Analiza matematyczna 1/Wykład 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Definiujemy funkcje wypukłe i dowodzimy ich elementarnych własności. Podajemy związek wypukłości funkcji z monotonicznością jej pochodnej. Przedstawiamy nierówność Jensena, Minkowskiego, Höldera oraz klasyczną nierówność między średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną. Schemat badania przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej stanowi podsumowanie poprzednich czterech modułów.

Funkcje wypukłe

Plik:Am1w12.0010.svg

Zbiór wypukły

Plik:Am1w12.0020.svg

Nadwykres funkcji wypuklej $f$

Pojęcie wypukłości jest nam znane z geometrii. Mówimy, że podzbiór $A$ przestrzeni wektorowej $X$ jest wypukły, jeśli dowolny odcinek o końcach należących do zbioru $A$ jest zawarty w tym zbiorze. Innymi słowy:

$\mathrm{\forall }x,y\in A\mathrm{\forall }t\in [0,1]:(1-t)x+ty\in A$

Zbiór

$\{(1-t)x+ty0\le t\le 1\}$

jest odcinkiem o końcach $x$, $y$. Punkty $x$, $y$ uzyskamy, gdy w kombinacji liniowej $(1-y)x+ty$ parametr $t$ przyjmie odpowiednio wartość $0$ lub $1$. Gdy $t=\frac{1}{2}$, otrzymujemy punkt $\frac{1}{2}(x+y)$, który jest środkiem odcinka łączącego punkty $x$ oraz $y$. Zauważmy też, że zbiory

$\{(1-t)x+tyt\le 1\}$

oraz

$\{(1-t)x+ty0\le t\}$

to - odpowiednio - półprosta o początku $x$ przechodząca przez punkt $y$ oraz półprosta o początku $y$ przechodząca przez punkt $x$.

Definicję funkcji wypukłej opieramy na intuicji geometrycznej.

Definicja 12.1.

Mówimy, że funkcja $f:(a,b)\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$, jeśli jej nadwykres

$\{(x,y):a<x<by\ge f(x)\}$

jest zbiorem wypukłym, to znaczy

$\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y\mathrm{\forall }t\in [0,1]f((1-t)x+ty)\le (1-t)f(x)+tf(y)$

Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka $0<t<1$), tzn.

$\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y\mathrm{\forall }t\in (0,1)f((1-t)x+ty)<(1-t)f(x)+tf(y)$

to mówimy, że funkcja $f$ jest ściśle wypukła w przedziale $(a,b)$.

Z kolei, jeśli zachodzą nierówności przeciwne, tj.

$\mathrm{\forall }xy\in (a,b):x<y\mathrm{\forall }t\in [0,1]:f((1-t)x+ty)\ge (1-t)f(x)+tf(y)$

oraz odpowiednio

$\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y\mathrm{\forall }t\in (0,1):f((1-t)x+ty)>(1-t)f(x)+tf(y)$

to mówimy, że funkcja $f$ jest wklęsła w przedziale $(a,b)$ oraz - odpowiednio - ściśle wklęsła.

Zwróćmy uwagę, że jeśli funkcja nie jest wypukła w przedziale $(a,b)$, to nie oznacza to, że jest wklęsła w tym przedziale. Na przykład funkcja Dirichleta

$D(x)=\{\begin{array}{rlrl}& 0,& \text{ dla }& x\in [0,1]\cap \mathbb{\mathbb{Q}}\\ & 1,& \text{ dla }& x\in [0,1]\cap (\mathbb{ℝ}minus\mathbb{\mathbb{Q}})\end{array}$.

nie jest wypukła w żadnym przedziale

$(a,b)\subset [0,1]$

, ale nie jest też wklęsła.

Zauważmy, że jeśli $x=(1-t)a+tb$, to nierówność

$f((1-t)a+tb)\le (1-t)f(a)+tf(b)$,

za pomocą której określiliśmy wypukłość funkcji w przedziale $(a,b)$, jest równoważna nierówności

$f(x)\le \frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)$

lub

$0\le (b-x)f(a)+(a-b)f(x)+(x-a)f(b)$

którą możemy również zapisać w postaci łatwej do zapamiętania za pomocą wyznacznika

$w_f(x):=\det \left[\begin{array}{ccc}1& a& f(a)\\ 1& x& f(x)\\ 1& b& f(b)\end{array}\right]\ge 0$.

Uwaga 12.2.

Funkcja $f$ jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła, wklęsła, ściśle wklęsła) w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x\in (a,b)$ wyznacznik $w_f(x)\ge 0$ (odpowiednio: $w_f(x)>0$, $w_f(x)\le 0$, $w_f(x)<0$).

Elementarne własności funkcji wypukłych

Sformułujmy parę uwag, które wynikają bezpośrednio z definicji wypukłości funkcji.

Uwaga 12.3.

a) Jeśli $f$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$, to jest również wypukła w dowolnym mniejszym przedziale $(a_1,b_1)$ zawartym w $(a,b)$.

b) Funkcja $x\mapsto f(x)$ jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła) w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $x\mapsto -f(x)$ jest wklęsła (odpowiednio: ściśle wklęsła) w tym przedziale.

c) Jeśli $C>0$ jest stałą dodatnią, to funkcja $x\mapsto Cf(x)$ jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest wypukła.

d) Jeśli $C$ jest dowolną stałą, to funkcja $x\mapsto C+f(x)$ jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest wypukła.

e) Suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.

Kolejne elementarne własności funkcji wypukłych podaje

Twierdzenie 12.4.

a) Złożenie $g\circ f$ funkcji wypukłych $f$ i $g$ jest funkcją wypukłą, jeśli $g$ jest funkcją rosnącą.

b) Funkcja $g$ odwrotna do funkcji $f$ wypukłej rosnącej jest wklęsła rosnąca.

c) Funkcja ściśle wypukła w przedziale $(a,b)$ nie osiąga maksimum w żadnym punkcie tego przedziału.

d) Funkcja ściśle wklęsła w przedziale $(a,b)$ nie osiąga minimum w żadnym punkcie tego przedziału.

Dowód 12.4.

a) Funkcja $f$ jest wypukła w $(a,b)$, więc

$f((1-t)x+ty)\le (1-t)f(x)+tf(y)$ dla dowolnych $x,y\in (a,b)$, $t\in [0,1]$. Mamy następnie nierówność $g\left(f\right((1-t)x+ty\left)\right)\le g((1-t)f(x)+tf(y))$, ponieważ funkcja $g$ jest rosnąca. Zuwagi na wypukłość $g$ mamy $g((1-t)f(x)+tf(y))\le (1-t)g(f(x))+tg(f(y))$,

czyli

$(g\circ f)((1-t)x+ty)\le (1-t)(g\circ f)(x)+t(g\circ f)(y)$

dla dowolnych $x,y\in (a,b)$ i $0\le t\le 1$. Stąd złożenie $g\circ f$ jest funkcją wypukłą.

b) Niech $a<x_1<x_2<b$ i niech $y_1=f(x_1)$, $y_2=f(x_2)$. Wówczas $g(y_1)=x_1$ oraz $g(y_2)=x_2$. Funkcja odwrotna do rosnącej jest rosnąca, gdyż

$\begin{array}{rlrl}{x}_1& <x_2& & \iff f(x_1)<f(x_2)\\ & & \Updownarrow & \\ g(y_1)& <g(y_2)& & \iff y_1<y_2.\end{array}$ Z wypukłości funkcji $f$ mamy $f((1-t)x_1+t{x}_2)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2)\text{ dla }t\in [0,1]$, co jest równoważne nierównościom $\begin{array}{rlrlr}& g\left(f\right((1-t)x_1+t{x}_2\left)\right)& \le & g((1-t)y_1+t{y}_2)& \\ & (1-t)x_1+t{x}_2& \le & g((1-t)y_1+t{y}_2)& \\ & (1-t)g(y_1)+tg(y_2)& \le & g((1-t)y_1+t{y}_2)& \text{ dla }t\in [0,1],\end{array}$

czyli $g$ jest wklęsła.

c) Przypuśćmy wbrew tezie, że funkcja $f$ osiąga maksimum w pewnym punkcie $x_0\in (a,b)$. Funkcja $f$ nie jest stała, istnieje więc liczba $h>0$ taka, że $f(x_0-h)<f(x_0)$ oraz $f(x_0+h)<f(x_0)$. Wobec tego

$\frac{1}{2}f(x_0-h)+\frac{1}{2}f(x_0+h)<f(x_0)=f(\frac{1}{2}(x_0-h)+\frac{1}{2}(x_0+h))$

co oznacza, że funkcja $f$ nie jest wypukła w przedziale $(x_0-h,x_0+h)$. Sprzeczność.

d) Dowód przebiega podobnie do dowodu własności c).

<flash>file=am1w12.0030a.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Punkt $0$ jest punktem przegiecia funkcji $f(x)=\text{arctg}x$

<flash>file=am1w12.0030b.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Punkt $0$ jest takze punktem przegiecia funkcji $f(x)=-\text{arctg}x$

Definicja 12.5.

Jeśli dla pewnej liczby $h>0$ funkcja $f$, określona w przedziale $(a-h,a+h)$, jest

• ściśle wypukła w przedziale $(a-h,a)$ i ściśle wklęsła w przedziale $(a,a+h)$

albo na odwrót:

• ściśle wklęsła w przedziale $(a-h,a)$ i ściśle wypukła w przedziale $(a,a+h)$,

to mówimy, że punkt $a$ jest punktem przegięcia (wykresu) funkcji $f$.

Przykład 12.6.

a) Funkcja stała $f(x)=C$ jest wypukła w przedziale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$; nie jest ściśle wypukła.

b) Funkcja $f(x)=|x|$ jest wypukła w każdym przedziale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$; nie jest ściśle wypukła.

c) Funkcja $f(x)=x^{2n}$ jest ściśle wypukła w całym zbiorze liczb rzeczywistych, gdy wykładnik $2n$ jest dowolną parzystą liczbą dodatnią. Gdy $2n$ jest parzystą liczbą ujemną, to $f$ jest ściśle wypukła w obu przedziałach $(-\mathrm{\infty },0)$ oraz $(0,\mathrm{\infty })$.

d) Gdy wykładnik $2n+1$ jest nieparzystą liczbą dodatnią lub ujemną, funkcja $f(x)=x^{2n+1}$ jest ściśle wypukła w przedziale $(0,\mathrm{\infty })$ i jest ściśle wklęsła w przedziale $(-\mathrm{\infty },0)$. Punkt $0$ jest więc punktem przegięcia funkcji $f(x)=x^{2n+1}$, gdy wykładnik jest dowolną liczbą nieparzystą dodatnią. Gdy wykładnik $2n+1$ jest liczbą ujemną, liczba $0$ nie należy do dziedziny funkcji $f$, nie jest więc punktem przegięcia funkcji $f$.

e) Funkcja $f(x)=\sin x$ jest ściśle wypukła w każdym z przedziałów $(-\pi +2k\pi ,0+2k\pi )$ i jest ściśle wklęsła w każdym z przedziałów $(0+2k\pi ,\pi +2k\pi )$, $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$. Stąd każdy punkt $k\pi$, $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$, jest punktem przegięcia tej funkcji.

Wypukłość funkcji a monotoniczność jej pochodnej

Badanie wypukłości funkcji różniczkowalnej można sprowadzić do badania monotoniczności jej pochodnej.

Twierdzenie 12.7

Niech $f$ będzie funkcją różniczkowalną w przedziale $(a,b)$. Funkcja $f$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna $f^{\prime }$ jest rosnąca.

Dowód 12.7.

Jeśli funkcja $f$ jest wypukła w przedziale $(\alpha ,\beta )$, to dla dowolnych liczb $a,b\in (\alpha ,\beta )$, $a<b$ oraz dla dowolnego punktu $x\in (a,b)$ zachodzi nierówność:

$0\le (b-x)f(a)+(a-b)f(x)+(x-a)f(b)$

którą możemy zapisać w równoważnej postaci:

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le \frac{f(b)-f(x)}{b-x}$.

Gdy $x\to a$ lub $x\to b$, wobec różniczkowalności $f$, otrzymamy

$f^{\prime }(a)\le \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ oraz $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le f^{\prime }(b)$.

Stąd $f^{\prime }(a)\le f^{\prime }(b)$, a więc pochodna $f^{\prime }$ jest rosnąca w przedziale $(\alpha ,\beta )$.

Załóżmy teraz z kolei, że pochodna $f^{\prime }$ jest funkcją rosnącą. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej istnieją punkty $\xi \in (a,x)$ oraz $\eta \in (x,b)$ takie, że

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(\xi )$ oraz $\frac{f(b)-f(x)}{b-x}=f^{\prime }(\eta )$.

Pamiętamy, że $a<\xi <x<\eta <b$. Skoro $f^{\prime }$ jest rosnąca w przedziale $(\alpha ,\beta )$, więc $f^{\prime }(\xi )\le f^{\prime }(\eta )$, czyli

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le \frac{f(b)-f(x)}{b-x}$, co wobec dowolności wyboru punktów $a<x<b$ z przedziału $(\alpha ,\beta )$ oznacza, że funkcja $f$ jest wypukła.

Pamiętamy, że monotoniczność funkcji różniczkowalnej jest ściśle związana ze znakiem jej pochodnej. Stąd monotoniczność pochodnej jest związana ze znakiem drugiej pochodnej funkcji.

Wniosek 12.8.

Niech $f$ będzie funkcją dwukrotnie

różniczkowalną w przedziale $(a,b)$. Jeśli w dowolnym punkcie $x\in (a,b)$ druga pochodna $f^{″}(x)\ge 0$ (odpowiednio: $f^{″}(x)\le 0$), to funkcja $f$ jest wypukła (odpowiednio: wklęsła) w tym przedziale.

Plik:Am1w02.0100.svg

Funkcja wykladnicza $f(x)=a^x$ jest scisle wypukla w przedziale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, gdy $a\ne 1$,$a>0$.

Plik:Am1w12.0060.svg

Punkt 0 jest punktem przegiecia funkcji $f$

Przykład 12.9.

a) Funkcja wykładnicza $x\mapsto a^x$ jest ściśle wypukła w przedziale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, gdy $a\in (0,1)\cup (1,\mathrm{\infty })$, ponieważ jej druga pochodna $\frac{d^2}{d{x}^2}{a}^x=(\ln a{)}^2{a}^x$ jest dodatnia w każdym punkcie $x\in \mathbb{ℝ}$. W przypadku, gdy $a=1$, funkcja stała $f(x)=1^x=1$ jest także wypukła, ale nie jest ściśle wypukła.

b) Funkcja logarytmiczna $x\mapsto -\ln |x|$ jest ściśle wypukła w przedziałach $(-\mathrm{\infty },0)$ oraz $(0,\mathrm{\infty })$, gdyż jej druga pochodna

$\frac{d^2}{d{x}^2}(-\ln |x|)=\frac{1}{x^2}$

jest dodatnia dla $x\ne 0$.

c) Jeśli $f$ jest funkcją wypukłą, to również $\exp f:x\mapsto e^{f(x)}$ jest funkcją wypukłą, gdyż jest złożeniem funkcji

wypukłej $f:x\mapsto f(x)$ i rosnącej funkcji wypukłej $\exp :u\mapsto \exp u$.

Z twierdzenia o monotoniczności pochodnej funkcji wypukłej wynika również warunek konieczny istnienia punktu przegięcia funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w przedziale $(a,b)$.

Wniosek 12.10.

Niech $f$ będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale $(a,b)$. Jeśli $x_0\in (a,b)$ jest punktem przegięcia funkcji $f$, to $f^{″}(x_0)=0$.

Zwróćmy uwagę, że zerowanie drugiej pochodnej nie jest warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia.

Przykład 12.11.

Każda z funkcji $f(x)=x^{2n}$, gdy $n\ge 2$, ma zerową drugą pochodną w punkcie $x=0$, jednak punkt ten nie jest dla żadnej z nich punktem przegięcia, gdyż każda z tych funkcji jest ściśle wypukła w przedziale $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.

Badając przebieg zmienności funkcji musimy również pamiętać, aby skontrolować, czy funkcja nie ma punktów przegięcia, w których nie istnieje druga pochodna.

Przykład 12.12.

Funkcja

$f(x)=\{\begin{array}{r}\sqrt{x},\text{ dla }x\ge 0\\ -\sqrt{-x},\text{ dla }x<0\end{array}$

jest ściśle wypukła w przedziale $(-\mathrm{\infty },0)$ i ściśle wklęsła w przedziale $(0,\mathrm{\infty })$. Jest określona w punkcie $x=0$, ma więc punkt przegięcia $x=0$, który nie jest miejscem zerowym drugiej pochodnej

$f^{″}(x)=-\frac{1}{4}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x|x{|}^{-\frac{3}{2}}$,

która jest różna od zera w dowolnym punkcie swojej dziedziny, tj. gdy $x\ne 0$.

Nierówność Jensena

Szereg ważnych nierówności, m.in. klasyczna nierówność między średnią arymetyczną, geometryczną a harmoniczną liczb
nieujemnych $a$, $b$:

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{1}{2}(a+b)$

jest konsekwencją wypukłości pewnych funkcji. Można je wyprowadzić z nierówności Jensena.

Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]

Jeśli funkcja $f$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$, to zachodzi nierówność:

$f(t_1{x}_1+t_2{x}_2+\dots +t_n{x}_n)\le t_{1}f(x_1)+t_{2}f(x_2)+\dots +t_{n}f(x_n)$,

dla dowolnych liczb nieujemnych $t_1,t_2,\dots ,t_n$ takich, że

$t_1+t_2+\dots +t_n=1$

oraz dla dowolnych $x_1,x_2,\dots ,x_n$ z przedziału $(a,b)$.

Dowód 12.13.

Gdy $n=2$ nierówność z tezy twierdzenia

$f(t_1{x}_1+t_2{x}_2)\le t_{1}f(x_1)+t_{2}f(x_2)$,

gdy $t_1+t_2=1,t_1,t_2\ge 0$, wynika z definicji wypukłości. Następnie dowodzimy dla $k\ge 2$ implikacji

$\begin{array}{r}\mathrm{\forall }{t}_1,t_2,\dots ,t_k\ge 0,t_1+t_2+\dots +t_k=1\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,\dots ,x_k\in (a,b):\\ f(t_1{x}_1+t_2{x}_2+\dots +t_k{x}_k)\le t_{1}f(x_1)+t_{2}f(x_2)+\dots +t_{k}f(x_k)\end{array}$

$\Downarrow$

$\begin{array}{r}\mathrm{\forall }{s}_1,s_2,\dots ,s_{k+1}\ge 0,s_1+s_2+\dots +s_{k+1}=1\mathrm{\forall }{y}_1,y_2,\dots ,y_{k+1}\in (a,b):\\ f(s_1{y}_1+s_2{y}_2+\dots +s_{k+1}{y}_{k+1})\le s_{1}f(y_1)+s_{2}f(y_2)+\dots +s_{k+1}f(y_{k+1})\end{array}$

(szczegóły zawarte są w ćwiczeniach do tego modułu). Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość twierdzenia.

Warunek $t_1+t_2+\dots +t_n=1$ spełniają liczby postaci $t_i=\frac{p_i}{p_1+p_2+\dots +p_n}$, gdzie $p_1,p_2,\dots ,p_n$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Oznaczmy przez $\sum p_i=p_1+p_2+\dots +p_n$ sumę liczb $p_i$ i analogicznie przez $\sum p_i{x}_i=p_1{x}_1+p_2{x}_2+\dots +p_n{x}_n$ sumę iloczynów $p_i{x}_i$. Nierówność Jensena możemy również sformułować następująco:

Wniosek 12.14.

Jeśli $f$ jest wypukła w przedziale $(a,b)$, to zachodzi nierówność

$f\left(\frac{\sum x_i{p}_i}{\sum p_i}\right)\le \frac{\sum p_{i}f(x_i)}{\sum p_i}$,

czyli

$f\left(\frac{x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots +x_n{p}_n}{p_1+p_2+\dots +p_n}\right)\le \frac{p_{1}f(x_1)+p_{2}f(x_2)+\dots +p_{n}f(x_n)}{p_1+p_2+\dots +p_n}$

dla dowolnych liczb $x_1,x_2,\dots ,x_n$ z przedziału $(a,b)$ i dla dowolnych liczb dodatnich $p_1,p_2,\dots ,p_n$.

Przykład 12.15.

Funkcja $x\mapsto \exp x$ jest wypukła, więc podstawiając w nierówności Jensena $t_i=\ln x_i$, gdzie $x_i$ są dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz $p_i=1$ otrzymujemy

$\exp (\frac{1}{n}(\ln x_1+\ln x_2+\dots +\ln x_n))\le \frac{1}{n}(\exp \ln x_1+\exp \ln x_2+\dots +\exp \ln x_n)$ $(\exp (\ln x_1)\exp (\ln x_2)\dots \exp (\ln x_n){)}^{\frac{1}{n}}\le \frac{1}{n}(\exp \ln x_1+\exp \ln x_2+\dots +\exp \ln x_n)$ $(x_1{x}_2\dots x_n{)}^{\frac{1}{n}}\le \frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots +x_n)$, nierówność pomiędzy średnią geometryczną $(x_1{x}_2\dots x_n{)}^{\frac{1}{n}}$ a średnią arytmetyczną $\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots +x_n)$ liczb dodatnich $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Podstawiając z kolei w otrzymanej nierówności $x_i=\frac{1}{y_i}$, otrzymamy

$(\frac{1}{y_1}\frac{1}{y_2}\dots \frac{1}{y_n}{)}^{\frac{1}{n}}\le \frac{1}{n}(\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\dots +\frac{1}{y_n})$

czyli

$(y_1{y}_2\dots y_n{)}^{\frac{1}{n}}\ge \frac{n}{y_1^{-1}+y_2^{-1}+\dots +y_n^{-1}}$

nierówność między średnią geometryczną $(y_1{y}_2\dots y_n{)}^{\frac{1}{n}}$ a średnią harmoniczną $\frac{n}{y_1^{-1}+y_2^{-1}+\dots +y_n^{-1}}$ liczb dodatnich $y_1,y_2,\dots ,y_n$.

Wykazaliśmy w ten sposób nierówność pomiędzy średnią harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną.

Plik:Am1w12.0080.svg

Rysunek do uwagi 12.17.

Wniosek 12.16.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $x_1,x_2,\dots ,x_n$ zachodzi nierówność

$H(x_1,x_2,\dots ,x_n)\le G(x_1,x_2,\dots ,x_n)\le A(x_1,x_2,\dots ,x_n)$,

gdzie

$\begin{array}{rl}H(x_1,x_2,\dots ,x_n)& :=\frac{n}{x_1^{-1}+x_2^{-1}+\dots +x_n^{-1}}\\ G(x_1,x_2,\dots ,x_n)& :=(x_1{x}_2\dots x_n{)}^{\frac{1}{n}}\\ A(x_1,x_2,\dots ,x_n)& :=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots +x_n)\end{array}$

są odpowiednio średnimi: harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną liczb dodatnich $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Uwaga 12.17.

W przypadku dwóch liczb dodatnich $0<a<b$ otrzymana nierówność ma klarowną interpretację geometryczną. Mając dane dwie proste prostopadłe $k$, $l$, przecinające się w punkcie $O$, odkładamy na jednej z nich, np. na prostej $l$ odcinki długości $a$ oraz $b$ tak, aby $OA=a$, $OB=b$ i $A\in \overline{OB}$. Niech $S$ będzie środkiem odcinka $\overline{AB}$. Kreślimy okrąg o środku $S$ i promieniu $r=SA$. Niech $P$ będzie punktem styczności stycznej poprowadzonej do okręgu z punktu $O$. Łatwo spostrzec, że $OS=\frac{1}{2}(a+b)$ jest średnią arytmetyczną odcinków $OA=a$ i $OB=b$. Nietrudno też dowieść (stosując twierdzenie Pitagorasa do boków trójkąta prostokątnego $\mathrm{△}OSP$), że odcinek stycznej $OP=\sqrt{ab}$ jest średnią geometryczną danych odcinków. Warto też dostrzec podobieństwo trójkątów prostokątnych $\mathrm{△}OSP$ i $\mathrm{△}OPQ$, gdzie $Q$ jest rzutem prostopadłym punktu $P$ na prostą $k$. Odcinek $PQ=\frac{2}{a^{-1}+b^{-1}}$ jest średnią harmoniczną danych odcinków $a$, $b$. Z interpretacji tej jasno wynika, że w przypadku, gdy $0<a<b$ w nierówności między średnimi mamy zawsze nierówność ostrą:

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}<\sqrt{ab}<\frac{1}{2}(a+b)$

Gdy punkt $A$ zmierza do $B$ (czyli, gdy $a$ zmierza do $b$), promień $r\to 0$ i punkt $P$ zmierza do $S$. W granicznym przypadku, gdy $a=b$, mamy $r=0$ oraz $P=S=A=B$ i rezultacie trzy średnie: harmoniczna, geometryczna i arytmetyczna są równe.

Jeśli ustalimy $b$, natomiast punkt $A$ zmierza do $O$, to $r\to \frac{b}{2}$, punkt $P$ zmierza do $O$ i w ten sposób średnia geometryczna i średnia harmoniczna liczb $a$, $b$ zmierzają do zera, a średnia arytmetyczna do $\frac{b}{2}$.

Jeśli ustalimy punkt $A$, a punkt $B$ będzie oddalał się w prawo po prostej $k$ do nieskończoności, to $r\to \mathrm{\infty }$, punkt $P$ będzie również oddalał się nieograniczenie od punktu $O$ i w rezultacie trzy średnie będą zmierzały do nieskończoności.

Jako wniosek z nierówności Jensena w ramach ćwiczeń dowodzimy nierówności Höldera i nierówności Minkowskiego.

Twierdzenie 12.18. [nierówność Höldera]

Jeśli $p$, $q$ są liczbami dodatnimi spełniającymi równość $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, to dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ zachodzi nierówność

$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{\frac{1}{q}}$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną.

Twierdzenie 12.19. [nierówność Minkowskiego]

Jeśli $p\ge 1$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, to dowolnych liczb rzeczywistych $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ zachodzi nierówność

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną.

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Uwaga 12.20.

Klasyczny schemat badania przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej obejmuje:

(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.

(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.

(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w których funkcja jest ciągła.

(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.

(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.

(6) Badanie pierwszej pochodnej:

• określenie dziedziny pochodnej;

• wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna jest dodatnia, ujemna.

(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.

(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.

(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:

• określenie dziedziny drugiej pochodnej;

• wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym druga pochodna jest dodatnia, ujemna.

(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia funkcji.

(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.

(12) Sporządzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.

Powstaje oczywiste pytanie, na ile ten klasyczny schemat jest aktualny i potrzebny dziś, gdy dysponujemy komputerami z zainstalowanymi programami do obliczeń symbolicznych (np. MATHEMATICA, MAPLE) i zamiast wykonywać żmudne rachunki wymienione w punktach od (1) do (11) możemy od ręki obejrzeć wykres interesującej nas funkcji, czyli zacząć i skończyć badanie funkcji na punkcie (12).

Wszystkich, którzy podzielają pogląd, że klasyczny schemat badania funkcji jest przeżytkiem, prosimy o skonstruowanie wykresu funkcji

$f(x)=\{\begin{array}{r}(x+3)\exp \frac{x+1}{x-1},\text{ dla }x\ne 1\\ 0,\text{ dla }x=1\end{array}$.

np. za pomocą programu MATHEMATICA przez wypisanie w tym programie poleceń

f = (x+3)Exp[(x+1)/(x-1)] 

oraz

Plot[f, x, -5.0, 5.0]

a następnie prosimy o odczytanie z otrzymanego rysunku jakichkolwiek punktów charakterystycznych funkcji $f$.

Plik:Am1w12.0100.svg

Rysunek do przykładu 12.21.

Plik:Am1w12.0110.svg

Rysunek do przykładu 12.21.

Plik:Am1w12.0120.svg

Rysunek do przykładu 12.21.

Plik:Am1w12.0130.svg

Rysunek do przykładu 12.21.

Plik:Am1w12.0140.svg

Rysunek do przykładu 12.21.

Plik:Am1w12.0150.svg

Rysunek do przykładu 12.21.

Plik:Am1w12.0160.svg

Rysunek do przykładu 12.21.

Wobec oczywistej porażki (z wykresu, który przedstawia fragment niemal pionowej linii w pobliżu punktu $x=1$ można jedynie odczytać, że w zaproponowanym przedziale $[-5,5]$ funkcja przyjmuje duże wartości) powstaje potrzeba co najmniej powierzchownej analizy, która pozwoliłaby oszacować przedział, w którym funkcja może osiągać ekstrema. Próba poszukiwania po omacku metodą wybierania przedziału argumentów na chybił trafił być może po wielu próbach przyniosłaby zadawalający wynik w postaci przybliżonej, jednak prosta analiza znaku pochodnej danej funkcji znacznie szybciej prowadzi do znalezienia wszystkich ekstremów i innych punktów charakterystycznych danej funkcji i to w postaci dokładnej. Prześledźmy więc następujący przykład:

Przykład 12.21.

Klasyczny schemat badania funkcji

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+3)\exp \frac{x+1}{x-1},& \text{ dla }x\ne 1\\ 0,& \text{ dla }x=1\end{array}$.

Obliczenia możemy wykonać samodzielnie, bądź wykorzystać procedury, które oferuje program do obliczeń symbolicznych (MATHEMATICA, MAPLE lub inny).

(1) Dziedziną $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych, na który składa się suma przedziałów $(-\mathrm{\infty },1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$, w których funkcja $f$ jest ciągła (będąc złożeniem funkcji ciągłych w obu przedziałach) oraz punkt $\{1\}$, w którym funkcja $f$ może nie mieć granicy.

(2) Funkcja $f$ nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani okresowa.

(3) Wyznaczmy granice funkcji $f$ na końcach przedziałów ciągłości

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },\\ \underset{x\to 1-}{\lim }f(x)=0,\\ \underset{x\to 1+}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\\ \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }.\end{array}$

Funkcja nie ma granicy w punkcie $x=1$, nie jest więc ciągła w tym punkcie.

(4) Z punktu 3. wynika, że funkcja ma asymptotę pionową prawostronną w punkcie $x=1$ i nie ma asymptot poziomych, co nie wyklucza istnienia asymptot ukośnych.

Sprawdzamy, czy istnieje granica ilorazu $\frac{f(x)}{x}$ przy $x\to \mathrm{\infty }$ i przy $x\to -\mathrm{\infty }$:

$a=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=e,\alpha =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=e$.

Wobec istnienia tych granic wyznaczamy granice różnic (zob. przykład zastosowania reguły de l'Hospitala w poprzednim module): $b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-ex)=5e,\beta =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-ex)=5e$. Wynika stąd, że prosta $y=ex+5e$ jest asymptotą ukośną wykresu funkcji $f$ zarówno przy $x\to \mathrm{\infty }$ jak i przy $x\to -\mathrm{\infty }$. Funkcja $x\mapsto ex+5e$ w przedziale $[-5,5]$ osiąga wartości w przedziale $[0,10e]$.

Stąd ograniczenie zbioru wartości na wykresie generowanym przez program MATHEMATICA do tego przedziału, nieco poprawia wygląd wykresu funkcji $f$.

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -5, 5}, PlotRange -> {0,10 Exp[1]}]

(5) Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe. Są to punkty $x=-3$ oraz $x=1$. Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc czynnik $\exp \frac{x+1}{x-1}$ jest dodatni. Na znak funkcji $f$ ma wpływ jedynie czynnik $x-3$. Wobec tego funkcja $f$

• jest ujemna w przedziale $(-\mathrm{\infty },-3)$,

• jest dodatnia w przedziałach $(-3,1)$ oraz $(1,+\mathrm{\infty })$,

• przyjmuje wartość zero w punktach $x=-3$ oraz $x=1$.

Ponadto $f(0)=\frac{3}{e}$.

Z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że funkcja $f$ osiąga maksimum wewnątrz przedziału $[-3,1]$. Ponieważ $f$ jest ciągła w przedziale $(0,\mathrm{\infty })$ i zmierza do nieskończoności, gdy $x\to 0+$ oraz $x\to \mathrm{\infty }$, więc $f$ osiąga minimum lokalne w co najmniej jednym punkcie $x_1>0$.

(6) Badanie pierwszej pochodnej

$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x-5}{(x-1{)}^2}\exp \frac{x+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-5)}{(x-1{)}^2}\exp \frac{x+1}{x-1}$.

• Dziedziną pierwszej pochodnej jest suma przedziałów $(-\mathrm{\infty },1)\cup (1,\mathrm{\infty })$.

• Miejscami zerowymi pierwszej pochodnej są $x=-1$ oraz $x=5$.

Pochodna jest dodatnia w zbiorze

$\{f^{\prime }>0\}=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (5,\mathrm{\infty })$

i jest ujemna w zbiorze

$\{f^{\prime }<0\}=(-1,1)\cup (1,5)$.

(7) W oparciu o dane z punktu (6) wnioskujemy, że funkcja $f$ rośnie w przedziałach

$(-\mathrm{\infty },-1),(5,\mathrm{\infty })$

i maleje w przedziałach

$(-1,1),(1,5)$.

(8) Zbiór punktów krytycznych funkcji $f$ składa się z trzech elementów:

$\{-1,1,5\}$,

to jest miejsc zerowych pochodnej $-1$, $5$ oraz punktu $1$, który należy do dziedziny funkcji i nie należy do dziedziny pochodnej. Z punktu 7. wynika, że

• w punkcie $x=-1$ funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne $f(-1)=2$,

• w punkcie $x=1$ funkcja $f$ osiąga minimum lokalne $f(1)=0$,

• w punkcie $x=5$ funkcja $f$ osiąga minimum lokalne $f(5)=8\exp \frac{3}{2}=35,85\dots$

Widzimy więc, że rysując wykres funkcji, musimy zadbać o to, aby zbiór wartości funkcji na wykresie zawierał co najmniej wartości $f(1)$ oraz $f(5)$.

Można np. przyjąć $-6<x<8$ oraz $-10<y<50$ i skorzystać z polecenia programu MATHEMATICA:

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8}, PlotRange ->{-10, 50}]

które wygeneruje wykres funkcji $f$ i jej asymptoty ukośnej w zadanym obszarze płaszczyzny.

Dodatkowe polecenie

PlotPoints -> 1024

zwiększa rozdzielczość rysunku

PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}}

rysuje wykres funkcji $f$ w kolorze zadanym przez Hue[0.95] o grubości Thickness[0.007] oraz asymptotę ukośną tej funkcji kolorem Hue[0.95] linią przerywaną zefiniowaną za pomocą Dashing[0.02,0.03] natomiast

AspectRatio -> 5/2 

(stosunek wysokości do szerokości $5:2$) zmienia format rysunku. Ostatecznie:

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8},
PlotRange -> {-10,50},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}},
AspectRatio -> 5/2]

(9) Druga pochodna funkcji

$f^{″}(x)=\frac{4(5x-1)}{(x-1{)}^4}\exp \frac{x+1}{x-1}$

jest określona w zbiorze

$(-\mathrm{\infty },1)\cup (1,\mathrm{\infty })$

Przyjmuje wartości dodatnie w zbiorze

$\{f^{″}>0\}=(\frac{1}{5},1)\cup (1,\mathrm{\infty })$

a ujemne w zbiorze

$\{f^{″}<0\}=(-\mathrm{\infty },\frac{1}{5})$

Jedynym punktem, w którym zeruje się druga pochodna, jest $x=\frac{1}{5}$.

(10) W oparciu o dane (z punktu (9)) o znaku drugiej pochodnej wnioskujemy, że funkcja $f$ jest (ściśle) wypukła w przedziałach

$(\frac{1}{5},1),(1,\mathrm{\infty })$

i jest (ściśle) wklęsła w przedziale

$(-\mathrm{\infty },\frac{1}{5})$.

Stąd punkt $x=\frac{1}{5}$, w którym funkcja przyjmuje wartość

$f\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{16}{5}\exp (-\frac{3}{2})=0,71\dots$,

jest jedynym punktem przegięcia funkcji.

Program MATHEMATICA po wpisaniu polecenia

Plot[{f, y}, {x, -1, 1.5},
PlotRange -> {-1,3},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.5]}},
AspectRatio -> 1]

kreśli w przedziale $[-1,\frac{3}{2}]$ wykres funkcji $f$ i stycznej do wykresu o równaniu $y=f^{\prime }(x_p)(x-x_p)+f(x_p)$ w punkcie przegięcia $x_p=\frac{1}{5}$.

(11) Zebranie wszystkich punktów charakterystycznych funkcji $f$ (miejsca punkty nieciągłości, miejsca zerowe funkcji, jej pierwszej i drugiej pochodnej, ekstrema, punkty przegięcia) w jednej tabeli usprawnia przygotowanie starannego wykresu.

(12) Na wykresie staramy się przedstawić wszystkie punkty

charakterystyczne funkcji $f$ jak też jej asymptoty.