PEE Moduł 3

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
PEE M3 Slajd1.png

PEE M3 Slajd2.png Moc chwilowa

Wartość chwilową napięcia i prądu gałęzi oznaczymy odpowiednio przez oraz przyjmując dla uproszczenie fazę początkową napięcia równą zeru. Moc chwilowa , jako jedyna z mocy jest funkcją czasu i definiuje się ją w postaci iloczynu wartości chwilowych prądu oraz napięcia w obwodzie

Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\varphp”): {\displaystyle p(t)=u(t)i(t)=U_mI_m sin(\omega t)sin(\omega t-\varphi)=\frac{U_mI_m}{2}[cos\varphp-cos(2\omega t-\varphi)]=|U||I|[cos \varphi-cos(2\omega t- \varphi)]}

PEE M3 Slajd3.png Moc czynna

Moc czynną definiuje się jako wartość średnią za okres z mocy chwilowej, to jest

Podstawiając do powyższego wzoru funkcję określającą moc chwilową w obwodzie, po wykonaniu operacji całkowania otrzymuje się

Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest więc wielkością stałą równą iloczynowi modułów wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia fazowego między wektorem napięcia i prądu. Współczynnik odgrywa ogromną rolę w praktyce i nosi specjalną nazwę współczynnika mocy.


PEE M3 Slajd4.png Moc czynna stanowi składową stałą mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu RLC a w granicznym przypadku przy jest równa zeru. Moc czynna osiąga wartość największą wtedy, gdy to znaczy gdy odbiornik ma charakter rezystancyjny, Wartość najmniejszą moc osiąga w przypadku granicznym, gdy to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny, Oznacza to, że na elementach reaktancyjnych nie wydziela się moc czynna.

Z przytoczonych rozważań wynika, moc czynną wydzielaną w rezystorze można opisać następujacymi wzorami

w których prąd oraz napięcie odpowiadają rezystorowi . Jednostką mocy czynnej jest wat (, przy czym . W praktyce stosuje się również wielokrotności wata w postaci kilowata lub megawata oraz wartości ułamkowe, np. miliwat lub mikrowat

Do pomiaru mocy czynnej służy watomierz. Klasyczny watomierz jest przyrządem pomiarowym posiadającym cewkę prądową (o impedancji wewnętrznej bliskiej zeru) do pomiaru prądu gałęziowego obwodu i cewkę napięciową (o impedancji wewnętrznej bliskiej nieskończoności) do pomiaru napięcia między punktami obwodu, dla którego mierzymy moc czynną. Początki uzwojeń obu cewek oznaczać będziemy na schematach przy pomocy gwiazdek. Znak gwiazdki przy cewce prądowej wskazuje kierunek prądu watomierza przyjęty za dodatni (prąd płynie od gwiazdki do watomierza). W przypadku cewki napięciowej gwiazdka wskazuje przyjęty kierunek wyższego potencjału (napięcia ) obwodu. Wskazanie watomierza jest wówczas określone wzorem , które przy naszych oznaczeniach prądu i napięcia watomierza przyjmą postać Przyjmując założenie idealizujące, że impedancja cewki prądowej watomierza jest równa zeru a cewki napięciowej równa nieskończoności watomierz nie ma żadnego wpływu na rozpływy prądów i rozkłady napięć w badanym obwodzie elektrycznym.


PEE M3 Slajd5.png Moc bierna

W obwodach elektrycznych prądu sinusoidalnego definiuje się trzecią wielkość energetyczną będącą iloczynem napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi. Wielkość ta oznaczana jest literą i nazywana mocą bierną

Jednostką mocy biernej jest war (var) będący skrótem nazwy woltamper reaktywny. W przypadku rezystora, dla którego przesunięcie fazowe jest równe zeru moc bierna jest zerowa Moc bierna może się więc wydzielać jedynie na elementach reaktancyjnych, gdyż tylko dla nich przesunięcie fazowe prądu i napięcia jest różne od zera. Przesunięcie fazowe prądu i napięcia na elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje wartość dla cewki oraz dla kondensatora, co oznacza, że sinus kąta jest odpowiednio równy dla cewki (moc bierna cewki jest uważana za dodatnią) oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle –1} dla kondensatora (moc bierna kondensatora jest uważana za ujemną). Stąd przy pominięciu znaku wzór na moc bierną elementów reaktancyjnych o reaktancji może być przedstawiony w trzech równorzędnych postaciach

W ogólności kąt przesunięcia fazowego uważa się za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym (napięcie wyprzedza prąd) a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnościowym (napięcie opóźnia się względem prądu). Moc bierna obwodów o charakterze indukcyjnym jest w sumie mocą indukcyjną, kojarzona z liczbą dodatnią a moc bierna obwodów o charakterze pojemnościowym jest więc w sumie mocą pojemnościową i kojarzoną z liczbą ujemną.


PEE M3 Slajd6.png Moc pozorna zespolona

Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana moc pozorna zespolona. Jest ona proporcjonalna do wartości skutecznych prądu i napięcia, i oznaczana literą . Moc pozorna zespolona definiowana jest formalnie jako liczba zespolona w postaci iloczynu wartości skutecznej zespolonej napięcia i wartości skutecznej sprzężonej prądu .


PEE M3 Slajd7.png Zależność na moc pozorną zespoloną można przedstawić również w postaci wykładniczej Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify”): {\displaystyle S=|S|e^{j}^{\varphi }} W zależności tej wyraża moduł mocy pozornej zespolonej, który może być wyrażony w postaci iloczynu modułów wartości skutecznych prądu i napięcia

Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rysunku możliwe jest wyznaczenie współczynnika mocy. Mianowicie

Wartość współczynnika mocy wyznaczona z powyższej zależności jest identyczna z wartością wynikającą z relacji prądowo-napięciowych zachodzących dla wielkości bramowych obwodu.


PEE M3 Slajd7a.png

Dla ułatwienia korzystania z pojęć mocy zestawiono poniżej najważniejsze postacie wzorów na moc czynną, bierną i pozorną

  • Moc pozorna zespolona
  • Moc czynna
  • Moc bierna

Znak plus dotyczy mocy biernej cewki a minus kondensatora.


PEE M3 Slajd8.png Bilans mocy

W obwodzie elektrycznym, jak w każdym układzie fizycznym obowiązuje prawo zachowania energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca się w tak zwane prawo bilansu mocy. Jeśli całkowitą moc pozorną zespoloną wytworzoną przez źródło (lub wiele źródeł występujących w obwodzie) oznaczymy przez a sumaryczną moc pozorną zespoloną wydzieloną w elementach odbiornika przez , to biorąc pod uwagę prawo zachowania energii obie moce muszą być sobie równe, to znaczy . Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w obwodach elektrycznych.

W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje się standardowo, że zwroty prądów i napięć w elementach odbiornikowych są przeciwne sobie a w elementach źródłowych takie same. Jeśli przyjmiemy ujednoliconą zasadę znakowania prądów i napięć na gałęziach obwodu, zakładającą, że niezależnie od rodzaju elementu zwroty prądu i napięcia na gałęzi są przeciwne sobie, to zasadę bilansu mocy można sformułować w ten sposób, że suma mocy pozornej zespolonej liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa zeru, .


<applet code="moce_demo.class" archive="images/a/a9/PEE_M3_moce.jar" width="600" height="580"></applet> Umieszczony obok program pozwala na analizę w trybie on-line obwodu RLC o strukturze przedstawionej na rysunku. Użytkownik wybiera elementy obwodu włączone w strukturę i wpisuje ich wartości. Po naciśnięciu przycisku OBLICZ program automatycznie obliczy wartości wszystkich prądów, napięć i mocy elementów, podając jednocześnie bilans mocy.

PEE M3 Slajd10.png Dla zilustrowania wprowadzonych tu pojęć mocy oraz zasady bilansowania się mocy rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rysunku.

Niech dany będzie obwód RLC o strukturze przedstawionej na rysunku zasilany z sinusoidalnego źródła napięcia V o wartości . Wartości elementów obwodu są następujące: .

Należy wyznaczyć wartości skuteczne zespolone prądów i napięć elementów oraz moce i bilans mocy w obwodzie.


PEE M3 Slajd11.png Rozwiązanie

Wartości zespolone impedancji i napięcia wymuszającego w obwodzie przy danych wartościach elementów są równe:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify”): {\displaystyle Z_{L}=j\omega L=j1,Z_{C}=-j1/\omega C=-j2,E=100e^{j}^{45^{o}}}

Impedancja zastępcza połączenia równoległego L i R równa się

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double subscripts: use braces to clarify”): {\displaystyle Z_{R}_{L}={\frac {RZ_{L}}{R+Z_{L}}}=0,707e^{j}^{45^{o}}}

Impedancja zastępcza połączenia szeregowego i jest równa


PEE M3 Slajd12.png Napięcia na poszczególnych elementach obwodu dane są w postaci
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify”): {\displaystyle U_{C}=Z_{C}I_{C}=126,6e^{j}^{26,6^{o}}}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double subscripts: use braces to clarify”): {\displaystyle U_{R}_{L}=Z_{R}_{L}I_{C}=44,72e^{j}^{161,6^{o}}}


Prądy cewki i rezystora obliczone z prawa Ohma równają się

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double subscripts: use braces to clarify”): {\displaystyle I_{L}={\frac {U_{R}_{L}}{Z_{L}}}=44,72e^{j}^{71,6^{o}}}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double subscripts: use braces to clarify”): {\displaystyle I_{R}={\frac {U_{R}_{L}}{R}}=44,72e^{j}^{161,6^{o}}}

PEE M3 Slajd13.png

Na rysunku obok i animacji poniżej przedstawiono wykres wektorowy prądów i napięć w obwodzie.

PEE M3 rys3 3 animacja.gif

PEE M3 Slajd14.png Poszczególne rodzaje mocy wydzielonej w obwodzie równają się:
  • Moc pozorna zespolona wydawana przez źródło
  • Moc wydzielana na rezystorze
  • Moc bierna cewki i kondensatora
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. TeX parse error: Double subscripts: use braces to clarify”): {\displaystyle Q_{L}=Im(U_{R}_{L}\cdot I_{L}^{*})=2000var}


Całkowita moc bierna wydzielona na cewce i kondensatorze równa się

Moc wydzielona na rezystorze oraz cewce i kondensatorze równa się dokładnie mocy dostarczonej przez źródło. Bilans mocy generowanej przez źródło i mocy wydzielonej w odbiorniku jest zatem równy zeru.


PEE M3 Slajd15.png Energia magazynowana w idealnym kondensatorze

Cewka i kondensator traktowane jako idealne elementy obwodowe należą do elementów magazynujących energię elektryczną. Rozpatrzmy kondensator o pojemności zasilony z generatora napięciowego . Obliczymy energię dostarczoną do tego kondensatora w czasie od do . Energia ta może być obliczona jako całka z mocy chwilowej

Uwzględniając wzór na moc chwilową i dokonując odpowiednich operacji całkowania otrzymujemy

Uwzględniając wzór na moc chwilową i dokonując odpowiednich operacji całkowania otrzymujemy

Zasadniczą cechą kondensatora idealnego jest jego bezstratność, co oznacza, że energia zgromadzona na nim pozostaje w nim zmagazynowana. Zatem kondensator naładowany do napięcia stałego U posiada energię równą

Jest to bardzo ważna własność kondensatora, wykorzystywana do magazynowania energii elektrycznej.


PEE M3 Slajd16.png Energia magazynowana w idealnej cewce

Rozpatrzmy cewkę o indukcyjności zasiloną z generatora napięciowego . Obliczymy energię dostarczoną do tej cewki w czasie od do . Energia ta, podobnie jak w przypadku kondensatora, może być obliczona jako całka z mocy chwilowej

Uwzględniając wzór na moc chwilową i dokonując odpowiednich operacji całkowania otrzymujemy

Załóżmy, że czas t0 jest taką chwilą, w której prąd cewki jest zerowy. W takim razie wzór na energię upraszcza się do postaci

Zasadniczą cechą cewki idealnej jest jej bezstratność, co oznacza, że energia dostarczona do niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która przepływa prąd stały I posiada energię równą

W odróżnieniu od kondensatora, w którym energia związana była z napięciem między okładkami (ładunkiem) energia cewki jest uzależniona od prądu (strumienia magnetycznego). Stąd przyjmuje się, że kondensator magazynuje energię w polu elektrycznym a cewka w polu magnetycznym.


Zadania sprawdzające

Zadanie 3.1

Sporządzić bilans mocy w obwodzie przedstawionym na rysunku. Przyjąć następujące wartości elementów:

.


PEE M3 Rtxt1.jpg


Rozwiązanie

Wartości symboliczne elementów obwodu:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\omegaL”): {\displaystyle Z_L=j\omegaL=j10}


Impedancje obwodu:


Prądy i napięcia w obwodzie:


Moc wydawana prze źródło


Moce elementów


Moc całkowita odbiornika


Moc odbiornika jest dokładnie równa mocy źródła.