Matematyka dyskretna 2/Test 6: Ciała skończone

Dla dowolnego $x$ w pierścieniu ${\mathbf {R} }$

$x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0+x\cdot 0$

czyli

$0=x\cdot 0$

W przedstawionym rozumowaniu:

pierwsza równość jest błędna Źle

druga równość jest błędna Źle

implikacja dająca trzecią równość jest błędna Źle

żadne z powyższych Dobrze

Zbiór $M_{3\times 3}$ wszystkich macierzy wymiaru $3\times 3$ wypełnionych liczbami całkowitymi wraz z dodawaniem i mnożeniem macierzy jest:

pierścieniem Dobrze

pierścieniem przemiennym Źle

pierścieniem bez dzielników zera Źle

ciałem Źle

Dla wielomianów $a(x),b(x)$ nad pierścieniem ${\mathbf {R} }$:

${\mathsf {deg}}(a(x)\cdot b(x))={\mathsf {deg}}(a(x))+{\mathsf {deg}}(b(x))$ Źle

${\mathsf {deg}}(a(x)+b(x))\leqslant \max \left({{\mathsf {deg}}(a(x))},{{\mathsf {deg}}(b(x))}\right)$ Dobrze

${\mathsf {deg}}(a(x)+b(x))\leqslant {\mathsf {deg}}(a(x))+{\mathsf {deg}}(b(x))$ Dobrze

${\mathsf {deg}}(a(x)\cdot b(x))\leq {\mathsf {deg}}(a(x))\cdot {\mathsf {deg}}(b(x))$ Źle

Jeśli $1$ jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianów $a(x)$ i $b(x)$ nad $\mathbb {Z} _{3}$, to ich największym wspólnym dzielnikiem jest także:

$0$ Źle

$2$ Dobrze

$x+1$ Źle

żaden z pozostałych Źle

W pierścieniu wielomianów nad $\mathbb {Z} _{3}$ ideał główny generowany przez $x^{2}+2$ zawiera:

$0$ Dobrze

$x$ Źle

$2x^{2}+2$ Źle

$2x^{3}+x$ Dobrze

Dla dowolnego $p(x)$ nierozkładalnego wielomianu nad ciałem ${\bf {F}}$:

${\mathsf {deg}}(p(x))\leq \left\vert F\right\vert$ Źle

$p(x)$ jest odwracalny, Źle

jeśli $p(x)=a(x)b(x)$, to ${\mathsf {deg}}(a(x))=0$ lub ${\mathsf {deg}}(b(x))=0$ Dobrze

jeśli $p(x)|a(x)b(x)$, to $p(x)|a(x)$ lub $p(x)|b(x)$ Dobrze

Wskaż wielomiany nierozkładalne nad $\mathbb {Z} _{3}$

$2x+1$ Dobrze

$2x^{3}+x^{2}+x+2$ Dobrze

$x^{2}+2$ Dobrze

$x^{2}+1$ Źle

Dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p(x)} wielomianu nad ciałem Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle {\bf F}} jeśli Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (x-c)^2|p(x)} to:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p(c)=0} Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p(x)=(x-c)^2q(x)} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle q(c)=0} , dla pewnego wielomianu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle q(x)} Źle

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p(x)=(x-c)q(x)} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle q(c)=0} , dla pewnego wielomianu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle q(x)} Dobrze

$p(x)=(x-c)q(x)$ i $x-c|q(x)$, dla pewnego wielomianu $q(x)$ Dobrze

Stopień dowolnego niezerowego elementu ciała $\mathbb {Z} _{p}$ to:

$0$ Źle

$1$ Dobrze

$p-1$ Źle

$p$ Źle

Istnieje ciało o liczności:

$8$ Dobrze

$9$ Dobrze

$10$ Źle

$11$ Dobrze