Analiza matematyczna 1/Wykład 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Definiujemy funkcje wypukłe i dowodzimy ich elementarnych własności. Podajemy związek wypukłości funkcji z monotonicznością jej pochodnej. Przedstawiamy nierówność Jensena, Minkowskiego, Höldera oraz klasyczną nierówność między średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną. Schemat badania przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej stanowi podsumowanie poprzednich czterech modułów.

Funkcje wypukłe

Plik:Am1w12.0010.svg
Zbiór wypukły
Plik:Am1w12.0020.svg
Nadwykres funkcji wypuklej

Pojęcie wypukłości jest nam znane z geometrii. Mówimy, że podzbiór przestrzeni wektorowej jest wypukły, jeśli dowolny odcinek o końcach należących do zbioru jest zawarty w tym zbiorze. Innymi słowy:

Zbiór

jest odcinkiem o końcach , . Punkty , uzyskamy, gdy w kombinacji liniowej parametr przyjmie odpowiednio wartość lub . Gdy , otrzymujemy punkt , który jest środkiem odcinka łączącego punkty oraz . Zauważmy też, że zbiory

oraz

to - odpowiednio - półprosta o początku przechodząca przez punkt oraz półprosta o początku przechodząca przez punkt

Definicję funkcji wypukłej opieramy na intuicji geometrycznej.

Definicja 12.1.

Mówimy, że funkcja jest wypukła w przedziale , jeśli jej nadwykres

jest zbiorem wypukłym, to znaczy



Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka ), tzn.

to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale .

Z kolei, jeśli zachodzą nierówności przeciwne, tj.

oraz odpowiednio

to mówimy, że funkcja jest wklęsła w przedziale oraz - odpowiednio - ściśle wklęsła.

Zwróćmy uwagę, że jeśli funkcja nie jest wypukła w przedziale , to nie oznacza to, że jest wklęsła w tym przedziale. Na przykład funkcja Dirichleta

nie jest wypukła w żadnym przedziale , ale nie jest też wklęsła.

Zauważmy, że jeśli , to nierówność

za pomocą której określiliśmy wypukłość funkcji w przedziale , jest równoważna nierówności

lub

którą możemy również zapisać w postaci łatwej do zapamiętania za pomocą wyznacznika

Uwaga 12.2.
Funkcja jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła, wklęsła, ściśle wklęsła) w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby wyznacznik (odpowiednio: , , ).

Elementarne własności funkcji wypukłych

Sformułujmy parę uwag, które wynikają bezpośrednio z definicji wypukłości funkcji.

Uwaga 12.3.

a) Jeśli jest wypukła w przedziale , to jest również wypukła w dowolnym mniejszym przedziale zawartym w

b) Funkcja jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła) w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja jest wklęsła (odpowiednio: ściśle wklęsła) w tym przedziale.

c) Jeśli jest stałą dodatnią, to funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła.

d) Jeśli jest dowolną stałą, to funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła.

e) Suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.

Kolejne elementarne własności funkcji wypukłych podaje

Twierdzenie 12.4.

a) Złożenie funkcji wypukłych i jest funkcją wypukłą, jeśli jest funkcją rosnącą.

b) Funkcja odwrotna do funkcji wypukłej rosnącej jest wklęsła rosnąca.

c) Funkcja ściśle wypukła w przedziale nie osiąga maksimum w żadnym punkcie tego przedziału.

d) Funkcja ściśle wklęsła w przedziale nie osiąga minimum w żadnym punkcie tego przedziału.

Dowód 12.4.

a) Funkcja jest wypukła w , więc

dla dowolnych , . Mamy następnie nierówność
ponieważ funkcja jest rosnąca. Zuwagi na wypukłość mamy

czyli

dla dowolnych i . Stąd złożenie jest funkcją wypukłą.

b) Niech i niech , . Wówczas oraz . Funkcja odwrotna do rosnącej jest rosnąca, gdyż

Z wypukłości funkcji mamy
co jest równoważne nierównościom

czyli jest wklęsła.

c) Przypuśćmy wbrew tezie, że funkcja osiąga maksimum w pewnym punkcie . Funkcja nie jest stała, istnieje więc liczba taka, że oraz . Wobec tego

co oznacza, że funkcja nie jest wypukła w przedziale . Sprzeczność.

d) Dowód przebiega podobnie do dowodu własności c).

End of proof.gif



<flash>file=am1w12.0030a.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Punkt jest punktem przegiecia funkcji

<flash>file=am1w12.0030b.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Punkt jest takze punktem przegiecia funkcji


Definicja 12.5.

Jeśli dla pewnej liczby funkcja , określona w przedziale , jest

  • ściśle wypukła w przedziale i ściśle wklęsła w przedziale

albo na odwrót:

  • ściśle wklęsła w przedziale i ściśle wypukła w przedziale ,

to mówimy, że punkt jest punktem przegięcia (wykresu) funkcji .

Przykład 12.6.

a) Funkcja stała jest wypukła w przedziale ; nie jest ściśle wypukła.

b) Funkcja jest wypukła w każdym przedziale ; nie jest ściśle wypukła.

c) Funkcja jest ściśle wypukła w całym zbiorze liczb rzeczywistych, gdy wykładnik jest dowolną parzystą liczbą dodatnią. Gdy jest parzystą liczbą ujemną, to jest ściśle wypukła w obu przedziałach oraz .

d) Gdy wykładnik jest nieparzystą liczbą dodatnią lub ujemną, funkcja jest ściśle wypukła w przedziale i jest ściśle wklęsła w przedziale . Punkt jest więc punktem przegięcia funkcji , gdy wykładnik jest dowolną liczbą nieparzystą dodatnią. Gdy wykładnik jest liczbą ujemną, liczba nie należy do dziedziny funkcji , nie jest więc punktem przegięcia funkcji .

e) Funkcja jest ściśle wypukła w każdym z przedziałów i jest ściśle wklęsła w każdym z przedziałów , . Stąd każdy punkt , , jest punktem przegięcia tej funkcji.

Wypukłość funkcji a monotoniczność jej pochodnej

Badanie wypukłości funkcji różniczkowalnej można sprowadzić do badania monotoniczności jej pochodnej.

Twierdzenie 12.7

Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale . Funkcja jest wypukła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest rosnąca.

Dowód 12.7.

Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale , to dla dowolnych liczb , oraz dla dowolnego punktu zachodzi nierówność:

którą możemy zapisać w równoważnej postaci:

Gdy lub , wobec różniczkowalności , otrzymamy

oraz

Stąd , a więc pochodna jest rosnąca w przedziale .

Załóżmy teraz z kolei, że pochodna jest funkcją rosnącą. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej istnieją punkty oraz takie, że

oraz

Pamiętamy, że . Skoro jest rosnąca w przedziale , więc , czyli

co wobec dowolności wyboru punktów z przedziału oznacza, że funkcja jest wypukła. End of proof.gif


Pamiętamy, że monotoniczność funkcji różniczkowalnej jest ściśle związana ze znakiem jej pochodnej. Stąd monotoniczność pochodnej jest związana ze znakiem drugiej pochodnej funkcji.

Wniosek 12.8.

Niech będzie funkcją dwukrotnie

różniczkowalną w przedziale . Jeśli w dowolnym punkcie druga pochodna (odpowiednio: ), to funkcja jest wypukła (odpowiednio: wklęsła) w tym przedziale.
Plik:Am1w02.0100.svg
Funkcja wykladnicza jest scisle wypukla w przedziale , gdy ,.
Plik:Am1w12.0060.svg
Punkt 0 jest punktem przegiecia funkcji

Przykład 12.9.

a) Funkcja wykładnicza jest ściśle wypukła w przedziale , gdy , ponieważ jej druga pochodna jest dodatnia w każdym punkcie . W przypadku, gdy , funkcja stała jest także wypukła, ale nie jest ściśle wypukła.

b) Funkcja logarytmiczna jest ściśle wypukła w przedziałach oraz , gdyż jej druga pochodna

jest dodatnia dla .

c) Jeśli jest funkcją wypukłą, to również jest funkcją wypukłą, gdyż jest złożeniem funkcji

wypukłej i rosnącej funkcji wypukłej .

Z twierdzenia o monotoniczności pochodnej funkcji wypukłej wynika również warunek konieczny istnienia punktu przegięcia funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w przedziale .

Wniosek 12.10.

Niech będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale . Jeśli jest punktem przegięcia funkcji , to .

Zwróćmy uwagę, że zerowanie drugiej pochodnej nie jest warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia.

Przykład 12.11.

Każda z funkcji , gdy , ma zerową drugą pochodną w punkcie , jednak punkt ten nie jest dla żadnej z nich punktem przegięcia, gdyż każda z tych funkcji jest ściśle wypukła w przedziale .

Badając przebieg zmienności funkcji musimy również pamiętać, aby skontrolować, czy funkcja nie ma punktów przegięcia, w których nie istnieje druga pochodna.


Przykład 12.12.

Funkcja



jest ściśle wypukła w przedziale i ściśle wklęsła w przedziale . Jest określona w punkcie , ma więc punkt przegięcia , który nie jest miejscem zerowym drugiej pochodnej



która jest różna od zera w dowolnym punkcie swojej dziedziny, tj. gdy .

Nierówność Jensena

Szereg ważnych nierówności, m.in. klasyczna nierówność między średnią arymetyczną, geometryczną a harmoniczną liczb
nieujemnych , :

jest konsekwencją wypukłości pewnych funkcji. Można je wyprowadzić z nierówności Jensena.

Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]

Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale , to zachodzi nierówność:

dla dowolnych liczb nieujemnych takich, że

oraz dla dowolnych z przedziału .

Dowód 12.13.

Gdy nierówność z tezy twierdzenia


gdy , wynika z definicji wypukłości. Następnie dowodzimy dla implikacji




(szczegóły zawarte są w ćwiczeniach do tego modułu). Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość twierdzenia.

End of proof.gif


Warunek spełniają liczby postaci , gdzie są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Oznaczmy przez sumę liczb i analogicznie przez sumę iloczynów . Nierówność Jensena możemy również sformułować następująco:

Wniosek 12.14.

Jeśli jest wypukła w przedziale , to zachodzi nierówność

czyli

dla dowolnych liczb z przedziału i dla dowolnych liczb dodatnich .

Przykład 12.15.

Funkcja jest wypukła, więc podstawiając w nierówności Jensena , gdzie są dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz otrzymujemy

nierówność pomiędzy średnią geometryczną a średnią arytmetyczną liczb dodatnich .

Podstawiając z kolei w otrzymanej nierówności , otrzymamy

czyli

nierówność między średnią geometryczną a średnią harmoniczną liczb dodatnich .

Wykazaliśmy w ten sposób nierówność pomiędzy średnią harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną.

Plik:Am1w12.0080.svg
Rysunek do uwagi 12.17.

Wniosek 12.16.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność





gdzie





są odpowiednio średnimi: harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną liczb dodatnich .


Uwaga 12.17.

W przypadku dwóch liczb dodatnich otrzymana nierówność ma klarowną interpretację geometryczną. Mając dane dwie proste prostopadłe , , przecinające się w punkcie , odkładamy na jednej z nich, np. na prostej odcinki długości oraz tak, aby , i . Niech będzie środkiem odcinka . Kreślimy okrąg o środku i promieniu . Niech będzie punktem styczności stycznej poprowadzonej do okręgu z punktu . Łatwo spostrzec, że jest średnią arytmetyczną odcinków i . Nietrudno też dowieść (stosując twierdzenie Pitagorasa do boków trójkąta prostokątnego ), że odcinek stycznej jest średnią geometryczną danych odcinków. Warto też dostrzec podobieństwo trójkątów prostokątnych i , gdzie jest rzutem prostopadłym punktu na prostą . Odcinek jest średnią harmoniczną danych odcinków , . Z interpretacji tej jasno wynika, że w przypadku, gdy w nierówności między średnimi mamy zawsze nierówność ostrą:

Gdy punkt zmierza do (czyli, gdy zmierza do ), promień i punkt zmierza do . W granicznym przypadku, gdy , mamy oraz i rezultacie trzy średnie: harmoniczna, geometryczna i arytmetyczna są równe.

Jeśli ustalimy , natomiast punkt zmierza do , to , punkt zmierza do i w ten sposób średnia geometryczna i średnia harmoniczna liczb , zmierzają do zera, a średnia arytmetyczna do .

Jeśli ustalimy punkt , a punkt będzie oddalał się w prawo po prostej do nieskończoności, to , punkt będzie również oddalał się nieograniczenie od punktu i w rezultacie trzy średnie będą zmierzały do nieskończoności.

Jako wniosek z nierówności Jensena w ramach ćwiczeń dowodzimy nierówności Höldera i nierówności Minkowskiego.

Twierdzenie 12.18. [nierówność Höldera]

Jeśli , są liczbami dodatnimi spełniającymi równość , to dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność

gdzie jest liczbą naturalną.

Twierdzenie 12.19. [nierówność Minkowskiego]

Jeśli jest dowolną liczbą rzeczywistą, to dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność

gdzie jest liczbą naturalną.

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Uwaga 12.20.

Klasyczny schemat badania przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej obejmuje:

(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.

(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.

(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w których funkcja jest ciągła.

(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.

(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.

(6) Badanie pierwszej pochodnej:

  • określenie dziedziny pochodnej;
  • wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna jest dodatnia, ujemna.

(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.

(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.

(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:

  • określenie dziedziny drugiej pochodnej;
  • wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym druga pochodna jest dodatnia, ujemna.

(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia funkcji.

(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.

(12) Sporządzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.

Powstaje oczywiste pytanie, na ile ten klasyczny schemat jest aktualny i potrzebny dziś, gdy dysponujemy komputerami z zainstalowanymi programami do obliczeń symbolicznych (np. MATHEMATICA, MAPLE) i zamiast wykonywać żmudne rachunki wymienione w punktach od (1) do (11) możemy od ręki obejrzeć wykres interesującej nas funkcji, czyli zacząć i skończyć badanie funkcji na punkcie (12).

Wszystkich, którzy podzielają pogląd, że klasyczny schemat badania funkcji jest przeżytkiem, prosimy o skonstruowanie wykresu funkcji

np. za pomocą programu MATHEMATICA przez wypisanie w tym programie poleceń

f = (x+3)Exp[(x+1)/(x-1)] 

oraz

Plot[f, x, -5.0, 5.0]

a następnie prosimy o odczytanie z otrzymanego rysunku jakichkolwiek punktów charakterystycznych funkcji .

Plik:Am1w12.0100.svg
Rysunek do przykładu 12.21.
Plik:Am1w12.0110.svg
Rysunek do przykładu 12.21.
Plik:Am1w12.0120.svg
Rysunek do przykładu 12.21.
Plik:Am1w12.0130.svg
Rysunek do przykładu 12.21.
Plik:Am1w12.0140.svg
Rysunek do przykładu 12.21.
Plik:Am1w12.0150.svg
Rysunek do przykładu 12.21.
Plik:Am1w12.0160.svg
Rysunek do przykładu 12.21.

Wobec oczywistej porażki (z wykresu, który przedstawia fragment niemal pionowej linii w pobliżu punktu można jedynie odczytać, że w zaproponowanym przedziale funkcja przyjmuje duże wartości) powstaje potrzeba co najmniej powierzchownej analizy, która pozwoliłaby oszacować przedział, w którym funkcja może osiągać ekstrema. Próba poszukiwania po omacku metodą wybierania przedziału argumentów na chybił trafił być może po wielu próbach przyniosłaby zadawalający wynik w postaci przybliżonej, jednak prosta analiza znaku pochodnej danej funkcji znacznie szybciej prowadzi do znalezienia wszystkich ekstremów i innych punktów charakterystycznych danej funkcji i to w postaci dokładnej. Prześledźmy więc następujący przykład:


Przykład 12.21.

Klasyczny schemat badania funkcji



Obliczenia możemy wykonać samodzielnie, bądź wykorzystać procedury, które oferuje program do obliczeń symbolicznych (MATHEMATICA, MAPLE lub inny).

(1) Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, na który składa się suma przedziałów , w których funkcja jest ciągła (będąc złożeniem funkcji ciągłych w obu przedziałach) oraz punkt , w którym funkcja może nie mieć granicy.

(2) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani okresowa.

(3) Wyznaczmy granice funkcji na końcach przedziałów ciągłości

Funkcja nie ma granicy w punkcie , nie jest więc ciągła w tym punkcie.

(4) Z punktu 3. wynika, że funkcja ma asymptotę pionową prawostronną w punkcie i nie ma asymptot poziomych, co nie wyklucza istnienia asymptot ukośnych.


Sprawdzamy, czy istnieje granica ilorazu przy i przy :

Wobec istnienia tych granic wyznaczamy granice różnic (zob. przykład zastosowania reguły de l'Hospitala w poprzednim module): Wynika stąd, że prosta jest asymptotą ukośną wykresu funkcji zarówno przy jak i przy . Funkcja w przedziale osiąga wartości w przedziale .

Stąd ograniczenie zbioru wartości na wykresie generowanym przez program MATHEMATICA do tego przedziału, nieco poprawia wygląd wykresu funkcji .

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -5, 5}, PlotRange -> {0,10 Exp[1]}]

(5) Funkcja ma dwa miejsca zerowe. Są to punkty oraz . Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc czynnik jest dodatni. Na znak funkcji ma wpływ jedynie czynnik . Wobec tego funkcja

  • jest ujemna w przedziale ,
  • jest dodatnia w przedziałach oraz ,
  • przyjmuje wartość zero w punktach oraz .

Ponadto .

Z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że funkcja osiąga maksimum wewnątrz przedziału . Ponieważ jest ciągła w przedziale i zmierza do nieskończoności, gdy oraz , więc osiąga minimum lokalne w co najmniej jednym punkcie .

(6) Badanie pierwszej pochodnej

  • Dziedziną pierwszej pochodnej jest suma przedziałów
  • Miejscami zerowymi pierwszej pochodnej są oraz .

Pochodna jest dodatnia w zbiorze

i jest ujemna w zbiorze

(7) W oparciu o dane z punktu (6) wnioskujemy, że funkcja rośnie w przedziałach

i maleje w przedziałach

(8) Zbiór punktów krytycznych funkcji składa się z trzech elementów:



to jest miejsc zerowych pochodnej , oraz punktu , który należy do dziedziny funkcji i nie należy do dziedziny pochodnej. Z punktu 7. wynika, że

  • w punkcie funkcja osiąga maksimum lokalne ,
  • w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne ,
  • w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne

Widzimy więc, że rysując wykres funkcji, musimy zadbać o to, aby zbiór wartości funkcji na wykresie zawierał co najmniej wartości oraz .

Można np. przyjąć oraz i skorzystać z polecenia programu MATHEMATICA:

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8}, PlotRange ->{-10, 50}]

które wygeneruje wykres funkcji i jej asymptoty ukośnej w zadanym obszarze płaszczyzny.

Dodatkowe polecenie

PlotPoints -> 1024

zwiększa rozdzielczość rysunku

PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}}

rysuje wykres funkcji w kolorze zadanym przez Hue[0.95] o grubości Thickness[0.007] oraz asymptotę ukośną tej funkcji kolorem Hue[0.95] linią przerywaną zefiniowaną za pomocą Dashing[0.02,0.03] natomiast

AspectRatio -> 5/2 

(stosunek wysokości do szerokości ) zmienia format rysunku. Ostatecznie:

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8},
PlotRange -> {-10,50},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}},
AspectRatio -> 5/2]

(9) Druga pochodna funkcji

jest określona w zbiorze

Przyjmuje wartości dodatnie w zbiorze

a ujemne w zbiorze

Jedynym punktem, w którym zeruje się druga pochodna, jest .

(10) W oparciu o dane (z punktu (9)) o znaku drugiej pochodnej wnioskujemy, że funkcja jest (ściśle) wypukła w przedziałach

i jest (ściśle) wklęsła w przedziale

Stąd punkt , w którym funkcja przyjmuje wartość

jest jedynym punktem przegięcia funkcji.

Program MATHEMATICA po wpisaniu polecenia

Plot[{f, y}, {x, -1, 1.5},
PlotRange -> {-1,3},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.5]}},
AspectRatio -> 1]

kreśli w przedziale wykres funkcji i stycznej do wykresu o równaniu w punkcie przegięcia .

(11) Zebranie wszystkich punktów charakterystycznych funkcji (miejsca punkty nieciągłości, miejsca zerowe funkcji, jej pierwszej i drugiej pochodnej, ekstrema, punkty przegięcia) w jednej tabeli usprawnia przygotowanie starannego wykresu.

(12) Na wykresie staramy się przedstawić wszystkie punkty

charakterystyczne funkcji jak też jej asymptoty.