Analiza matematyczna 2/Test 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient

Niech $f(x)=\frac{xy\ln (x^2+y^2)}{x^2+y^2}$. Wtedy

istnieją granice iterowane $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)$, $\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)$ i są równe Dobrze

istnieją granice iterowane $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)$, $\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)$ i są różne Źle

istnieje granica $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$. Źle

Niech

$\mathrm{\nabla }f(x)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x))$

oznacza gradient funkcji $f$ w punkcie $x=(x_1,\dots ,x_n)$. Wtedy dla dowolnych funkcji $f,g$, które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, prawdziwy jest wzór

$\mathrm{\nabla }(f+g)=\mathrm{\nabla }f+\mathrm{\nabla }g$ Dobrze

$\mathrm{\nabla }(fg)=(\mathrm{\nabla }f,\mathrm{\nabla }g)$ (symbol $(v,u)$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $v,u$) Źle

$\mathrm{\nabla }(fg)=g\mathrm{\nabla }f+f\mathrm{\nabla }g$. Dobrze

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} \frac {\sin (x^3-y^3)}{x^2+y^2}& \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0 \\ 0 &\ \ \text {dla} \ \ (x,y)=0 \end{array} }

ma pochodną kierunkową ${\partial }_{v}f(0,0)$, dla dowolnego wektora $v\ne 0$ Dobrze

jest ciągła Dobrze

jest ograniczona. Dobrze

Niech

$\mathrm{\Delta }f(x)=\sum _{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j^2}(x)$

oznacza laplasjan funkcji $f$ w punkcie $x=(x_1,\dots ,x_n)$. Wtedy dla dowolnych funkcji $f,g$, które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego, prawdziwy jest wzór

$\mathrm{\Delta }(f+g)=\mathrm{\Delta }f+\mathrm{\Delta }g$ Dobrze

$\mathrm{\Delta }(fg)=\mathrm{\Delta }f\mathrm{\Delta }g$ Źle

$\mathrm{\Delta }(fg)=g\mathrm{\Delta }f+f\mathrm{\Delta }g$. Źle

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {lr} &\mathrm{arctg}\, \left(\frac {x^2}{y^2}\right ), \ \ \text{dla} \ \ y\neq 0, \\ &\frac {\pi}{2}, \ \ \text {dla} \ \ y=0, \end{array} }

jest ciągła Źle

jest ciągła w zbiorze $\mathbb{ℝ}\setminus \{(0,0)\}$ Dobrze

jest ograniczona. Dobrze

Funkcja $f(x,y)=x+g(xy)$, gdzie $g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ jest funkcją różniczkowalną, spełnia równanie

$x\frac{\partial f}{\partial x}-y\frac{\partial f}{\partial y}=x$ Dobrze

$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=x$ Źle

$y\frac{\partial f}{\partial x}-x\frac{\partial f}{\partial y}=y$. Źle

Niech $f(x,y)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\sqrt{x^2+y^2})$. Wtedy zbiór

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:|\mathrm{\nabla }f(x,y)|=c\}$

jest okręgiem $x^2+y^2=1$ dla $c=1$ Źle

jest pusty dla $c\in (0,1)$ Źle

jest pusty dla $c>1$. Dobrze

Funkcja $f(x,y)=e^x(x\cos y-y\sin y)$ spełnia równanie

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ Dobrze

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ Źle

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$. Dobrze

Równanie

$\frac{x+y{y}^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y}=2$

we współrzędnych biegunowych ma postać

$r^{\prime }+2r=0$ Źle

$r^{\prime }=2r$ Dobrze

$2r^{\prime }=r$. Źle