CWGI Ćwiczenie 1

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
CWGI CW1 Slajd1.png Ćwiczenia 1. Bryły i przekroje w rzucie aksonometrycznym


Zadanie1.1.

Narysować rurę stożkową o danych wymiarach w układzie dimetrii kawalerskiej


Układ dimetrii kawalerskiej pozwala przedstawiać elementy płaskie, bez zniekształceń, znajdujące się w płaszczyźnie . Przekrojem poprzecznym rury będą okręgi. Należy, zatem przyjąć takie usytuowanie rury w układzie dimetrii kawalerskiej, aby oś rury pokrywała się z kierunkiem osi x (przekrój poprzeczny rury będzie wówczas znajdował się na rzucie . Rozpoczynając rysowanie dokonujemy analizy skrótów aksonometrycznych w poszczególnych osiach. W kierunku osi skrót aksonometryczny wynosi 1:2, a więc wymiary rury w tym kierunku będą zmniejszone o połowę. Mając takie informacje można rozpocząć konstruowanie rury. Dla pokazania przelotowości rury i jej wnętrza wyznaczamy widok z wycięta ćwiartka na całej długości (rys.C1.1).


CWGI CW1 Slajd2.png Zadanie1.2.

Narysować czworościan foremny o danym boku a, w układzie dimetrii kawalerskiej


Czworościan foremny jest bryłą, której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi (przyjmujemy wielkość boku a = 50 mm). Na rysunku C1.2. przedstawiono, po prawej stronie, trójkąt ABC, który jest podstawą tego czworościanu. Wyznaczając wysokości trójkąta, można wyznaczyć spodek wysokości czworościanu, a następnie budując trójkąt prostokątny w oparciu o znaną przyprostokątną (2/3 wysokości trójkąta - ) oraz przeciwprostokątną - krawędź czworościanu) otrzymamy wszystkie jego wielkości geometryczne, niezbędne do budowy bryły w układzie aksonometrycznym, a w szczególności wysokość czworościanu będącą rzeczywista wielkością odcinka .


Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od wykreślenia układu aksonometrycznego - perspektywy kawalerskiej. Przypominając, w osiach i , skrót aksonometryczny wynosi 1:1, natomiast w osi wynosi 1:2. Podstawę czworościanu wykreślimy przyjmując w niezmienionej wielkości wysokość podstawy i umieszczając ją równolegle do osi , przyjmując w pierwszej kolejności spodek wysokości w dowolnym punkcie na osi . Bok , prostopadły do wysokości , przyjmie kierunek osi . Wielkość boku będzie oczywiście o połowę mniejsza od rzeczywistej, ponieważ skrót aksonometryczny w kierunku tej osi wynosi 1:2. Ze spodka wysokości w niezmienionej wielkości wykreślamy wysokość czworościanu, wyznaczając wierzchołek czworościanu. Łącząc wierzchołek czworościanu z wierzchołkami wyznaczymy zarys bryły. Na zakończenie należy uwzględnić widoczność krawędzi obserwując bryłę z kierunku prostopadłego do płaszczyzny określonej osiami . Krawędzie widoczne rysuje się linią grubą ciągłą, krawędzie niewidoczne linią


CWGI CW1 Slajd3.png Zadanie1.3.

Narysować sześcian o danym boku w dowolnym rzucie aksonometrycznym. Wyznaczyć przekrój sześcianu płaszczyzna określona przez trzy punkty , leżące na ścianach bocznych sześcianu


Korzystając z niezmienników rzutowania równoległego i twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, rysujemy rzut sześcianu o boku w układzie perspektywy kawalerskiej.

Obieramy dowolną trójkę punktów leżących na jego ścianach bocznych (rys.C1.3a).

Zadanie rozwiążemy wykorzystując twierdzenie "o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn". W tym celu przyjmijmy symboliczny opis trzech wybranych płaszczyzn, z których jedna jest płaszczyzną , krojącą poszczególne ściany sześcianu. Dla ściślejszego zdefiniowania poszczególnych punktów , w założeniach podano rzuty prostopadłe tych punktów na płaszczyznę podstawy , którą opiszemy symbolicznie literą . Jako trzecią z płaszczyzn, biorących udział w konstrukcji przyjmijmy ścianę jako .

Zadaniem naszym jest wyznaczenie krawędzi przecięcia się płaszczyzny ze ścianami sześcianu.


CWGI CW1 Slajd4.png Krawędzie poszczególnych par płaszczyzn oznaczymy kolejno:

, ,

Wyznaczając konstrukcyjnie krawędzie i , możemy następnie, korzystając z twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, wyznaczyć poszukiwaną w zadaniu krawędź .


Wyznaczanie krawędzi

Poprowadźmy dwie proste należące do płaszczyzny : prostą przechodzącą przez punkty , oraz prostą b przechodzącą przez punkty , . Proste te przecinają się w punkcie . Rzuty i tych prostych na płaszczyznę podstawy , będą przecinały się w punkcie . Proste i przecinają się w punkcie oznaczonym cyfrą . Punkt jest, zatem wspólnym dla płaszczyzn i , ponieważ należy do prostych i , a te z kolei należą odpowiednio do płaszczyzn i . Drugi punkt wspólny płaszczyzn i wyznaczymy prowadząc dwie, należące odpowiednio do płaszczyzn , kolejne proste i które przetną się właśnie w tym punkcie. Łącząc punkty i wyznaczymy pierwsza z poszukiwanych krawędzi . Jak widać na rysunku C1.3b krawędź leży na płaszczyźnie , lecz nie przecina ściany sześcianu.


CWGI CW1 Slajd5.png Wyznaczanie kolejnych krawędzi przedstawiono na rysunku C1.3c.


Wyznaczanie krawędzi

Krawędź wyznaczymy w sposób natychmiastowy, albowiem stanowi ona wspólną krawędź ścian oraz sześcianu.


Wyznaczanie krawędzi

Krawędź przecina krawędź w punkcie oznaczonym cyfrą . Punkt jest, zatem punktem wspólnym trójki płaszczyzn , i . Przez ten punkt, zgodnie z cytowanym wcześniej twierdzeniem, będzie przechodziła trzecia krawędź . Drugi punkt wspólny tych płaszczyzn jest punktem (z założenia punkt należący do płaszczyzny i ). Punkty i wyznaczą nam poszukiwaną krawędź , która jest krawędzią przekroju płaszczyzny z jedną ze ścian sześcianu. Krawędź przecina krawędzie sześcianu: w punkcie oraz w punkcie . Punkty te wyznaczają odcinek będący krawędzią przekroju ściany sześcianu płaszczyzną .


CWGI CW1 Slajd6.png Kolejne krawędzie przekroju sześcianu płaszczyzną można wyznaczyć powtarzając nasze rozumowanie, przy założeniu, że w miejsce jednej z płaszczyzn, np. wprowadzimy kolejną płaszczyznę przechodzącą przez inną ścianę sześcianu. Możemy jednak wyznaczyć następne boki przekroju korzystając z niezmienników rzutowania równoległego (rys.c1.3d).

Wyznaczony wcześniej punkt należy do krawędzi , a wiec należy do płaszczyzny Punkt ten należy również do ściany sześcianu. Drugim punktem wspólnym płaszczyzny i górnej podstawy jest punkt z założenia należący do tych płaszczyzn. Zatem Kolejna krawędź będzie przechodziła przez punkty i . Krawędź , jak wynika z niezmienników rzutowania równoległego (płaszczyzna kroi dwie równoległe do siebie płaszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych) będzie równoległa do krawędzi .

Kolejna krawędź , należąca do przekroju, będzie przechodziła przez punkt znajdujący się na krawędzi oraz boku sześcianu. Krawędź ta będzie również równoległa do krawędzi . Zamykająca przekrój krawędź będzie przechodziła przez punkty , , i .


CWGI CW1 Slajd7.png Kończąc zadanie: usuwamy części krawędzi sześcianu, które zostały odcięte płaszczyzną oraz kreskujemy figurę w płaszczyźnie przekroju, zgodnie z zasadami zapisu konstrukcji.