jednego ważnego podziału sygnałów na dwie klasy: klasę sygnałów o ograniczonej energii oraz klasę sygnałów o ograniczonej mocy. Zauważmy, że: moc sygnałów o ograniczonej energii jest równa zeru, energia sygnałów o ograniczonej mocy jest nieskończona, każdy sygnał impulsowy ograniczony w amplitudzie jest sygnałem o ograniczonej energii, sygnały o nieskończonym czasie trwania mogą być sygnałami o ograniczonej energii bądź o ograniczonej mocy, sygnały o ograniczonej mocy i ograniczone w amplitudzie są sygnałami o nieskończonym czasie trwania, szczególną podklasą tych ostatnich są sygnały okresowe. Zwróćmy uwagę, że moc sygnału określona wzorem (1.7) ma sens wielkości granicznej. Również jako wielkości graniczne będą dalej definiowane inne wielkości charakteryzujące sygnały o ograniczonej mocy (np. widmo, funkcja autokorelacji itd.).

---

Sygnał pokazany na rys. a) jest symetrycznym unormowanym impulsem prostokątnym o jednostkowym czasie trwania i jednostkowej amplitudzie. Jego wartość średnia i energia są również równe jedności. Został on oznaczony specjalnym symbolem $\Pi (t)\$, . Posługując się tym symbolem, możemy zapisać dowolny impuls prostokątny o wysokości $a\$, , szerokości $b\$, i przesunięty względem zera o czas $c\$, w postaci $a\Pi [(t-c)/b]\$, .Również inne standardowe sygnały będą oznaczane wygodnymi w użyciu symbolami specjalnym, np. symetryczny impuls trójkątny $\Lambda (t)\$, z rys. b. Podkreślmy, że w przeciwieństwie do impulsu prostokątnego $\Pi (t)\$, czas trwania impulsu trójkątnego $\Lambda (t)\$, jest z definicji równy 2. Impulsy radiowe (rys. c), spotyka się zwykle w radiokomunikacji, telekomunikacji oraz technice radarowej i sonarowej. Sygnał $x(t)\$, jest dowolnym sygnałem impulsowym (często prostokątnym) i jest nazywany obwiednią sygnału $y(t)\$, , a sygnał $cos(\omega _{0}t+\varphi _{0})\$, – jego wypełnieniem. Z reguły, czego siłą rzeczy nie oddaje rysunek, okres wypełnienia $T_{0}=2\pi /{\omega _{0}}$ jest dużo mniejszy od czasu trwania impulsu $y(t)\$, .

---

Sygnały przedstawione na rys. a), b) i c) są przykładami sygnałów o nieskończonym czasie trwania, których energia jest skończona. Sygnał pokazany na rys. a) jest typowym sygnałem występującym w obwodach elektrycznych, np. sygnałem prądu rozładowania kondensatora w obwodzie RC. Sygnał z rys. b), oznaczony symbolem specjalnym Sa (od ang. Sampling – próbkowanie), odgrywa w teorii sygnałów rolę szczególną, zwłaszcza w zagadnieniu próbkowania sygnałów. Dobrze znana z analizy matematycznej funkcja $Sax\,\Box \,sinx/x\$, nie ma wartości w zerze, dlatego w definicji tego sygnału wartość tę definiuje się dodatkowo jako równą jedności. Dodajmy, że funkcja $Sa\$, będzie często występować również w opisie widmowym sygnałów. Podobną rolę spełnia w teorii sygnałów funkcja $Sa^{2}\$, . Sygnał o kształcie opisanym tą funkcją jest pokazany na rys. c).

---

Sygnały przedstawione na rys. a)–d) są przykładami prostych sygnałów o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej mocy (ich energia jest nieskończona). Sygnał skoku jednostkowego pokazany na rys. b) jest oznaczany symbolem specjalnym $1(t)\$, , używanym również w teorii obwodów. Zapis $X_{0}1(t-t_{0})\$, oznacza skok o wartość $X_{0}\$, w chwili $t_{0}\$, . Sygnał wykładniczy narastający z rys. c) jest np. sygnałem napięcia na kondensatorze ładowanym przez opór z idealnego źródła napięciowego.

---

Na rys. a), b) i c) są pokazane przykłady najczęściej spotykanych sygnałów okresowych. Są to oczywiście sygnały o ograniczonej mocy. Pełnią one w praktyce rolę sygnałów nośnych w różnych systemach modulacji sygnałów, a także sygnałów synchronizujących. Sygnał harmoniczny (rys. a) jest określony przez trzy parametry: amplitudę $X_{0}\$, , pulsację $\omega _{0}\$, (lub częstotliwość $f_{0}=\omega _{0}/2\pi =1/T_{0}$ , gdzie $T_{0}\$, jest okresem), oraz fazę początkową $\varphi _{0}\$, . Jest on wykorzystywany m.in. jako fala nośna w analogowych systemach modulacji. Fala prostokątna bipolarna (rys. b) jest wykorzystywana jako przebieg synchronizujący i zegarowy, zaś fala prostokątna unipolarna (rys. c) jako przebieg nośny w impulsowych systemach modulacji.

---

Funkcje $|z(t)|={\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}$ i $arg\,z(t)=arctg[y(t)/x(t)]$ noszą nazwę modułu i odpowiednio argumentu sygnału $z(t)\$, . Są to funkcje rzeczywiste czasu. Sygnały zespolone również dzielimy na sygnały o ograniczonej energii i sygnały o ograniczonej mocy. W przypadku sygnałów zespolonych we wzorach definiujących energię (1.6) i moc (1.7) lub (1.8) należy w wyrażeniu podcałkowym uwzględnić nie kwadrat sygnału $x^{2}(t)\$, , a kwadrat modułu sygnału $|x^{2}(t)|\$, .

---

Sygnał harmoniczny zespolony Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle z(t)=e^{j\omega_0 t}} (1.11), nazywany także sinusoidą zespoloną, jest często wykorzystywany do reprezentacji rzeczywistego sygnału harmonicznego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x(t)=cos\omega_0 t} , przy czym Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x(t)=Re\, z(t)} . Jest to oczywiście sygnał o ograniczonej mocy. Jego moc, jak można łatwo sprawdzić korzystając ze zmodyfikowanego wzoru (1.8), jest równa 1. Sygnałami harmonicznymi zespolonymi posługujemy się również w innych reprezentacjach sygnałów rzeczywistych, np. zbiór sygnałów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \left \{e^{jk\omega_0 t} : k\epsilon\Box\right \}\ } , tworzy tzw. bazę rozwinięcia sygnału okresowego o okresie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle T_0=2\pi/{\omega_0}} w zespolony szereg Fouriera (por. wzór (1.2)). Pojęcie sygnału analitycznego, określonego wzorami (1.12) i (1.13), jest jednym z ważniejszych pojęć teorii sygnałów. Stanowi on uogólnienie na sygnały nieharmoniczne reprezentacji rzeczywistego sygnału harmonicznego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle cos\omega_0 t\ } , zespolonym sygnałem harmonicznym Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle e^{j\omega_0 t}=cos\omega_0 t+jsin\omega_0 t} . Zgodnie z definicją sygnał $e^{j\omega _{0}t}\$, jest właśnie sygnałem analitycznym sygnału $\omega _{0}t\$, .

---

Impuls Diraca $\delta (t)$ (rys. a), nazywany również dystrybucją lub deltą Diraca, jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili $t=0\$, , o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym $1\$,. Z formalnego punktu widzenia jest to sygnał o nieograniczonej mocy! Zapis $X_{0}\delta (t-t_{0})\$, oznacza impuls Diraca występujący w chwili $t_{0}\$, o polu równym $X_{0}\$, . Przytoczona definicja impulsu $\delta (t)$ jest definicją klasyczną, podaną jeszcze przez Diraca. Współcześnie deltę Diraca definiuje się w sposób bardziej ścisły na gruncie teorii dystrybucji. Za pomocą dystrybucji grzebieniowej (nazywanej w literaturze także dystrybucją sza lub comb) można w sposób wygodny zapisać formalnie operację próbkowania równomiernego sygnału jako iloczyn tego sygnału i dystrybucji $\delta _{T_{0}}\$, . W efekcie otrzymujemy tzw. impulsowy sygnał spróbkowany (1.14) pokazany na rys. d). Sygnał ten stanowi dystrybucyjną reprezentację sygnału spróbkowanego.

---

Zgodnie z właściwością (1.15), w wyniku mnożenia sygnału $x(t)\$, przez impuls Diraca $\delta (t-t_{0})\$, występujący w chwili $t_{0}\$, wyodrębniamy niejako z całego sygnału $x(t)\$, jego wartość (próbkę) $x(t_{0})\$, w chwili $t_{0}\$, , którą reprezentujemy impulsem Diraca $\delta (t-t_{0})\$, o polu równym $x(t_{0})\$, . Inaczej mówiąc, impuls $x(t_{0})\delta (t-t_{0})\$, stanowi reprezentację dystrybucyjną próbki $x(t_{0})\$, . Właściwość filtracji (1.16) wynika natychmiast w właściwości (1.15) i definicji dystrybucji Diraca. Całka impulsu Diraca w granicach od $-\infty \$, do $t\$, jest równa sygnałowi skoku jednostkowego. Pochodna skoku jednostkowego jest równa impulsowi Diraca. Związki te należy jednak rozumieć w sensie dystrybucyjnym. Splot sygnału $x(t)\$, z impulsem Diraca $\delta (t)\$, daje w wyniku ponownie sygnał $x(t)\$, . Oznacza to, że $\delta (t)\$, jest elementem identycznościowym operacji splotu. Splot sygnału $x(t)\$, z impulsem Diraca przesuniętym o czas $t_{0}\$, daje w wyniku niezmienioną kopię tego sygnału przesuniętą o ten sam czas.

---

Właściwość (1.18) jest uogólnieniem właściwości (1.15). Mnożenie sygnału $x(t)\$, przez dystrybucję grzebieniową daje w wyniku reprezentację dystrybucyjną sygnału sprókowanego w postaci impulsowego sygnału sprókowanego (1.14). Zgodnie z właściwością (1.19), w wyniku splecenia sygnału $x(t)\$, z dystrybucją grzebieniową $\delta _{T_{0}}(t)\$, powstaje sygnał, który jest przedłużeniem okresowym sygnału $x(t)\$, z okresem $T_{0}\$, . Jeśli sygnał $x(t)\$, jest sygnałem impulsowym o czasie trwania mniejszym bądź równym $T_{0}\$, , to przedłużenie to jest ciągiem dokładnych kopii sygnału $x(t)\$, powtarzanych co odcinek czasu $T_{0}\$, . W przeciwnym przypadku powielone kopie nakładają się na siebie i w sygnale przedłużonym okresowo nie jest zachowany kształt sygnału $x(t)\$, .

---

Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych, wartość średnia sygnału dyskretnego jest definiowana odmiennie dla różnych klas sygnałów. Definicje te są analogiczne, z tym że całki we wzorach (1.2) –(1.4) są zastąpione odpowiednimi sumami. W przypadku sygnałów dyskretnych o nieskończonym czasie trwania ich wartość średnia – tak jak dla sygnałów analogowych – jest definiowana jako wielkość graniczna. Także inne wielkości charakteryzujące tę klasę sygnałów będą definiowane w sensie granicznym.

---

Wzory (1.23)–(1.26), określające parametry energetyczne sygnałów dyskretnych, są odpowiednikami wzorów (1.6)–(1.9) definiujących te parametry dla sygnałów analogowych. Jeśli energia sygnału dyskretnego $x[n]\$, , określona wzorem (1.23), spełnia warunek $0<E_{x}<\infty \$, , to sygnał taki nazywamy sygnałem o ograniczonej energii. Jeśli moc sygnału dyskretnego $x[n]\$, , określona wzorem (1.24) lub (1.25), spełnia warunek $0<P_{x}<\infty \$, , to sygnał ten nazywamy sygnałem o ograniczonej mocy.

---

Zgodnie z przyjętą konwencją we wszystkich przytoczonych tu przykładach sygnałów dyskretnych wyrażamy je jako funkcje czasu $n\epsilon \Box \$, unormowanego względem okresu próbkowania. Impuls Kroneckera $\delta [n]\$, (rys. a) jest sygnałem dyskretnym przybierającym wartość niezerową i równą $1\$, jedynie w chwili $n=0\$, . Pozostałe jego próbki są zerowe. Jest on odpowiednikiem analogowego impulsu Diraca $\delta (t)\$, , jednak w przeciwieństwie do niego impuls $\delta [n]\$, jest zwykłą funkcją. Symbol $X_{0}\delta [n-n_{0}]\$, oznacza sygnał dyskretny przybierający jedyną niezerową wartość $X_{0}\$, w chwili $n_{0}\$, . Zarówno impuls Kroneckera, jak i impuls prostokątny (rys. b) oraz impuls trójkątny (rys. c) są przykładami impulsowych sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii.

---

Sygnały pokazane na rys. a) i b) są przykładami sygnałów dyskretnych o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej energii. Są one dyskretnymi odpowiednikami sygnałów analogowych: wykładniczego malejącego oraz $Sa\$, . Parametr $\theta _{0}\$, występujący w zapisie dyskretnego sygnału $Sa\$, ma znaczenie pulsacji unormowanej. W teorii sygnałów dyskretnych normuje się bowiem nie tylko czas, ale także pulsację (częstotliwość) sygnałów. Pojęcie pulsacji unormowanej można wyjaśnić na przykładzie dyskretnego sygnału $Sa\$, następująco. Sygnał ten można mianowicie traktować jako sygnał otrzymany w wyniku próbkowania analogowego sygnału $x(t)=Sa\omega _{0}t$ w chwilach $t_{n}=nT_{s}\$, , gdzie $T_{s}\$, jest okresem próbkowania. W wyniku otrzymuje się dyskretny sygnał $x[n]=Sa\,n\omega _{0}T_{s}$ . Wprowadzając bezwymiarowy parametr $\theta _{0}=\omega _{0}T_{s}\$, , sygnał ten można zapisać jako $x[n]=Sa\,n\theta _{0}\$, . Mówimy, że $\theta _{0}\$, jest pulsacją unormowaną względem okresu próbkowania $T_{s}\$, . Zauważmy, że wykres dyskretnego sygnału $Sa\$, z rys. b) został sporządzony dla $\theta _{0}=\pi /4$ .

---

Sygnały dyskretne pokazane na rys. a)-c) należą do klasy sygnałów o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej mocy. Dyskretny skok jednostkowy $1[n]\$, (rys. b) jest odpowiednikiem analogowego skoku jednostkowego $1(t)\$, . Skok sygnału o dowolną wartość $X_{0}\$, przesunięty w czasie o $n_{0}\$, próbek można zapisać jako $X_{0}1[n-n_{0}]\$, . Dyskretny sygnał harmoniczny pokazany na rys. c), nazywany także dyskretną sinusoidą, otrzymujemy w wyniku próbkowania analogowego sygnału harmonicznego $x(t)=X_{0}sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})$ w chwilach $t_{n}=nT_{s}$ . Parametr $\theta _{0}=\omega _{0}T_{s}$ jest pulsacją unormowaną. Należy podkreślić, że dyskretny sygnał harmoniczny nie musi być sygnałem okresowym zmiennej $n\$, . Można pokazać, że warunkiem jego okresowości jest, aby liczba $2\pi /{\theta _{0}}\$, była liczbą wymierną. Wykres na rys. c) został sporządzony dla $\theta _{0}=\pi /6\$, oraz $\varphi _{0}=0\$, . W tym przypadku dyskretny sygnał harmoniczny jest oczywiście okresowy.

---