Matematyka dyskretna 2/Test 4: Elementy teorii grup

Zaznacz struktury będące grupami:

$({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,+,0)$ Dobrze

$({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4^{*},\cdot ,1)$ Źle

$({\mathbb{\mathbb{Z}}}_5,+,0)$ Dobrze

$({\mathbb{\mathbb{Z}}}_5^{*},\cdot ,1)$ Dobrze

Dla dowolnych elementów $x,y$ pewnej grupy element $x^{-1}y{y}^{-1}yx{y}^{-1}$ można tez zapisać jako:

$x^{-1}yx{y}^{-1}$ Dobrze

$1$ Źle

$x^{-1}zz{z}^{-1}{z}^{-1}yx{y}^{-1}$, gdzie $z$ jest dowolnym elementem grupy Dobrze

$x^{-1}{y}^{-1}x{y}^{-1}$ Źle

W dowolnej grupie skończonej, jeśli $x^{15}=1$ i $x^{25}=1$, to:

$x$ jest rzędu $5$ Źle

$x^5=1$ Dobrze

$x^{30}=1$ Dobrze

$x^{35}=1$ Dobrze

Grupa $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_{12},+,0)$

ma podgrupę $1$-elementową Dobrze

ma podgrupę $2$-elementową Dobrze

ma podgrupę $3$-elementową Dobrze

ma podgrupę $4$-elementową Dobrze

Niech $H_0,H_1$ będą podgrupami grupy $\mathbf{𝐆}$. Wtedy:

$H_0\cap H_1$ jest podgrupą grupy $\mathbf{𝐆}$ Dobrze

$H_0\cup H_1$ jest podgrupą grupy $\mathbf{𝐆}$ Źle

$H_0\cap H_1$ jest podgrupą grupy $\mathbf{𝐆}$, o ile $H_0\subseteq H_1$ Dobrze

$H_0\cup H_1$ jest podgrupą grupy $\mathbf{𝐆}$, o ile $H_0\subseteq H_1$ Dobrze

Wskaż prawdziwe własności grup $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$ dla $n>1$:

grupa $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$ jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest pierwsza Źle

każda grupa postaci $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$ jest cykliczna Dobrze

jeśli grupa ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_m$ jest cykliczna, to $m$ i $n$ są względnie pierwsze Dobrze

grupa ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_m$ jest cykliczna o ile $m$ i $n$ są względnie pierwsze Dobrze

Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_n$ jest grupą addytywną $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$:

${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_3$ i ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_3\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$ Dobrze

${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_3$ i ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_6$ Dobrze

${\mathbb{\mathbb{Z}}}_3\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_{33}$ i ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{99}$ Źle

${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2\times {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$ i ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ Źle

Czy w dowolnej grupie postaci $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_n,+,0)$ elementów rzędu $7$ jest $0$ lub $6$?

tak Dobrze

tak, jeśli dodatkowo $n$ jest wielokrotnkością $7$ Dobrze

tak, jeśli dodatkowo $n\perp 7$ Dobrze

żadna z pozostałych Źle

Dla podgrupy $\mathbf{𝐇}$ skończonej grupy $\mathbf{𝐆}$ zachodzi:

$\left|gH\right|=\left|Hg\right|$, jeśli $g\in H$ Dobrze

$gH=Hg$, jeśli $g\in H$ Dobrze

$\left|gH\right|=\left|Hg\right|$, dla dowolnego $g\in G$ Dobrze

$gH=Hg$, dla dowolnego $g\in G$ Źle

Jeśli element $x$ grupy $\mathbf{𝐆}$ ma rząd $n$, to $x^{3n}$ ma rząd:

$1$ Dobrze

$3$ Źle

$n$ Źle

żadne z pozostałych Źle