Logika dla informatyków/Ćwiczenia 2

Ćwiczenie 1

Niech $\mathfrak{=}<\mathbb{\mathbb{N}},p^{\mathfrak{𝔄}},q^{\mathfrak{𝔄}}>$, gdzie:

$<a,b>\in p^{\mathfrak{𝔄}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a+b\ge 6$; $<a,b>\in q^{\mathfrak{𝔄}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b=a+2$.

Zbadać, czy formuły

1. 1. $\mathrm{\forall }xp(x,y)\to \mathrm{\exists }xq(x,y)$;
   2. $\mathrm{\forall }xp(x,y)\to \mathrm{\forall }xq(x,y)$;
   3. $\mathrm{\forall }xp(x,y)\to \mathrm{\exists }xq(x,z)$;

są spełnione przy wartościowaniu $v(y)=7$, $v(z)=1$ w strukturze $\mathfrak{𝔄}$.

Ćwiczenie 2

Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \mathfrak A = \<\mathbb Z, f^\mathfrak A, r^\mathfrak A >} i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \mathfrak B = \< \mathbb Z, f^\mathfrak b, r^\mathfrak b >} , gdzie

$f^{\mathfrak{𝔄}}(m,n)=min(m,n)$, dla $m,n\in \mathbb{\mathbb{Z}}Z$, a $r^{\mathfrak{𝔄}}$ jest

relacją $\ge$;
$f^{\mathfrak{𝔅}}(m,n)=m^2+n^2$, dla $m,n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$, a $r^{\mathfrak{𝔅}}$ jest relacją $\le$.

Zbadać, czy formuły

1. $\mathrm{\forall }y(\mathrm{\forall }x(r(z,f(x,y))\to r(z,y)))$;
2. $\mathrm{\forall }y(\mathrm{\forall }x(r(z,f(x,y)))\to r(z,y))$,

są spełnione przy wartościowaniu $v(z)=5$, $v(y)=7$ w strukturach $\mathfrak{𝔄}$ i $\mathfrak{𝔅}$.

Ćwiczenie 3

Czy formuła $\mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }r(x,y)\to \mathrm{\exists }z(r(f(x,z),g(y))))$ jest spełniona przy wartościowaniu $v(x)=3$, $w(x)=6$ i $u(x)=14$

1. w strukturze $\mathfrak{𝔄}=<\mathbb{\mathbb{N}},r^{\mathfrak{𝔄}}>$, gdzie $r^{\mathfrak{𝔄}}$ jest relacją podzielności?
2. w strukturze $\mathfrak{𝔅}=<\mathbb{\mathbb{N}},r^{\mathfrak{𝔅}}>$, gdzie $r^{\mathfrak{𝔅}}$ jest relacją przystawania modulo 7?

Ćwiczenie 4

W jakich strukturach prawdziwa jest formuła $\mathrm{\exists }y(y\ne x)$? A formuła $\mathrm{\exists }y(y\ne y)$ otrzymana przez "naiwne" podstawienie $y$ na $x$?

Ćwiczenie 5

Podaj przykład modelu i wartościowania, przy którym formuła

$p(x,f(x))\to \mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }yp(f(y),x)$

jest: a) spełniona b) nie spełniona.

Ćwiczenie 6

Zbadać, czy następujące formuły są tautologiami i czy są spełnialne:

1. $\mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }y(p(x)\vee q(y))\to \mathrm{\forall }y(p(f(y))\vee q(y))$;
2. $\mathrm{\forall }y(p(f(y))\vee q(y))\to \mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }y(p(x)\vee q(y))$;
3. $\mathrm{\exists }x(\mathrm{\forall }yq(y)\to p(x))\to \mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }y(q(y)\to p(x))$;
4. $\mathrm{\exists }x(\mathrm{\forall }yq(y)\to p(x))\to \mathrm{\exists }x(q(x)\to p(x))$.

Ćwiczenie 7

Niech $f$ będzie jednoargumentowym symbolem funkcyjnym, który nie występuje w formule Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} . Pokazać, że formuła Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \forall x\exists y \var\varphi} jest spełnialna wtedy i tylko wtedy gdy formuła Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \forall x \var\varphi(f(x)/y)} jest spełnialna.

Ćwiczenie 8

Udowodnić, że zdanie

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }yp(x,y)\wedge \mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }p(x,x)\wedge \mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }z(p(x,y)\wedge p(y,z)\to p(x,z))$

ma tylko modele nieskończone.

Ćwiczenie 9

Dla każdego $n$ napisać takie zdanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi_n} , że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak A\models\var\varphi_n} zachodzi \wtw, gdy $\mathfrak{𝔄}$ ma dokładnie $n$elementów.

Ćwiczenie 10

Czy jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak A \models \exists x \var\varphi} , to także Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak A \models \var\varphi[t/x]} , dla pewnego termu $t$?