Matematyka dyskretna 2/Test 6: Ciała skończone

Dla dowolnego $x$ w pierścieniu $\mathbf{𝐑}$

$x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0+x\cdot 0$

czyli

$0=x\cdot 0$

W przedstawionym rozumowaniu:

pierwsza równość jest błędna Źle

druga równość jest błędna Źle

implikacja dająca trzecią równość jest błędna Źle

żadne z powyższych Dobrze

Zbiór $M_{3\times 3}$ wszystkich macierzy wymiaru $3\times 3$ wypełnionych liczbami całkowitymi wraz z dodawaniem i mnożeniem macierzy jest:

pierścieniem Dobrze

pierścieniem przemiennym Źle

pierścieniem bez dzielników zera Źle

ciałem Źle

Dla wielomianów $a(x),b(x)$ nad pierścieniem $\mathbf{𝐑}$:

$\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x)\cdot b(x))=\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x))+\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(b(x))$ Źle

$\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x)+b(x))⩽\max (\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x)),\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(b(x)))$ Dobrze

$\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x)+b(x))⩽\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x))+\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(b(x))$ Dobrze

$\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x)\cdot b(x))\le \mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x))\cdot \mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(b(x))$ Źle

Jeśli $1$ jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianów $a(x)$ i $b(x)$ nad ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_3$, to ich największym wspólnym dzielnikiem jest także:

$0$ Źle

$2$ Dobrze

$x+1$ Źle

żaden z pozostałych Źle

W pierścieniu wielomianów nad ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_3$ ideał główny generowany przez $x^2+2$ zawiera:

$0$ Dobrze

$x$ Źle

$2x^2+2$ Źle

$2x^3+x$ Dobrze

Dla dowolnego $p(x)$ nierozkładalnego wielomianu nad ciałem $\mathbf{𝐅}$:

$\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(p(x))\le \left|F\right|$ Źle

$p(x)$ jest odwracalny, Źle

jeśli $p(x)=a(x)b(x)$, to $\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(a(x))=0$ lub $\mathsf{d}\mathsf{e}\mathsf{g}(b(x))=0$ Dobrze

jeśli $p(x)|a(x)b(x)$, to $p(x)|a(x)$ lub $p(x)|b(x)$ Dobrze

Wskaż wielomiany nierozkładalne nad ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_3$

$2x+1$ Dobrze

$2x^3+x^2+x+2$ Dobrze

$x^2+2$ Dobrze

$x^2+1$ Źle

Dla $p(x)$ wielomianu nad ciałem $\mathbf{𝐅}$ jeśli $(x-c{)}^2|p(x)$ to:

$p(c)=0$ Dobrze

$p(x)=(x-c{)}^{2}q(x)$ i $q(c)=0$, dla pewnego wielomianu $q(x)$ Źle

$p(x)=(x-c)q(x)$ i $q(c)=0$, dla pewnego wielomianu $q(x)$ Dobrze

$p(x)=(x-c)q(x)$ i $x-c|q(x)$, dla pewnego wielomianu $q(x)$ Dobrze

Stopień dowolnego niezerowego elementu ciała ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ to:

$0$ Źle

$1$ Dobrze

$p-1$ Źle

$p$ Źle

Istnieje ciało o liczności:

$8$ Dobrze

$9$ Dobrze

$10$ Źle

$11$ Dobrze