Matematyka dyskretna 2/Test 4: Elementy teorii grup

Zaznacz struktury będące grupami:

$(\mathbb {Z} _{4},+,0)$ Dobrze

$(\mathbb {Z} _{4}^{*},\cdot ,1)$ Źle

$(\mathbb {Z} _{5},+,0)$ Dobrze

$(\mathbb {Z} _{5}^{*},\cdot ,1)$ Dobrze

Dla dowolnych elementów $x,y$ pewnej grupy element $x^{-1}yy^{-1}yxy^{-1}$ można tez zapisać jako:

$x^{-1}yxy^{-1}$ Dobrze

$1$ Źle

$x^{-1}zzz^{-1}z^{-1}yxy^{-1}$, gdzie $z$ jest dowolnym elementem grupy Dobrze

$x^{-1}y^{-1}xy^{-1}$ Źle

W dowolnej grupie skończonej, jeśli $x^{15}=1$ i $x^{25}=1$, to:

$x$ jest rzędu $5$ Źle

$x^{5}=1$ Dobrze

$x^{30}=1$ Dobrze

$x^{35}=1$ Dobrze

Grupa $(\mathbb {Z} _{12},+,0)$

ma podgrupę $1$-elementową Dobrze

ma podgrupę $2$-elementową Dobrze

ma podgrupę $3$-elementową Dobrze

ma podgrupę $4$-elementową Dobrze

Niech $H_{0},H_{1}$ będą podgrupami grupy ${\mathbf {G} }$. Wtedy:

$H_{0}\cap H_{1}$ jest podgrupą grupy ${\mathbf {G} }$ Dobrze

$H_{0}\cup H_{1}$ jest podgrupą grupy ${\mathbf {G} }$ Źle

$H_{0}\cap H_{1}$ jest podgrupą grupy ${\mathbf {G} }$, o ile $H_{0}\subseteq H_{1}$ Dobrze

$H_{0}\cup H_{1}$ jest podgrupą grupy ${\mathbf {G} }$, o ile $H_{0}\subseteq H_{1}$ Dobrze

Wskaż prawdziwe własności grup $(\mathbb {Z} _{n},+,0)$ dla $n>1$:

grupa $(\mathbb {Z} _{n},+,0)$ jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest pierwsza Źle

każda grupa postaci $(\mathbb {Z} _{n},+,0)$ jest cykliczna Dobrze

jeśli grupa $\mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{m}$ jest cykliczna, to $m$ i $n$ są względnie pierwsze Dobrze

grupa $\mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{m}$ jest cykliczna o ile $m$ i $n$ są względnie pierwsze Dobrze

Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie $\mathbb {Z} _{n}$ jest grupą addytywną $(\mathbb {Z} _{n},+,0)$:

$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$ i $\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$ Dobrze

$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$ i $\mathbb {Z} _{6}$ Dobrze

$\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{33}$ i $\mathbb {Z} _{99}$ Źle

$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ i $\mathbb {Z} _{4}$ Źle

Czy w dowolnej grupie postaci $(\mathbb {Z} _{n},+,0)$ elementów rzędu $7$ jest $0$ lub $6$?

tak Dobrze

tak, jeśli dodatkowo $n$ jest wielokrotnkością $7$ Dobrze

tak, jeśli dodatkowo $n\perp 7$ Dobrze

żadna z pozostałych Źle

Dla podgrupy ${\mathbf {H} }$ skończonej grupy ${\mathbf {G} }$ zachodzi:

$\left\vert gH\right\vert =\left\vert Hg\right\vert$, jeśli $g\in H$ Dobrze

$gH=Hg$, jeśli $g\in H$ Dobrze

$\left\vert gH\right\vert =\left\vert Hg\right\vert$, dla dowolnego $g\in G$ Dobrze

$gH=Hg$, dla dowolnego $g\in G$ Źle

Jeśli element $x$ grupy ${\mathbf {G} }$ ma rząd $n$, to $x^{3n}$ ma rząd:

$1$ Dobrze

$3$ Źle

$n$ Źle

żadne z pozostałych Źle