Analiza matematyczna 1/Test 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Funkcja

$x\mapsto \ln \frac{1}{x}$ jest wklęsła Źle

$x\mapsto \cosh x$ jest wypukła Dobrze

$x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ jest wypukła. Źle

Funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym przedziale $(0,+\mathrm{\infty })$. Wtedy:

Jeśli $f$ jest wypukła, to $f^{\prime }$ jest rosnąca. Dobrze

Jeśli $f^{\prime }$ jest malejąca, to $f$ jest wklęsła. Dobrze

Jeśli $f^{″}(1)=0$, to $f$ ma w $1$ punkt przegięcia. Źle

Funkcja $f(x)=x^3+12\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ jest

wypukła w przedziale $(1,+\mathrm{\infty })$ Dobrze

wklęsła w przedziale $(-\mathrm{\infty },-1)$ Dobrze

wypukła w przedziale $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Źle

Funkcja $x\mapsto x\arcsin (\cos x)$ jest wypukła w przedziale

$(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$ Źle

$(-\frac{\pi }{2},0)$ Dobrze

$(5\pi ,6\pi )$. Dobrze

Jeśli funkcja $f$ jest wypukła w przedziale $(0,1)$, to

funkcja $f^2(x)=(f(x){)}^2$ też jest wypukła w tym przedziale Źle

funkcja $f^3(x)=(f(x){)}^3$ też jest wypukła w tym przedziale Źle

funkcja $(0,1)\ni x\mapsto xf(x)$ też jest wypukła w tym przedziale. Źle

Niech $x,y,z$ będą dowolnymi liczbami z przedziału $(0,1)$. Prawdziwa jest nierówność

$xyz\le \frac{(x+y+z{)}^3}{27}$ Dobrze

$e^{\frac{2x+y}{3}}\le \frac{2}{3}(e^x+e^y)$ Dobrze

$2\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{2x+y+z}{4}\le \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\frac{1}{2}(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}y+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}z)$. Dobrze