Matematyka dyskretna 2/Test 5: Zastosowania teorii grup w zliczaniu

Orbita $Gx$ w G-zbiorze $(G,X)$

to zbiór elementów zbioru $X$ postaci $g\left(x\right)$ , gdzie $g\in G$ . Dobrze

jest równa $Gy$ jeśli tylko istnieje $g\in G$ takie, że $g\left(x\right)=y$ . Dobrze

jest równa $Gy$ dla dowolnego $y\in X$ . Źle

jest równa $Gy$ jeśli tylko $x\circ y=id$ . Źle

Stabilizator $G_x$ w G-zbiorze $(G,X)$

to szczególny przypadek orbity. Źle

jest równoliczny z orbitą $Gx$ . Źle

spełnia warunek $\left|G_x\right|\cdot \left|Gx\right|=\left|G\right|$ . Dobrze

to zbiór permutacji $g\in G$ takich, że $g\left(x\right)=x$ . Dobrze

W G-zbiorze $(G,X)$ zachodzi:

$\left|\{Gx:x\in G\}\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum _{g\in G}\left|\mathsf{F}\left(g\right)\right|$ . Dobrze

$\bigcup _{x\in X}Gx=X$ . Dobrze

$\left|G{x}_1\right|=\left|G{x}_2\right|$ dla wszystkich $x_1,x_2\in X$ . Dobrze

$G{x}_1=G{x}_2$ dla wszystkich $x_1,x_2\in X$ . Źle

Dla G-zbioru $(G,X)$ dwa kolorowania ${\omega }_1,{\omega }_2$ są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy:

istnieje permutacja $g\in G$ taka, że ${\omega }_1\left(g\left(x\right)\right)={\omega }_2\left(x\right)$ dla dowolnych $x\in X$ . Dobrze

istnieje permutacja $g$ zbioru $X$ taka, że ${\omega }_1\left(g\left(x\right)\right)={\omega }_2\left(x\right)$ dla dowolnych $x\in X$ Źle

istnieje permutacja $g\in G$ taka, że $\hat{g}\left({\omega }_1\right)={\omega }_2$ . Dobrze

${\omega }_1={\omega }_2$ . Źle

Indeks grupy permutacji wszystkich możliwych obrotów $3$ -wymiarowej kostki to:

$\frac{1}{21}(x_1^8+8x_1^2{x}_3^2+6x_2^4+6x_4^2)$ Źle

$\frac{1}{12}(x_1^8+8x_1^2{x}_3^2+9x_2^4+6x_4^2)$ Źle

$\frac{1}{24}(x_1^8+8x_1^2{x}_3^2+9x_2^4+6x_4^2)$ Dobrze

żadna z pozostałych. Źle

Liczba nieizomorficznych kolorowań trzema barwami ścianek sześcianu foremnego to:

54 Źle

57 Dobrze

1368 Źle

żadna z pozostałych. Źle

Liczba nieizomorficznych kolorowań ścian sześcianu takich, że $4$ ściany są białe, a $2$ czarne to:

1 Źle

2 Dobrze

24 Źle

48 Źle