Matematyka dyskretna 2/Test 5: Zastosowania teorii grup w zliczaniu

Orbita $Gx$ w G-zbiorze $\left(G,X\right)$

to zbiór elementów zbioru $X$ postaci $g\!\left(x\right)$ , gdzie $g\in G$ . Dobrze

jest równa $Gy$ jeśli tylko istnieje $g\in G$ takie, że $g\!\left(x\right)=y$ . Dobrze

jest równa $Gy$ dla dowolnego $y\in X$ . Źle

jest równa $Gy$ jeśli tylko $x\circ y=id$ . Źle

Stabilizator $G_{x}$ w G-zbiorze $\left(G,X\right)$

to szczególny przypadek orbity. Źle

jest równoliczny z orbitą $Gx$ . Źle

spełnia warunek $\left\vert G_{x}\right\vert \cdot \left\vert Gx\right\vert =\left\vert G\right\vert$ . Dobrze

to zbiór permutacji $g\in G$ takich, że $g\!\left(x\right)=x$ . Dobrze

W G-zbiorze $\left(G,X\right)$ zachodzi:

$\left\vert \left\lbrace Gx:x\in G\right\rbrace \right\vert ={\frac {1}{\left\vert G\right\vert }}\sum _{g\in G}\left\vert {\mathsf {F}}\left(g\right)\right\vert$ . Dobrze

$\bigcup _{x\in X}Gx=X$ . Dobrze

$\left\vert Gx_{1}\right\vert =\left\vert Gx_{2}\right\vert$ dla wszystkich $x_{1},x_{2}\in X$ . Dobrze

$Gx_{1}=Gx_{2}$ dla wszystkich $x_{1},x_{2}\in X$ . Źle

Dla G-zbioru $\left(G,X\right)$ dwa kolorowania $\omega _{1},\omega _{2}$ są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy:

istnieje permutacja $g\in G$ taka, że $\omega _{1}\!\left(g\!\left(x\right)\right)=\omega _{2}\!\left(x\right)$ dla dowolnych $x\in X$ . Dobrze

istnieje permutacja $g$ zbioru $X$ taka, że $\omega _{1}\!\left(g\!\left(x\right)\right)=\omega _{2}\!\left(x\right)$ dla dowolnych $x\in X$ Źle

istnieje permutacja $g\in G$ taka, że ${\hat {g}}\!\left(\omega _{1}\right)=\omega _{2}$ . Dobrze

$\omega _{1}=\omega _{2}$ . Źle

Indeks grupy permutacji wszystkich możliwych obrotów $3$ -wymiarowej kostki to:

${\frac {1}{21}}\left(x_{1}^{8}+8x_{1}^{2}x_{3}^{2}+6x_{2}^{4}+6x_{4}^{2}\right)$ Źle

${\frac {1}{12}}\left(x_{1}^{8}+8x_{1}^{2}x_{3}^{2}+9x_{2}^{4}+6x_{4}^{2}\right)$ Źle

${\frac {1}{24}}\left(x_{1}^{8}+8x_{1}^{2}x_{3}^{2}+9x_{2}^{4}+6x_{4}^{2}\right)$ Dobrze

żadna z pozostałych. Źle

Liczba nieizomorficznych kolorowań trzema barwami ścianek sześcianu foremnego to:

54 Źle

57 Dobrze

1368 Źle

żadna z pozostałych. Źle

Liczba nieizomorficznych kolorowań ścian sześcianu takich, że $4$ ściany są białe, a $2$ czarne to:

1 Źle

2 Dobrze

24 Źle

48 Źle