Analiza matematyczna 1/Test 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

Funkcja

$x\mapsto \ln {\frac {1}{x}}$ jest wklęsła Źle

$x\mapsto \cosh {x}$ jest wypukła Dobrze

$x\mapsto {\sqrt {1-x^{2}}}$ jest wypukła. Źle

Funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym przedziale $(0,+\infty )$. Wtedy:

Jeśli $f$ jest wypukła, to $f'$ jest rosnąca. Dobrze

Jeśli $f'$ jest malejąca, to $f$ jest wklęsła. Dobrze

Jeśli $f''(1)=0$, to $f$ ma w $1$ punkt przegięcia. Źle

Funkcja $f(x)=x^{3}+12\mathrm {arctg} \,{x}$ jest

wypukła w przedziale $(1,+\infty )$ Dobrze

wklęsła w przedziale $(-\infty ,-1)$ Dobrze

wypukła w przedziale $(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})$. Źle

Funkcja $x\mapsto x\arcsin(\cos {x})$ jest wypukła w przedziale

$({\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}})$ Źle

$(-{\frac {\pi }{2}},0)$ Dobrze

$(5\pi ,6\pi )$. Dobrze

Jeśli funkcja $f$ jest wypukła w przedziale $(0,1)$, to

funkcja $f^{2}(x)=(f(x))^{2}$ też jest wypukła w tym przedziale Źle

funkcja $f^{3}(x)=(f(x))^{3}$ też jest wypukła w tym przedziale Źle

funkcja $(0,1)\ni x\mapsto xf(x)$ też jest wypukła w tym przedziale. Źle

Niech $x,y,z$ będą dowolnymi liczbami z przedziału $(0,1)$. Prawdziwa jest nierówność

$xyz\leq {\frac {(x+y+z)^{3}}{27}}$ Dobrze

$e^{\frac {2x+y}{3}}\leq {\frac {2}{3}}(e^{x}+e^{y})$ Dobrze

$2\mathrm {ctg} \,{\frac {2x+y+z}{4}}\leq \mathrm {ctg} \,x+{\frac {1}{2}}(\mathrm {ctg} \,y+\mathrm {ctg} \,z)$. Dobrze