Analiza matematyczna 2/Test 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Niech . Wtedy

istnieją granice iterowane , i są równe

istnieją granice iterowane , i są różne

istnieje granica .


Niech

oznacza gradient funkcji w punkcie . Wtedy dla dowolnych funkcji , które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, prawdziwy jest wzór

(symbol oznacza iloczyn skalarny wektorów )

.


Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} \frac {\sin (x^3-y^3)}{x^2+y^2}& \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0 \\ 0 &\ \ \text {dla} \ \ (x,y)=0 \end{array} }


ma pochodną kierunkową , dla dowolnego wektora

jest ciągła

jest ograniczona.


Niech

oznacza laplasjan funkcji w punkcie . Wtedy dla dowolnych funkcji , które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego, prawdziwy jest wzór

.


Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {lr} &\mathrm{arctg}\, \left(\frac {x^2}{y^2}\right ), \ \ \text{dla} \ \ y\neq 0, \\ &\frac {\pi}{2}, \ \ \text {dla} \ \ y=0, \end{array} }


jest ciągła

jest ciągła w zbiorze

jest ograniczona.


Funkcja , gdzie jest funkcją różniczkowalną, spełnia równanie

.


Niech . Wtedy zbiór


jest okręgiem dla

jest pusty dla

jest pusty dla .


Funkcja spełnia równanie

.


Równanie

we współrzędnych biegunowych ma postać

.