PEE Moduł 9

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
PEE M9 Slajd1.png Wykład 9. Transmitancja operatorowa i charakterystyki częstotliwościowe obwodów

PEE M9 Slajd2.png Weźmy pod uwagę obwód złożony z dowolnych elementów pasywnych i źródeł sterowanych nie zawierających wewnątrz żadnych źródeł niezależnych. Wyróżnijmy w tym obwodzie jedną parę zacisków uważanych za wejściowe, do których przykładamy źródło wymuszające oraz drugą parę zacisków wyjściowych, z których zbieramy prąd (zaciski zwarte) lub napięcie (zaciski rozwarte).

Transmitancja operatorowa określa związek między transformatą operatorową sygnału wyjściowego (odpowiedzi), którą tutaj oznaczymy w ogólności przez oraz transformatą operatorową wymuszenia (sygnału wejściowego), oznaczoną ogólnie przez . Transmitancją operatorową nazywać będziemy stosunek transformaty sygnału wyjściowego (prądu lub napięcia) do transformaty sygnału wejściowego układu (źródła napięciowego lub prądowego) przy zerowych warunkach początkowych

W zależności od sygnału wejściowego i wyjściowego układu wyróżnić można cztery rodzaje transmitancji operatorowych: transmitancja napięciowa, prądowa, napięciowo-prądowa i prądowo-napięciowa.


PEE M9 Slajd3.png Przyjmijmy oznaczenie bramy wejściowej cyfrą 1 a bramy wyjściowej cyfrą 2 jak to pokazano na slajdzie obok.


Transmitancja napięciowa (napięciowo-napięciowa)

Transmitancja napięciowa dotyczy stosunku dwu napięć zewnętrznych układu. Sygnałem wejściowym jest źródło napięciowe, a sygnałem wyjściowym napięcie na dowolnym elemencie uznane za napięcie wyjściowe. Jest ona definiowana w postaci

W definicji transmitancji napięciowej zakłada się, że napięcie wyjściowe układu mierzone jest w stanie jałowym tzn. przy (bez obciążenia zacisków wyjściowych, ).


Transmitancja prądowa (prądowo-prądowa)

Transmitancja prądowa dotyczy stosunku dwu prądów zewnętrznych układu, z których jeden jest prądem wymuszającym a drugi prądem gałęzi uznanym za prąd wyjściowy i jest definiowana w postaci


PEE M9 Slajd4.png Transmitancja napięciowo-prądowa

Transmitancja napięciowo-prądowa przyjmuje napięcie na dowolnym elemencie obwodu jako sygnał wyjściowy . Sygnałem wejściowym jest wymuszenie prądowe. Jest zatem zdefiniowana w postaci

Napięcie mierzone jest w stanie jałowym obwodu.


Transmitancja prądowo-napięciowa

Transmitancję prądowo-napięciową definiuje się jako stosunek prądu wyjściowego do napięcia wejściowego (sygnałem wejściowym jest napięcie wymuszające a sygnałem wyjściowym prąd dowolnego elementu w obwodzie)

Szczególnym przypadkiem transmitancji napięciowo-prądowej jest impedancja wejściowa układu, w definicji której przyjmuje się, że prąd i napięcie dotyczą tej samej bramy wejściowej. Jej definicja jest przyjmowana w postaci

Definicja impedancji wejściowej układu zakłada dowolny stan obciążenia . Należy jednak zwrócić uwagę, że każda zmiana impedancji obciążenia zmienia impedancję wejściową. Stąd definiując impedancję wejściową należy sprecyzować, przy jakim obciążeniu jest ona wyznaczana.


PEE M9 Slajd5.png Przy założeniu zerowych warunków początkowych dla indukcyjności i pojemności modele tych elementów nie zawierają źródeł a jedynie impedancje operatorowe . Zestaw impedancji operatorowych dla elementów pasywnych przedstawiono na slajdzie 5.

Dla obwodów pasywnych zawierających elementy , , i obliczenie transmitancji operatorowej polega na zastąpieniu elementu rzeczywistego poprzez ich impedancje operatorowe a następnie wykorzystując dowolną metodę analizy (metoda praw Kirchhoffa, węzłowa, oczkowa, Thevenina, Nortona) należy wyznaczyć odpowiedź operatorową w funkcji wymuszenia.

W ogólnym przypadku obwodu elektrycznego liniowego zawierającego rezystory, cewki i kondensatory oraz źródła sterowane dowolna transmitancja operatorowa ma postać funkcji wymiernej o stopniu licznika równym i stopniu mianownika równym .

Współczynniki mianownika oraz licznika są funkcjami parametrów elementów obwodu i dla ich konkretnych wartości przyjmują wartości rzeczywiste. Najwyższy stopień wielomianu jest równy (w szczególnych przypadkach mniejszy) liczbie elementów reaktancyjnych (cewek i kondensatorów) obwodu. Najczęściej w obwodach występujących w praktyce stopień mianownika jest nie mniejszy niż stopień licznika.

Pojęcie impedancji operatorowej jest uogólnieniem impedancji zespolonej elementów stosowanej w metodzie symbolicznej przy analizie stanów ustalonych w obwodzie zawierającym wymuszenia sinusoidalne. Łatwo pokazać to zakładając we wzorach określających odpowiednie impedancje operatorowe. Dla elementów indukcyjnych i pojemnościowych przy założeniu otrzymuje się następujące zależności


PEE M9 Slajd6.png Odpowiedzią impulsową układu nazywamy jego odpowiedź czasową na wymuszenie w postaci impulsu Diraca przy zerowych warunkach początkowych obwodu. Dla wyznaczenia odpowiedzi impulsowej wykorzystuje się pojęcie transmitancji operatorowej . Transformata funkcji impulsowej Diraca jest równa , zatem obliczając odpowiedź obwodu przyjmiemy wymuszenie . Bezpośrednio z definicji transmitancji wynika

Odpowiedź impulsowa układu jest transformatą odwrotną Laplace’a sygnału . Stąd

Z powyższej zależności wynika, że odpowiedź impulsowa jest transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej układu.


Odpowiedzią skokową układu nazywamy odpowiedź czasową tego układu na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego przy zerowych warunkach początkowych obwodu. Biorąc pod uwagę, że transformata Laplace’a funkcji jednostkowej jest równa otrzymuje się

Odpowiedź skokowa jest transformatą odwrotną Laplace’a sygnału . Stąd

Odpowiedź skokowa układu jest więc transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej tego układu, podzielonej przez zmienną zespoloną . Podobnie jak odpowiedź impulsowa odpowiedź skokowa jest określona w pełni przez transmitancję operatorową układu.


PEE M9 Slajd7.png Dla zilustrowania rozważań teoretycznych obliczmy odpowiedź impulsową i skokową układu o zadanej transmitancji operatorowej


Rozwiązanie

Stosując metodę residuów dla zadanej postaci transmitancji otrzymujemy:

  • odpowiedź impulsową


  • odpowiedź skokową


PEE M9 Slajd8.png Na slajdzie obok i animacjach poniżej przedstawiono wykres czasowy odpowiedzi impulsowej i skokowej układu o zadanej postaci transmitancji operatorowej .


PEE M9rys9 2a animacja.gif


PEE M9rys9 2b animacja.gif


PEE M9 Slajd9.png Stabilność układu jest rozumiana w sensie ograniczonej co do wartości odpowiedzi na wymuszenie o skończonej wartości, dla dowolnej chwili czasowej . Układ nazywać będziemy stabilnym, jeśli jego odpowiedź czasowa na skończoną wartość pobudzenia będzie ograniczona co do wartości w dowolnej chwili czasowej . Stabilność wymaga, aby przy zaniku pobudzenia odpowiedź układu w stanie ustalonym przy była ograniczona co do wartości (stabilność w sensie zwykłym) lub zerowa (stabilność w sensie asymptotycznym). Oznacza to, że dla układów stabilnych odpowiedź w stanie przejściowym powinna zanikać do zera lub co najmniej nie narastać, pozostając na ustalonym poziomie.

Stabilność układu może więc być oceniana na podstawie odpowiedzi impulsowej. Jeśli odpowiedź ta zanika do zera lub pozostaje na stałym poziomie przy układ jest stabilny. Jeśli natomiast odpowiedź impulsowa ma charakter narastający w czasie – układ jest niestabilny. Zauważmy, że odpowiedź impulsowa jest transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej . Jeśli bieguny układu oznaczymy przez gdzie , wówczas w przypadku biegunów jednokrotnych na podstawie metody residuów odpowiedź impulsowa może być wyrażona wzorem

Wzór ten dowodzi, że jeśli wszystkie bieguny układu są położone wyłącznie w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej , , wówczas odpowiedź impulsowa zanika z czasem do zera lub pozostaje ograniczona co do amplitudy (gdy część biegunów lub wszystkie znajdą się na osi urojonej). Sytuacja jest nieco bardziej złożona, gdy część biegunów jest wielokrotna. Dla uproszczenia ograniczymy się tylko do biegunów dwukrotnych. Załóżmy, że liczba takich dwukrotnych biegunów jest równa . W takim przypadku zastosowanie wzorów na residuum przy obliczaniu transformaty odwrotnej prowadzi do wyniku

Przy niezerowej wartości części rzeczywistej biegunów położonych w lewej półpłaszczyźnie odpowiedź przejściowa układu przy będzie zanikać do zera (układ stabilny asymptotycznie). Przy położeniu biegunów na osi urojonej układ może być stabilny (choć nie asymptotycznie), jeśli są to bieguny pojedyncze lub niestabilny, jeśli bieguny są wielokrotne. Utrata stabilności na skutek położenia bieguna wielokrotnego na osi urojonej wynika z pojawienia się we wzorze na odpowiedź impulsową czynnika proporcjonalnego do czasu. Zauważmy, że przy spełnieniu warunku i założeniu bieguna zespolonego wyrażenie może być rozwinięte do postaci . Wobec ograniczonych wartości funkcji sinus i cosinus czynnik ten przy narasta nieograniczenie, co prowadzi do utraty stabilności.

W konsekwencji warunkiem stabilności układu jest położenie biegunów w lewej półpłaszczyźnie, a w przypadku biegunów wielokrotnych wyłączenie ich z osi urojonej.


PEE M9 Slajd10.png Na slajdzie obok i poniższych animacjach zilustrowano wpływ położenia biegunów na stabilność układu. Oś urojona rozgraniczająca obszar stabilny od niestabilnego jest obszarem warunkowo stabilnym (stabilny w sensie zwykłym przy biegunach jednokrotnych i niestabilny przy biegunach wielokrotnych).

PEE M9 rys 9 4a animacja.gif

PEE M9 rys 9 4b animacja.gif

PEE M9 rys 9 4c animacja.gif

PEE M9 rys 9 4d animacja.gif

W zależności od wartości biegunów mamy do czynienia ze stanem aperiodycznym (bieguny położone na osi rzeczywistej) oraz oscylacyjnym (bieguny zespolone). Zanikanie odpowiedzi impulsowej do zera świadczy o stabilności asymptotycznej układu. Odpowiedź o ograniczonej amplitudzie nie zanikająca z czasem świadczy o stabilności zwykłej układu. Odpowiedź narastająca z czasem jest cechą układu niestabilnego.


PEE M9 Slajd11.png Charakterystyką częstotliwościową układu nazywać będziemy zależność wartości sygnału wyjściowego tego układu od częstotliwości przy jednostkowym wymuszeniu sinusoidalnym przyłożonym na wejście układu. Charakterystykę tę można wyznaczyć bezpośrednio na podstawie transmitancji operatorowej T(s). Nosi ona nazwę transmitancji widmowej układu.

Oznaczmy transmitancję widmową w postaci . Jest ona zdefiniowana jako transmitancja operatorowa dla , to znaczy

Transmitancja widmowa reprezentuje sobą liczbę zespoloną będącą funkcją pulsacji . Przedstawiając ją w postaci wykładniczej, to jest można zdefiniować dwa rodzaje charakterystyk częstotliwościowych:

  • charakterystyka amplitudowa przedstawia sobą zależność modułu transmitancji widmowej od pulsacji (częstotliwości f), to jest
  • charakterystyka fazowa określa zależność argumentu transmitancji widmowej od pulsacji (częstotliwości) to jest . Charakterystyka fazowa reprezentuje sobą przesunięcie fazowe między sygnałem wejściowym a wyjściowym dla danej pulsacji .


Charakterystyki częstotliwościowe przedstawia się zwykle na wykresie modułu lub fazy w zależności od pulsacji (częstotliwości). Jeśli wielkości podlegające wykreślaniu różnią się znacznie pod względem wartości (np. zmieniają się w zakresie od do ) wygodnie jest wprowadzić skalę logarytmiczną zwykle o podstawie 10. Dotyczy to określonego zakresu częstotliwości. W przypadku charakterystyki amplitudowej skalę logarytmiczną przelicza się na decybele (dB) definiując logarytmiczną charakterystykę amplitudową


PEE M9 Slajd12.png Jako przykład rozpatrzmy transmitancję operatorową opisaną wzorem


Charakterystyka amplitudowa jest określona wzorem


Na slajdzie i animacji przedstawiono przykładowo charakterystykę amplitudową oraz logarytmiczną charakterystykę amplitudową odpowiadającą transmitancji danej wzorem.


PEE M9 rys 9 5 animacja.gif


Każdy rodzaj przedstawienia charakterystyki amplitudowej podkreśla inne szczegóły w jej przebiegu. Charakterystyka logarytmiczna podkreśla stosunkowo niewielkie w skali globalnej zmiany dynamiczne w tak zwanym paśmie zaporowym, gdzie amplituda sygnału jest bardzo mała w stosunku do pasma przepustowego, podczas gdy skala liniowa uwypukla globalny charakter przebiegu tracąc drobne szczegóły w zakresie częstotliwości gdzie wartości sygnałów są małe.

Charakterystyka amplitudowa wskazuje na dobre (nie tłumione) przenoszenie częstotliwości małych. W miarę wzrostu wartości częstotliwości charakterystyka amplitudowa maleje, co oznacza, że sygnał wyjściowy ma coraz mniejszą amplitudę. Taki obwód ma więc charakter układu dolnoprzepustowego.


PEE M9 Slajd13.png W praktyce inżynierskiej zdefiniowano wiele użytecznych postaci transmitancji operatorowych. Tutaj ograniczymy się jedynie do trzech najprostszych transmitancji pierwszego rzędu: układu całkującego, różniczkującego oraz przesuwnika fazowego.


Układ całkujący

Transmitancja idealnego układu całkującego definiowana jest w postaci

Układ nosi nazwę całkującego, gdyż operator w dziedzinie częstotliwości zespolonej Laplace’a oznacza całkowanie funkcji w dziedzinie czasu. Charakterystykę częstotliwościową układu całkującego opisuje zależność

Wykres charakterystyki amplitudowej

oraz fazowej

dla układu całkującego przy przedstawiono na slajdzie obok i animacji poniżej.


PEE M9 rys 9 6 animacja.gif


Charakterystyka amplitudowa jest typu hiperbolicznego, a charakterystyka fazowa stała (przesunięcie fazowe stałe i równe niezależnie od częstotliwości).


PEE M9 Slajd14.png Układ różniczkujący

Transmitancja układu różniczkującego dana jest w postaci

Układ nosi nazwę różniczkującego, gdyż operator w dziedzinie częstotliwości zespolonej oznacza różniczkowanie funkcji w dziedzinie czasu. Charakterystyka częstotliwościowa opisana jest zależnością

Charakterystyka amplitudowa jest funkcją liniową

a charakterystyka fazowa stała, niezależnie od częstotliwości

Wykres obu charakterystyk układu różniczkującego przy przedstawiono na slajdzie obok i animacji poniżej.


PEE M9 rys 9 7 animacja.gif


PEE M9 Slajd15.png Przesuwnik fazowy

Przesuwnik fazowy jest układem przesuwającym fazę napięcia wyjściowego względem wejściowego bez zmiany amplitudy sygnału. Transmitancję przesuwnika fazowego określa zależność

Charakterystyka częstotliwościowa przesuwnika określona jest następującą relacją

gdzie kąt określony jest wzorem . Powyższa zależność potwierdza, że przesuwnik fazowy nie zmienia amplitudy sygnału wejściowego a wpływa jedynie na przesunięcie fazowe między sygnałem wejściowym i wyjściowym.

Charakterystyka fazowa przesuwnika określona jest zależnością


Na slajdzie obok i poniższej animacji przedstawiono wykres charakterystyki fazowej przesuwnika w funkcji pulsacji dla wartości .


PEE M9 rys9 8 animacja.gif

PEE M9 Slajd16.png Najbardziej ogólnym przypadkiem jest układ opisany transmitancją operatorową T(s) n-tego rzędu o postaci ogólnej zadanej wzorem

Załączony do podręcznika program interakcyjny CHARAKTERYSTYKI umożliwia wykreślanie charakterystyk częstotliwościowych (amplitudowych i fazowych) układów opisanych za pomocą transmitancji operatorowej o postaci określonej wzorem powyższym.

Transmitancja widmowa takiego układu wyznaczana jest z transmitancji operatorowej przez podstawienie . W wyniku otrzymuje się

Transmitancja widmowa przedstawia sobą funkcję zespoloną pulsacji  i może być zapisana w postaci ogólnej jako

Część rzeczywista i urojona są funkcjami zarówno współczynników , licznika i mianownika transmitancji operatorowej, jak i aktualnej wartości pulsacji . Charakterystyka amplitudowa przedstawia sobą moduł transmitancji widmowej określony wzorem

Charakterystyka fazowa jest fazą transmitancji widmowej i wyznaczana jest z zależności


<applet code="filtr.class" archive="images/6/6a/PEE_M9_filtr.jar" width="462" height="363">

</applet>

Omawiane zależności zostały wykorzystane do badania charakterystyk częstotliwościowych układów opisanych transmitancją operatorową zadawaną przez użytkownika.

Użytkownik ustala stopień licznika i mianownika transmitancji, a także wartości wszystkich współczynników wielomianu licznika i mianownika. Określa również zakres pulsacji, dla którego wykreślane będą charakterystyki częstotliwościowe. W programie założono, że maksymalny rząd układu nie powinien przekroczyć wartości 9.

Wykorzystując podane wcześniej zależności częstotliwościowe program wykreśla charakterystyki amplitudowe (liniową i logarytmiczną wyrażoną w decybelach) oraz charakterystykę fazową w stopniach. Charakterystyki filtru zostają wykreślone w oddzielnych oknach, pozwalających na skalowanie oraz oglądanie w powiększeniu poszczególnych odcinków krzywych.


PEE M9 Slajd17.png Jako przykład wyznaczymy transmitancję operatorową typu napięciowego obwodu (górny rysunek na slajdzie obok). Przyjmijmy: , , .


Schemat operatorowy obwodu przy zerowych warunkach początkowych stosowany do wyznaczenia transmitancji przedstawiony jest na dolnym rysunku.


PEE M9 Slajd18.png Kolejne etapy wyznaczania transmitancji:

Prąd I(s)

Napięcie wyjściowe

Transmitancja napięciowa

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się


Zadania sprawdzające


Zadanie 9.1

Wyznaczyć impedancję wejściową w postaci operatorowej dla obwodu przedstawionego na poniższym rysunku. Impedancję wejściową potraktować jako transmitancję napięciowo-prądową.

PEE M9 Rtxt2.jpg

Rozwiązanie

Z prawa prądowego i napięciowego Kirchhoffa napisanych dla obwodu z powyzszego rysunku otrzymuje się


gdzie . Z równania drugiego otrzymuje się


Po podstawieniu do wzoru pierwszego otrzymujemy


Stąd



Zadanie 9.2

Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe obwodu przedstawionego na poniższym rysunku biorąc pod uwagę transmitancję napięciową.

PEE M9 Rtxt3.jpg


Rozwiązanie

Transmitancja napięciowa obwodu określona jest wzorem


Transmitancja widmowa obwodu określona jest na podstawie transmitancji operatorowej przy założeniu


Charakterystyka amplitudowa


Charakterystyka fazowa


Na poniższym rysunku przedstawiono charakterystykę amplitudową i fazową dla wartości jednostkowych elementów obwodu ( i )

PEE M9 rys 9 10.gif